Ma Trận Khả Nghịch.pdf - 123doc

Trang chủ » Hạng Của Ma Trận Khả Nghịch » Ma Trận Khả Nghịch.pdf - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Ma trận khả nghịch

Trang 1

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

Phiên bản đã chỉnh sửa

PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 6 tháng 12 năm 2004

1 Ma trận khả nghịch

Cho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận

B vuông cấp n sao cho

(En là ma trận đơn vị cấp n)

Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa điều kiện (1) là duy nhất, và B gọi là ma trận nghịch đảo (ma trận ngược) của ma trận A, ký hiệu là A−1

Vậy ta luôn có: A.A−1 = A−1.A = En

1 A khả nghịch ⇐⇒ A không suy biến (det A 6= 0)

2 Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)−1 = B−1A−1

3 (At)−1 = (A−1)t

1.3.1 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức

Trước hết, ta nhớ lại phần bù đại số của một phần tử Cho A là ma trận vuông cấp n, nếu ta bỏ đi dòng i, cột j của A, ta được ma trận con cấp n − 1 của A, ký hiệu Mij Khi đó

Aij = (−1)i+jdet Mij gọi là phần bù đại số của phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A

Ma trận

PA =

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

. .

A1n A2n · · · Ann

=

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n

. .

An1 An2 · · · Ann

t

gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

Trang 2

Ta có công thức sau đây để tìm ma trận nghịch đảo của A.

Cho A là ma trận vuông cấp n

Nếu det A = 0 thì A không khả nghịch (tức là A không có ma trận nghịch đảo) Nếu det A 6= 0 thì A khả nghịch và

A−1 = 1

det APA

Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

A =

1 2 1

0 1 1

1 2 3

Giải

Ta có

det A =

1 2 1

0 1 1

1 2 3

= 2 6= 0

Vậy A khả nghịch

Tìm ma trận phụ hợp PA của A Ta có:

A11 = (−1)1+1

1 1

2 3

= 1

A12 = (−1)1+2

0 1

1 3

= 1

A13 = (−1)1+3

0 1

1 2

= −1

A21 = (−1)2+1

2 1

2 3

= −4

A22 = (−1)2+2

1 1

1 3

= 2

A23 = (−1)2+3

1 2

1 2

= 0

A31 = (−1)3+1

2 1

1 1

= 1

A32 = (−1)3+2

1 1

0 1

= −1

A33 = (−1)3+3

1 2

0 1

= 1 Vậy

PA=

Trang 3

và do đó

A−1 = 1

2

=

1

2 −2 1

2 1

2 1 −12

−1

2 0 12

Nhận xét Nếu sử dụng định thức để tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông cấp

n, ta phải tính một định thức cấp n và n2 định thức cấp n − 1 Việc tính toán như vậy khá phức tạp khi n > 3

Bởi vậy, ta thường áp dụng phương pháp này khi n ≤ 3 Khi n ≥ 3, ta thường sử dụng các phương pháp dưới đây

1.3.2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dựa vào các phép biến đổi

sơ cấp (phương pháp Gauss)

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A vuông cấp n, ta lập ma trận cấp n × 2n

[A | En] (En là ma trận đơn vị cấp n)

[A | En] =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. .

an1 an2 · · · ann

1 0 · · · 0

0 1 · · · 0

.

0 0 · · · 1

Sau đó, dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận [A | En] về dạng [En| B] Khi

đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A, B = A−1

Chú ý Nếu trong quá trình biến đổi, nếu khối bên trái xuất hiện dòng gồm toàn số 0 thì

ma trận A không khả nghịch

Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

A =

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

Giải

[A | E4] =

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

−→

d1 →d 1+d2+d3 +d4

3 3 3 3

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

−→

d1 → 1

3 d1

1 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

1 3

1 3

1 3

1 3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

d2 →−d1+d2

−→

d3→−d1 +d3 d4→−d1 +d4

1 3

1 3

1 3

1 3

−1 3

2

3 −1

3 −1 3

−1

3 −1 3

2

3 −1 3

−1

3 −1

3 −1 3

2 3

Trang 4

d1 →d1+d2 +d3+d4

−2 3

1 3

1 3

1 3

−1 3

2

3 −1

3 −1 3

−1

3 −1 3

2

3 −1 3

−1

3 −1

3 −1 3

2 3

d2 →−d2

−→

d4→−d4 d3→−d3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

−2 3

1 3

1 3

1 3 1

3 −2 3

1 3

1 3 1

3

1

3 −2 3

1 3 1

3

1 3

1

3 −2 3

Vậy

A−1 =

−2 3

1 3

1 3

1 3 1

3 −2 3

1 3

1 3 1

3

1

3 −2 3

1 3 1

3

1 3

1

3 −2 3

1.3.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình Cho ma trận vuông cấp n

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. .

an1 an2 · · · ann

Để tìm ma trận nghịch đảo A−1, ta lập hệ

a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn = y1

a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn = y2

an1x1+ an2x2+ · · · + annxn= yn

(2)

trong đó x1, x2, , xn là ẩn, y1, y2, , yn là các tham số

* Nếu với mọi tham số y1, y2, , yn, hệ phương trình tuyến tính (2) luôn có nghiệm duy nhất:

x1 = b11y1+ b12y2 + · · · + b1nyn

x2 = b21y1+ b22y2 + · · · + b2nyn

xn = bn1y1+ bn2y2+ · · · + bnnyn thì

A−1 =

b11 b12 · · · b1n

b21 b22 · · · b2n

. .

bn1 bn2 · · · bnn

* Nếu tồn tại y1, y2, , ynđể hệ phương trình tuyến tính (2) vô nghiệm hoặc vô số nghiệm thì ma trận A không khả nghịch

Trang 5

Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

A =

a 1 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 a

Giải

Lập hệ

ax1+ x2+ x3+ x4 = y1 (1)

x1+ ax2+ x3+ x4 = y2 (2)

x1+ x2+ ax3+ x4 = y3 (3)

x1+ x2+ x3+ ax4 = y4 (4)

Ta giải hệ trên, cộng 2 vế ta có

(a + 3)(x1+ x2+ x3 + x4) = y1+ y2+ y3+ y4 (∗)

1 Nếu a = −3, chọn các tham số y1, y2, y3, y4 sao cho y1+ y2+ y3+ y4 6= 0 Khi đó (*) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm, bởi vậy A không khả nghịch

2 a 6= −3, từ (*) ta có

x1 + x2+ x3+ x4 = 1

a + 3(y1+ y2+ y3 + y4) (∗∗)

Lấy (1), (2), (3), (4) trừ cho (**), ta có

(a − 1)x1 = 1

a + 3((a + 2)y1− y2− y3− y4)

(a − 1)x2 = 1

a + 3(−y1+ (a + 2)y2− y3− y4)

(a − 1)x3 = 1

a + 3(−y1− y2+ (a + 2)y3− y4)

(a − 1)x4 = 1

a + 3(−y1− y2− y3+ (a + 2)y4) (a) Nếu a = 1, ta có thể chọn tham số y1, y2, y3, y4 để (a + 2)y1− y2− y3− y4 khác 0 Khi đó hệ và nghiệm và do đó A không khả nghịch

(b) Nếu a 6= 1, ta có

(a − 1)(a + 3)((a + 2)y1− y2− y3 − y4)

(a − 1)(a + 3)(−y1+ (a + 2)y2− y3− y4)

(a − 1)(a + 3)(−y1− y2+ (a + 2)y3− y4)

Trang 6

x4 = 1 (a − 1)(a + 3)(−y1− y2− y3+ (a + 2)y4)

Do đó

(a − 1)(a + 3)

Tóm lại:

Nếu a = −3, a = 1 thì ma trận A không khả nghịch

Nếu a 6= −3, a 6= 1, ma trận nghịch đảo A−1 được xác định bởi công thức trên

Trang 7

BÀI TẬP

Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau

22

1 0 3

2 1 1

3 2 2

23

1 3 2

2 1 3

3 2 1

24

25

−1 −1 −1 0

Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận vuông cấp n

26

1 1 1 · · · 1

0 1 1 · · · 1

0 0 1 · · · 1

. .

0 0 0 · · · 1

27

. . .

...

0 1

1

= 6=

Vậy A khả nghịch

Tìm ma trận phụ hợp PA A Ta có:

A11 = (−1)1+1

1

2...

A21 = (−1)2+1

2

2

= −4

A22 = (−1)2+2

1

1

Từ khóa » Hạng Của Ma Trận Khả Nghịch