Minh Họa Và Tính Tổng Riemann - Phép Tính Tích Phân

5 Phép tính tích phân

5.3.1 Minh họa và tính tổng Riemann

• Gõ các câu lệnh:

Lệnh mở gói công cụ Student

[> with[student] :

Lệnh minh họa tổng Riemann của hàm f(x) trên đoạn [a;b], với phân hoạch gồm n điểm (cách đều nhau) và điểm trung gian được chọn là điểm giữa của mỗi đoạn nhỏ trong phân hoạch

[> middlebox(f(x), x = a..b, n);

(nếu muốn chọn các điểm trung gian không phải là điểm giữa mà là điểm "biên trái" hoặc "biên phải" của các đoạn nhỏ thì thay từ khóa middlebox

bởi leftbox hoặc rightbox).

Khi n càng lớn thì hình ảnh minh họa tổng Riemann càng gần với diện tích hình thang cong (giá trị của tích phân).

Ví dụ 5.1. Minh họa tổng Riemann của hàm

f(x) = sin(x2 +x−1)−cos(x2 −x+ 1) + 3

trên đoạn [−3; 3], với số điểm phân hoạch lần lượt là 20, 50 và 100.

Hình 5.3: Ví dụ minh họa tổng Riemann.

Để tính tổng Riemann ứng với cách phân hoạch đều và chọn điểm trung gian như trên, trong câu lệnh ta chỉ cần thay từ khóa middlebox (leftbox,

rightbox) bởi từ khóa middlesum (leftsum, rightsum). Sau khi thực hiện lệnh ta sẽ được công thức biểu diễn tổng, muốn biết giá trị số của tổng này ta dùng lệnh đánh giá xấp xỉ dưới dạng thập phân

[> evalf(%);

Hình 5.4: Ví dụ tính tổng Riemann.

• Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Riemann Sums. . .

Khi đó sẽ xuất hiện hộp thoại (xem hình 5.5) cho phép tính và minh họa xấp xỉ tích phân theo tổng Riemann và theo công thức Newton.

- Nhập hàm f(x), giá trị của a, b và số điểm chia n vào các ô tương ứng.

- Để tính và minh họa tổng Riemann, chọn một trong số các nút check box upper, lower, random, left, midpoint hay right rồi kích chuột vào nút Display để xem kết quả. Hình ảnh minh họa cùng giá trị xấp xỉ và giá trị thực tế của tích phân sẽ hiển thị ở bên trái hộp thoại.

- Kích chuột vào nút Animate, ta sẽ được hình ảnh động minh họa tổng tích phân khi số điểm chia thay đổi (kích chuột vào nút +, - hoặc

Hình 5.5: Hộp thoại Approximate Integration.

Nhận xét 5.1. Việc sử dụng Maple để minh họa, tính tổng Riemann có thể trợ giúp giáo viên trong việc hình thành khái niệm tích phân xác định cho học sinh và mô tả một số tích phân không biểu diễn được nguyên hàm qua các hàm cơ bản (xem [6]).