Tích Phân Riemann Và Tích Phân Ito - Investment Thinking
Có thể bạn quan tâm
Cho hàm số với . Giờ chúng ta muốn tìm tích phân của phương trình trong khoảng
Với tích phân Riemann, đầu tiên chia khoảng ra làm n đoạn thỏa mãn:
Max của , tích phân Riemann sẽ được định nghĩa như sau:
Phần bên trái của định nghĩa là phần diện tích với cạnh đáy và chiều cao bằng
Giả sử và , tích phân Riemann sẽ lấy trung bình 2 giá trị và tương ứng, sau đó nhân với giá trị . Lưu ý rằng diện tích A và diện tích của B là xấp xỉ nhau. Nếu giá trị càng nhỏ và hàm đủ “smooth” thì chênh lệch giữa 2 phần diện tích càng nhỏ.
Giả sử tôi không sử dụng cách tính chiều cao như ở trên, thay vào đó tôi lấy chính xác giá trị tại điểm cụ thể, vậy kết quả có sai lệch quá nhiều?
hoặc
Nhìn vào hình bên dưới thấy rằng,
khi giá trị đủ nhỏ, phần diện tích sử dụng giá trị hay giá trị sẽ trở nên không quá khác biệt ở điểm giới hạn (limit).
Lấy ví dụ 1 trường hợp cụ thể, giả sử tôi muốn tính tích phân của hàm số với trong khoảng từ 0 tới T, dễ dàng nhận thấy:
Kết quả của tích phân Riemann không thể áp dụng khi biến số trong phương trình ở dạng ngẫu nhiên. Tôi sẽ thay biến số t bằng biến số khi phân tích trường hợp tích phân ngẫu nhiên. Giả sử có phương trình với là biến ngẫu nhiên. Tích phân của có dạng như sau:
Không như tích phân của 1 biến không ngẫu nhiên, việc sử dụng giá trị hay sẽ dẫn đến kết quả khác biệt khi tính toán:
và
Việc hàm f phụ thuộc vào biến số ngẫu nhiên sẽ dẫn đến việc kết quả của tích phân bản thân nó cũng phải ngẫu nhiên.
Lấy ví dụ sau, tôi có hàm số với biến số có dạng chuyển động Brownie, trên khoảng . Để tính tích phân:
tôi không thể áp dụng tích phân Riemann, trong trường hợp này, tích phân sẽ được tính theo dạng tích phân Ito như sau:
với với và
Đầu tiên, tôi sẽ bắt đầu bằng hằng đẳng thức đáng nhớ
chuyển vế sang 1 vế được:
Lúc này đặt và ta thấy
tích phân lúc này sẽ có dạng:
Dễ dàng nhận thấy khi tính tổng của hiệu 2 bình phương của limit, tôi có thể triệt tiêu các giá trị 2 giữa 2 giá trị đầu cuối và .
Với bình phương của 2 hiệu, tôi áp dụng kĩ thuật Quadratic Variation áp dụng cho chuyển động Brownie được:
Phần chứng minh Quadratic Variation sẽ được thêm vào ở bài viết tiếp theo.
tích phân Ito lúc này sẽ có dạng
Có thể thấy cùng ở dạng f(x) = X_t , tích phân trong khoảng [0,T] giữa hai biến xác định và ngẫu nhiên sẽ cho 2 kết quả khác biệt. Đặc biệt hơn, ở đây, tích phân của biến ngẫu nhiên có dạng chuyển động Brownie, cần áp dụng phương pháp tích phân Ito và quadratic variation phải có upper và lower limit.
P/S: Sẽ có những sai sót trong quá trình biên dịch và giải thích của tác giả ở nội dung trên.
Source: An introduction to the mathematics of financial derivatives (Neftci 1996)
Share this:
Related
Từ khóa » Tính Tổng Riemann
-
Tích Phân Riemann Và định Lý Fubini — Deep AI KhanhBlog
-
13. Tổng Riemann | Giải Tích Phân | Khan Academy - YouTube
-
Tính Xấp Xỉ Tích Phân Xác định Bằng Tổng Riemann - RPubs
-
[PDF] VỀ MỘT PHƯƠNG ÁN DẠY TÍCH PHÂN XÁC ÐỊNH
-
Minh Họa Và Tính Tổng Riemann - Phép Tính Tích Phân
-
Tổng Riemann - Mitadoor Đồng Nai
-
Tổng Riemann Và Định Lý Fubini
-
19. Bài Tập: Viết Tổng Riemann Giới Hạn Dưới Dạng Tích Phân Xác định
-
[PDF] TÍCH PHÂN HAI LỚP
-
Tích Phân Riemann - Wikimedia Tiếng Việt
-
[PDF] Chương 4 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - TaiLieu.VN