Ma Trận Nghịch đảo (khả Nghịch) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n

Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau:

Ma trận đơn vị cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai ma trận đơn vị I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị nên I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại, có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có:

Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1 dòng không (hoặc cột không) đều không khả nghịch.

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ chứng minh kết quả trên nhé)

3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (hay cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp dòng.

Ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0

Ma trận sơ cấp dạng 1

Ma trận sơ cấp dạng 2: cộng hàng i đã nhân với λ vào dòng j

Ma trận sơ cấp dạng 2

Ma trận sơ cấp dạng 3: Đổi chỗ dòng i và dòng j

Ma trận sơ cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột)

3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch khi và chỉ khi dạng chính tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột); đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên phải ma trận A

Lập ma trận chi khối cấp n x 2n

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A’ | B ], trong đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc.

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không cần phải đưa A’ về dạng chính tắc) và kết thúc thuật toán.

Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:

$\left ( \begin{array}{c c c} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \\ \end{array} \right )$

Từ đó suy ra $A^{2008}$

Giải:

Vì vậy, ta có: A khả nghịch và:

$A^{-1} =$ $\left ( \begin{array}{c c c} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \\ \end{array} \right )$ ${= A}$

Từ $A^{-1} = A$ ta có: $A^2 = I_3$ . Do đó: $A^{2008} = (A^2)^{1004} = I_3^{1004} = I_3$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

95 bình luận về “Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)”

blog của thầy thật hay và hữu ích, em là sinh viên khoa toán , đại học sư pham Huế, thầy cho em hỏi cách tìm ma trận nghịch đảo của ma trận dạng tam giác, có nhiều cách để tìm ma trận nghịch đảo vậy khi người ta cho một ma trận bất kỳ , thì làm sao nhận dạng được là giải theo cách nào thì hiệu quả hả thầy? em xin cảm ơn thầy.

ThíchThích
Posted by Trần Thị Thuỳ Trang | 16/05/2009, 11:03 Reply to this comment
- Nếu trong ma trận xuất hiện nhiều số 0 hoặc ma trận cấp 2, cấp 3 thì ta có thể dùng phương pháp định thức, còn không thì ta dùng phương pháp biến đổi. Ngoài ra, chúng ta có thể áp dụng phương pháp tìm đa thức đặc trưng của ma trận từ đó suy ra ma trận nghịch đảo.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 16/05/2009, 21:11 Reply to this comment
- Tính giùm em ma trận nghịch đảo: [1 3] [3 4]
  
  ThíchThích
  Posted by giang | 09/10/2010, 07:57 Reply to this comment
Gửi Thầy ! Thưa Thầy. Thầy có thể Hướng dẫn em cách làm Bài tập như sau ạ : Giải hệ PT bằng phương pháp nghịch đảo . Thầy hướng dẫn và cho luôn ví dụ nhé.

ThíchThích
Posted by Ngô Hưởng | 10/05/2009, 00:04 Reply to this comment
- Xét hệ phương trình: A.X = B. Để giải hệ phương trình bằng phương pháp ma tận nghịch đảo thì A phải là ma trận khả nghịch, tức là: A là ma trận vuông và khả nghịch. Khi đó: $A.X = B \Rightarrow A^{-1}.A.X = A^{-1}.B \Rightarrow X = A^{-1}.B$ Vậy đầu tiên xét ma trận hệ số A. Tìm ma trận nghịch đảo của A. Nếu A có ma trận nghịch đảo ( $A^{-1}$ ) thì thực hiện phép nhân ma trậ $A^{-1}.B$ ta tìm được nghiệm phương trình. Ví dụ: $\left\{\begin{array}{l} x + 2y = -1 \\ 2x + 3y = -1 \\ \end{array} \right.$ Xét ma trận hệ số: $A = \left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{array} \right]$ Ta tìm ma trận nghịch đảo bằng cách ghép ma trận I2 vào bên phải. Ta có: $\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]$ Lấy dòng 2 trừ 2 lần dòng 1. Ta có: $\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \\ \end{array} \right]$ Lấy dòng 1 cộng 2 lần dòng 2 ta có: $\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \\ \end{array} \right]$ Nhân dòng 2 với -1 ta có: $\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ \end{array} \right]$ Vậy bên trái là ma trận đơn vị I2 nên A khả nghịch và ma trận nghịch đảo là $A^{-1}= \left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{array} \right]$ Vậy nghiệm của phương trình là: $\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{array} \right] . \left[\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ \end{array} \right]$
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 10/05/2009, 17:26 Reply to this comment
Thua thay, thay co the the cho em xin bai tap va bai giai ve ma tran nghich dao duoc khong a?

ThíchThích
Posted by Le Ngoc huy | 07/04/2009, 08:58 Reply to this comment
- Bài tập ma trận nghịch đảo em có thể tải về từ mục Bài tập. Em cứ thử tự giải quyết các bài toán dựa vào những kiến thức em đã có, nếu bí chỗ nào thì trao đổi thêm với Thầy và các bạn bằng cách gửi comment, mọi người sẽ trợ giúp em.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 10/04/2009, 21:18 Reply to this comment
Thầy ơi cho em hỏi ma trận chính tác là gì ạ?

ThíchThích
Posted by Phạm Thị Hà | 27/02/2009, 17:06 Reply to this comment
- Ma trận vừa có dạng bậc thang dòng, vừa có dạng bậc thang cột và phần tử cơ sở của mỗi hàng và cột luôn bằng 1 được gọi là ma trận bậc thang chính tắc. Hay còn gọi là ma trận chính tắc. Em có thể xem các khái niệm này ở bài Ma trận bậc thang.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 27/02/2009, 20:37 Reply to this comment
SỐ MA TRẬN VUÔNG CẤP 2 CÓ BÌNH PHƯƠNG BẰNG 0 LÀ: a) 4 b)5 c)vô số d)3

ThíchThích
Posted by diệu ái | 09/01/2009, 23:25 Reply to this comment
- Cái này thì em phải viết ma trận A ra, rồi tính A^2 và cho điều kiện để A^2 = 0. Từ đó, đưa về hpt và giải hpt đó để tìm điều kiện của các phần tử a, b, c, d của ma trận A. Với chỉ 1 trường hợp sau: $A =\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ c & 0 \\ \end{array} \right]$ thì em đã có kết quả là câu c đúng.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 10/01/2009, 08:22 Reply to this comment
CHỌN MỆNH ĐỀ SAI: Trong các ma trận vuông cấp n>= 2 ta luôn có a)nếu A^T khả nghịch thì A khả nghịch. b)nếu A^* khả nghịch thì A khả nghịch. c)nếu AB khả nghịch thì A khả nghịch ,B khả nghịch. d)nếu A+B khả nghịch thì A khả nghịch ,B khả nghich.

ThíchThích
Posted by diệu ái | 09/01/2009, 23:23 Reply to this comment
- Đây là những kết quả cơ bản trong phần ma trận nghịch đảo. Em xem lại nhé. trong đó không có kết quả D. Em có thể lấy 1 ví dụ A là ma trận khả nghịch, B là ma trận không. Khi đó, em sẽ có A+B = A – khả nghịch nhưng B không khả nghịch
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 10/01/2009, 08:25 Reply to this comment
Nếu B khả nghịch thì $A = C.B^{-1}$ . Nếu B không khả nghịch thì chỉ có cách gán các phần tử của A bằng các ẩn số rồi dựa vào đẳng thức A.B = C để đưa về hpt.

ThíchThích
Posted by 2Bo02B | 03/01/2009, 22:37 Reply to this comment
thua thay neu ta co 3 ma tran A;B;C va A.B=C ma ta da biet 2 ma tran B;C roi thi lam sao de tinh ma tran A a? cach tinh do nhu the nao thay?

ThíchThích
Posted by mr ho@ | 03/01/2009, 18:50 Reply to this comment
Bạn có thể xem bài tương tự mà bạn Vũ Hoàng đã trả lời tại: https://thunhan.wordpress.com/cung-trao-doi/trao-doi-ve-dstt/trang-2/#comment-1808

ThíchThích
Posted by 2Bo02B | 18/12/2008, 15:12 Reply to this comment
Kính gửi Thầy giải giúp sớm bài toán sau

Cho ma trận vuông cấp 5, biết det A=2006 tính 1-Det (9A) 2-Det (9A-1)

ThíchThích
Posted by nguyen duy toan | 18/12/2008, 10:32 Reply to this comment
Muốn có nghiệm duy nhất thì chỉ có mỗi hệ Cramer, nghĩa là ma trận hệ số phải là ma trận vuông có định thức khác không. Như vậy, hpt có số pt nhỏ hơn số ẩn thì hoặc là vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Do đó, với hệ phương trình thuần nhất mà số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì hệ đó chắc chắn có vô số nghiệm nên không thể có nghiệm duy nhất được.

ThíchThích
Posted by Ngoc Huy | 10/12/2008, 20:32 Reply to this comment
thầy ơi cho em hỏi: khi giải một phương trình thuần nhất gồm 3 pt và 4 ẩn thì có trường hợp nào ta chỉ nhận được duy nhất một nghiệm là 0 không ạ? chúc thầy sức khỏe.

ThíchThích
Posted by phượng | 10/12/2008, 14:32 Reply to this comment