MỆNH ĐỀ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC

MỆNH ĐỀ - SUY LUẬN TOÁN HỌC

 

I. LÝ THUYẾT

1. Mệnh đề

       · Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.

       · Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

♦ Chú ý:

+ Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.

+ Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa.

+  Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai cũng là mệnh đề.

2. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P.

· Mệnh đề "Không phải P" đgl mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là $\overline{P}$.

· Nếu P đúng thì $\overline{P}$ sai, nếu P sai thì $\overline{P}$ đúng.

♦ Chú ý: Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau.

3. Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q.

· Mệnh đề "Nếu P thì Q" đgl mệnh đề kéo theo và kí hiệu là     P ⇒ Q.

· Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

P	Q	P ⇒ Q
Đúng	Đúng	Đúng
Đúng	Sai	Sai
Sai	Đúng	Đúng
Sai	Sai	Đúng

 

Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q. Khi đó:          

– P là giả thiết, Q là kết luận;

                                    – P là điều kiện đủ để có Q;

                                    – Q là điều kiện cần để có P.

4. Mệnh đề đảo

       Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P đgl mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

5. Mệnh đề tương đương

       Cho hai mệnh đề P và Q.

       · Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q.

       · Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng.

       Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

6. Mệnh đề chứa biến

       Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

7. Kí hiệu " và $

· $"\forall x\in X,P(x)"$                                                         · $"\exists x\in X,P(x)"$

· Mệnh đề phủ định của mệnh đề $"\forall x\in X,P(x)"$ là "$\exists x\in X$, $\overline{\text{P(x)}}$".

· Mệnh đề phủ định của mệnh đề "$\exists x\in X, P(x)$" là "$\forall x\in X, \overline{\text{P(x)}}$".

8. Phép chứng minh phản chứng

       Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B.

       Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.

       Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai           nên kết quả là B phải đúng.

9. Bổ sung

Cho hai mệnh đề P và Q.

· Mệnh đề "P và Q" đgl giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P $\wedge$ Q.

· Mệnh đề "P hoặc Q" đgl hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P $\vee$ Q.

· Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề:           $\overline{P\wedge Q}=\overline{P}\vee \overline{Q}$,            $\overline{P\vee Q}=\overline{P}\wedge \overline{Q}$.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Câu nào dưới đây là mệnh đề đúng, câu nào là mệnh đề sai?       a) Đây là đâu?                                          b)PT ${{x}^{2}}+x-1=0$ vô nghiệm       c) x + 3 = 5                                                d) 16 không là số nguyên tố

 

Lời giải :

1. Câu hỏi, không phải mệnh đề.
2. Mệnh đề sai, vì phương trình này có 2 nghiệm phân biệt là $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$.
3. Mệnh đề chứa biến.

      d. Mệnh đề đúng, vì 16 có các ước tự nhiên 1, 2, 4, 8, 16; mà số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chia hết cho 1            và chính nó.

Ví dụ 2. Xác định tính đúng sai của mệnh đề A, B và tìm phủ định của nó                            A: “$\forall x\in \mathbb{R},x^3>x^2$”           B: “$\exists x\in \mathbb{N},x\vdots (x+1)$”

Lời giải :

+ Xét mệnh đề A ta có : ${{x}^{3}}>{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x-1 \right)>0\Leftrightarrow x-1>0\Leftrightarrow x>1$.

Vậy mệnh đề A là sai. $\overline{A}:''\exists x\in \mathbb{R},{{x}^{3}}\le {{x}^{2}}''$

+ Xét mệnh đề B :

Chọn $x=0\Rightarrow 0\vdots 1$ (đúng).

Vậy mệnh đề B là đúng. $\overline{B}:''\forall x\in \mathbb{N},x\not{\vdots }\left( x+1 \right)''$

Giả sử $n\not{\vdots }2\Rightarrow n=2k+1,k\in \mathbb{N}\Rightarrow {{n}^{2}}=4{{k}^{2}}+4k+1\not{\vdots }2$  (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy $n\vdots 2$.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

§1. MỆNH ĐỀ

BÀI TẬP CƠ BẢN

1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến:

       a) Số 11 là số chẵn.                                               b) Bạn có chăm học không ?              

       c) Huế là một thành phố của Việt Nam.               d) 2x + 3 là một số nguyên dương.

      e) $2-\sqrt{5} 3 hoặc 5 < 3.                                              h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?

       a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

       b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.

     c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng ${{60}^{0}}$.

       d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.

       e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.

       f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.

       g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

       h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

4. Các mệnh đề sau đúng hay sai. Nêu mệnh đề phủ định của chúng

a.“Phương trình x 2 – x – 4 = 0 vô nghiệm”

b.“6 là số nguyên tố”                b.“$\forall n\in N:{n}^{2}-1$” là số lẻ

5. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

       a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3.                        

       b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.                       

       c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

       d) Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n.

6. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

       a) $\forall x\in R:{{x}^{2}}>0$  .                                   b) $\exists x\in R:x>{{x}^{2}}$.                  

       c) $\exists x\in Q:4{{x}^{2}}-1=0$.                               d) $\forall x\in R:{{x}^{2}}-x+7>0$.           

       e) $\forall x\in R:{{x}^{2}}-x-20\,\,khi\,\,a>0\,....\,b>0\,....\,a0''$

9. Phát biểu mệnh đề P Þ Q, xét tính đúng sai và phát biểu mệnh đề đảo của nó

a.P: “ABCD là hình chữ nhật” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”

b.P: “3 > 5” và Q: “7 > 10”

c.P: “ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q: “Góc B = 450”

10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":

       a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.                  

       b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.                      

       c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

       d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông.

       e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau. 

11. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ":

       a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.        

       b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông.                   

       c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.

       d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.

       e) Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi ${{n}^{2}}$ là số lẻ.

​​​​​​​12. Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau đây và phát biểu mệnh đề đảo của chúng

P: “Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc nhau”

Q: “Tam giác cân có 1 góc bằng 600 là tam giác đều”

R: “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10”

​​​​​​​13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng

A: “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2”

B: “Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều”

C: “Nếu tích  3 số  là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương”

D: “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”

BÀI TẬP NÂNG CAO

​​​​​​​1. Hãy phát biểu và chứng minh các định lý sau đây

a. \(\forall n\in \mathbb{N},n^2\vdots 3\Rightarrow n\vdots 3\)

b. \(\forall n\in \mathbb{N},n^2\vdots 6\Rightarrow n\vdots 6\)

​​​​​​​2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau, nêu rõ lý do và lập mệnh đề phủ định cho các mệnh đề dưới đâY

a. $\exists r\in Q,4r^2-1=0$                       b. $\exists n\in N,(n^2+1)\vdots 8$​​​​​​​

c.\(\forall x\in R,x^2+x+1>0\)                d.\(\forall n\in \mathbb{N}^*,(1+2+3+...+n)\) không chia hết cho 11

​​​​​​​3. Cho P(n): “n là số chẵn” và Q(n): “7n + 4 là số chẵn”

a.Phát biểu và chứng minh định lý “\(\forall n\in \mathbb{N},P(n)\Rightarrow Q(n)\)”

b.Phát biểu và chứng minh định lý đảo của định lý trên

c.Phát biểu gộp 2 định lý trên bằng 2 cách.

4. CMR, \[\sqrt{2}\] là một số vô tỉ.

5. ​​​​​​​P,Q là 2 mệnh đề. CMR : các mệnh đề sau là sai :

a, $P\wedge \overline{P}$                 b, $(P\wedge Q)\wedge \overline{P}$

6. Xác định tính đúng – sai của mệnh đề : $(P\Rightarrow Q)\Rightarrow (\bar{P}\vee Q)$

HD : Xét từng trường hợp qua bảng.

§2 SUY LUẬN TOÁN HỌC

1. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ"

a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.

b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

c/ Nếu a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1

d/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là số 0 thì nó chia hết cho 5.

e/ Nếu a + b < 0 thì ít nhất một trong hai số phải âm.

2. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần"

a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.

b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì nó có các góc tương ứng bằng nhau.

c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.

d/ Nếu a = b thì a3 = b3.

e/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

3. Dùng phương pháp phản chứng, CMR :

a/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

b/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

c/ Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0

d/ Nếu x = 1 hay y = $\frac{1}{2}$ thì x + 2y - 2xy - 1 = 0

e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2.

f) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3.

4. Chứng minh vơi mọi số nguyên dương n, ta có:

a) 1 + 3 + 5 + 7 + .  . . . . . . . . +  (2n – 1) = n2

b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . . . . . . . + (2n) = n(n +1)

c) 1 + 2 + 3 + 4 +  . . . . . . . . . + n = $\frac{n(n+1)}{2}$

 a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . .  + n.(n + 1) = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

b) $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.........+\frac{1}{n.(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+.........+\frac{1}{(2n-1).(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$

 

d) 12 + 22 + 32 + . . . . . . . . . . + n2 = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

e) 13 + 23 + 33 +  . . . . . .  + n3 = $\frac{{{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}}}{4}$

f) 2 1 + 22 + 23 +  . . . . .+ 2 n = 2(2 n – 1)

g) 31 + 32 + 33 +  . . . .  + 3 n = $\frac{3}{2}$( 3 n – 1 )

h) n 3 +2n chia hết cho 3                                                                                       

i) n3 +11n chia hết cho 6                 

j) n3 +5n chia hết cho 6                   

k) 3 2n + 63 hết 72

l) 3 2n + 1 + 2 n + 2  chia hết cho 7

m) 6 2n  + 3 n + 2 + 3 n  chia hết cho 11

n) 3 2n – 2 n  chia hết cho 7               

Chúc các bạn học tốt, thân!

Bài viết gợi ý:

1. Hàm Số

2. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

3. Đại Cương Về Phương Trình

4. Tập Hợp

5. Mệnh Đề

6. Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

7. Công thức giải nhanh hình học phẳng Oxy