Ma Trận Nghịch đảo (khả Nghịch) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n

Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau:

Ma trận đơn vị cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai ma trận đơn vị I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị nên I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại, có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có:

Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1 dòng không (hoặc cột không) đều không khả nghịch.

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ chứng minh kết quả trên nhé)

3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (hay cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp dòng.

Ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0

Ma trận sơ cấp dạng 1

Ma trận sơ cấp dạng 2: cộng hàng i đã nhân với λ vào dòng j

Ma trận sơ cấp dạng 2

Ma trận sơ cấp dạng 3: Đổi chỗ dòng i và dòng j

Ma trận sơ cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột)

3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch khi và chỉ khi dạng chính tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột); đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên phải ma trận A

Lập ma trận chi khối cấp n x 2n

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A’ | B ], trong đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc.

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không cần phải đưa A’ về dạng chính tắc) và kết thúc thuật toán.

Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:

$\left ( \begin{array}{c c c} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \\ \end{array} \right )$

Từ đó suy ra $A^{2008}$

Giải:

Vì vậy, ta có: A khả nghịch và:

$A^{-1} =$ $\left ( \begin{array}{c c c} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \\ \end{array} \right )$ ${= A}$

Từ $A^{-1} = A$ ta có: $A^2 = I_3$ . Do đó: $A^{2008} = (A^2)^{1004} = I_3^{1004} = I_3$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

95 bình luận về “Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)”

Thầy cho em hỏi giải bài này thế nào ạ. CMR nếu ma trận E + AB có ma trận nghịch đảo thì ma trận E + BA cũng có ma trận nghịch đảo

ThíchThích
Posted by do_smile | 11/03/2011, 23:04 Reply to this comment
Em cám ơn thầy nhiều lắm ah. Thế cái này làm sao hả thầy vì bài này không cho sẳn ma trận A => A khả nghịch hay là tìm ma trận nghịch đảo của A. Đề: Cho ma trận A= (1 2 2 , 1 2 -1 , -1 1 4) a? Tìm ma trận thực khả ngịch P sao cho P^-1.A.P là ma trận chéo. b? Chỉ ra cách tính nhanh A^2009.

ThíchThích
Posted by Peter Minh | 06/01/2011, 10:52 Reply to this comment
- Yêu cầu của bài toán là tìm ma trận khả nghịch P sao cho $P^{-1}.A.P = D$ – D là ma trận chéo D. Nghĩa là, em phải tìm cả P và D. Để giải quyết bài toán này, em cần dùng tới khái niệm chéo hóa ma trận, nó liên quan đến giá trị riêng và vec-tơ riêng của ma trận A. Em xem ở bài giá trị riêng, vec-tơ riêng của ma trận nhé. Từ câu a, em có: $A = P.D.P^{-1}$ . Suy ra: $\begin{array}{ll} A^{2009} & = (P.D.P^{-1})^{2009} \\ & = P.D.P^{-1}.P.D.P^{-1}.P.D.P^{-1}....P.D.P^{-1} \\ & = P.D^{2009}.P^{-1} \\ \end{array}$
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 06/01/2011, 12:56 Reply to this comment
  - Dạ. Em cám ơn thầy rất nhiều ah.
    
    ThíchThích
    Posted by Peter Minh | 06/01/2011, 13:07 Reply to this comment
Thầy ơi cho e hỏi sao làm bài này ạh. E không hiểu lắm. Cho: $A= \left[\begin{array}{rrr} 3 & 6 & -4 \\ 2 & 4 & -3 \\ -2 & -3 & -2 \\ \end{array} \right]$ , $B = \left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & -3 \\ -1 & -2 & 4 \\ \end{array} \right]$ Tìm X thỏa XA=B.

ThíchThích
Posted by Peter Minh | 05/01/2011, 18:18 Reply to this comment
- Giả sử X là ma trận cấp mxn. Do A là ma trận cấp 3×3, B là ma trận cấp 2×3 nên để X.A = B thì m = 2, n = 3. Vậy X là ma trận có 2 dòng, 3 cột. Nếu A khả nghịch thì: $(X.A).A^{-1} = B.A^{-1} \Rightarrow X.I_3 = B.A^{-1} \Rightarrow X = B.A^{-1}$
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 05/01/2011, 22:55 Reply to this comment
  - Bài nay nếu tim ma trận thực X thỏa A^4.X.A^-2=A^4.B.A^-3 thì sao hả thầy
    
    ThíchThích
    Posted by Peter Minh | 06/01/2011, 13:33 Reply to this comment
  - Em sử dụng tính chất nhân 2 ma trận: nếu A là ma trận cấp mxn thì ta có thể nhân bên trái ma trận A 1 ma trận B cấp kxm, (nghĩa là tồn tại ma trận B.A). Tương tự, ta có thể nhân bên phải ma trận A, 1 ma trận C cấp nxp (nghĩa là tồn tại ma trận A.C). Vậy, nhân trái 2 vế cho $(A^{-1})^4$ và nhân phải 2 vế cho ma trận A^2. Vậy $X = B.A^{-1}$
    
    ThíchThích
    Posted by 2Bo02B | 06/01/2011, 23:01 Reply to this comment
Vuong ton ơi! m xem lại tinh chất đi! Nếu ma trận A khả nghịch, thì ma trận nghịch đảo của nó cũng khả nghịch, và nghịch đảo của ma trận nghịch đảo là chính nó! Vậy det(A) không thể bằng 0 được!

ThíchThích
Posted by thuthaomitom | 08/12/2010, 12:05 Reply to this comment
Cho em hỏi, nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A có det bằng 0 được ko?

ThíchThích
Posted by vuong ton | 13/11/2010, 17:39 Reply to this comment
- Theo mình nghĩ, tạo ra ma trận bậc thang hay tạo ra đường chéo chính bằng 1 trước không quan trọng, nhưng tốt nhất nên tạo ra ma trận bậc thang đã, bởi vì cái đường chéo chính khác 1 thì mình có thể chia cho số đó để đưa về 1. Nếu bạn đưa đường chéo chính về 1 trước thì đến lúc tìm dạng bậc thang nó sẽ biến đổi số 1 đó. Trong ví dụ mà GV đưa ra, mình thấy cách làm đó ngắn gọn và “đẹp”. Tuy nhiên, vì nó quá đẹp” nên bạn không phân biệt được người ta đưa về ma trận bậc thang trước hay đưa về đường chéo chính bằng 1 trước! Có gì bạn liên hệ với mình nha! Hihi đang tìm hiểu toán cao cấp thôi!
  
  ThíchThích
  Posted by thuthaomitom | 08/12/2010, 12:09 Reply to this comment
Em chỉ muốn hỏi 1 cái thôi.Đó là sau khi mình ghép ma trận đơn vị cấp N vào thì mình tạo đường chéo có số “1” trước hay là tạo ma trận bậc thang trước…

ThíchThích
Posted by Jufi | 06/06/2010, 17:18 Reply to this comment
cách tìm ma trận nghịch đảo ở trên đọc ko hỉu gì ai có thể giảng giúp thêm ko? kể cả đọc phần bậc thang rồi cũng chịu lun

ThíchThích
Posted by lyly | 15/04/2010, 13:21 Reply to this comment
thưa thầy, trong ví dụ ở phần tính A^2008 nếu như A^-1 ko bằng A thì ta tính A^2008 như thế nào

ThíchThích
Posted by An Cường | 30/01/2010, 00:54 Reply to this comment
- Cái này em phải dùng đến chéo hóa ma trận (trong phần giá trị riêng, vecto riêng).
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 27/02/2010, 19:05 Reply to this comment
Thầy ơi, thầy cho em hỏi : Cho ma trận A tính A^-2. Vây A^-2 ở đây là = A^-1*A^-1 hay là bằng nghịch đảo của A^2 hả thầy ? Em có 1 bài: Cho ma trận A tính f(x)= x + 1/(x^2) Em biến đổi f(x) = x + x^-2 rồi thay A vào dc f(A) = A + A^-2 Sau đó thay A^-2 bằng nghịch đảo của A^2, e làm vậy có sai k thầy?

ThíchThích
Posted by Phuong Dung | 06/01/2010, 10:31 Reply to this comment
- Theo 1 số giáo trình, lũy thừa của một ma trận có thể được mở rộng thành lũy thừa không nguyên hoặc lũy thừa nguyên âm dựa vào việc mở rộng khái niệm trị riêng, vecto riêng. Hiện tại, em có thể tính $\sqrt{A} , A^{-n}$ như sau: – Nếu u là VTR ứng với GTR $\lambda$ của ma trận A (nghĩa là $Au = \lambda u$ ) thì $\sqrt{A}$ là ma trận sao cho ${\sqrt{A}}.u = \sqrt{\lambda}.u$ (em có thể xem chi tiết tại: http://www.blackmesapress.com/Eigenvalues.htm ) – $A^{-n} = (A^{-1})^2$ (em xem chi tiết tại http://www.adeptscience.co.uk/products/mathsim/maple/powertools/linearalgebra/html/Matrices-Unit15.html ) Như vậy, em làm chưa chính xác.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 07/01/2010, 23:08 Reply to this comment
aj do jaj fum mjnh ma tran nghich dao cua baj nay j.thanks nhju ah 1 2 3 2 1 3 3 2 1

ThíchThích
Posted by miao | 10/11/2009, 10:59 Reply to this comment
- Em dùng phương pháp định thức thì sẽ ra được kết quả.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 13/11/2009, 23:04 Reply to this comment
- giải bình thường theo gaucc-j vẫn ra thôi
  
  ThíchThích
  Posted by ftn | 12/02/2011, 13:23 Reply to this comment
Thay oi cho em hoi ung dung cua ma tran de tim hang vecto.

ThíchThích
Posted by Hanh Uyen | 31/10/2009, 09:28 Reply to this comment
thay cho hoi la ma tran giao hoan la gi a.??

ThíchThích
Posted by anzue | 28/10/2009, 08:55 Reply to this comment