Mô Tả Thuật Toán Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính, Ví Dụ, Giải Pháp

Phương pháp Gauss tuyệt vời để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE). Nó có một số ưu điểm so với các phương pháp khác:

• thứ nhất, không cần khảo sát trước hệ phương trình về tính tương thích;
• thứ hai, phương pháp Gauss có thể được sử dụng để giải quyết không chỉ các SLAE trong đó số phương trình trùng với số biến chưa biết và ma trận chính của hệ là không sinh, mà còn cả các hệ phương trình trong đó số phương trình không trùng với số biến chưa biết hoặc định thức của ma trận chính bằng 0;
• thứ ba, phương pháp Gauss dẫn đến một kết quả với một số lượng phép tính tương đối nhỏ.

Đánh giá ngắn gọn về bài báo.

Đầu tiên, chúng tôi đưa ra các định nghĩa cần thiết và giới thiệu một số ký hiệu.

Tiếp theo, chúng ta mô tả thuật toán của phương pháp Gauss cho trường hợp đơn giản nhất, đó là đối với hệ phương trình đại số tuyến tính, số phương trình trùng với số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ không bằng không. Khi giải các hệ phương trình như vậy, bản chất của phương pháp Gauss được thể hiện rõ ràng nhất, bao gồm việc loại bỏ liên tiếp các biến chưa biết. Vì vậy, phương pháp Gaussian còn được gọi là phương pháp khử liên tiếp các ẩn số. Hãy để chúng tôi hiển thị các giải pháp chi tiết của một số ví dụ.

Kết luận, chúng tôi xem xét nghiệm Gaussian của hệ phương trình đại số tuyến tính, ma trận chính của nó là hình chữ nhật hoặc suy biến. Giải pháp của các hệ thống như vậy có một số tính năng, mà chúng tôi sẽ phân tích chi tiết bằng cách sử dụng các ví dụ.

Điều hướng trang.

Các định nghĩa và ký hiệu cơ bản.

Xét một hệ phương trình tuyến tính p với n ẩn số (p có thể bằng n):

Đâu là biến chưa biết, là số (thực hoặc phức), là thành viên tự do.

Nếu một , khi đó hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là đồng nhất, nếu không thì - không đồng nhất.

Tập hợp các giá trị của các biến chưa biết, trong đó tất cả các phương trình của hệ thống biến thành đồng nhất, được gọi là Quyết định SLAU.

Nếu có ít nhất một nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính thì nó được gọi là chung, nếu không thì - không tương thích.

Nếu SLAE có một giải pháp duy nhất, thì nó được gọi là chắc chắn. Nếu có nhiều hơn một giải pháp, thì hệ thống được gọi là không chắc chắn.

Hệ thống được cho là được viết bằng hình thức phối hợp nếu nó có dạng .

Hệ thống này trong dạng ma trận hồ sơ có dạng, ở đâu - ma trận chính của SLAE, - ma trận của cột các biến chưa biết, - ma trận của các phần tử tự do.

Nếu chúng ta thêm vào ma trận A dưới dạng cột thứ (n + 1) cột ma trận gồm các số hạng tự do, thì chúng ta nhận được cái gọi là ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính. Thông thường, ma trận tăng cường được ký hiệu bằng chữ T và cột gồm các phần tử tự do được phân tách bằng một đường thẳng đứng so với phần còn lại của các cột, nghĩa là

Ma trận vuông A được gọi là thoái hóa nếu định thức của nó bằng không. Nếu, thì ma trận A được gọi là không thoái hóa.

Điểm sau đây cần được lưu ý.

Nếu các thao tác sau được thực hiện với một hệ phương trình đại số tuyến tính

• hoán đổi hai phương trình,
• nhân cả hai vế của bất phương trình với một số thực (hoặc phức) k tùy ý và khác 0,
• đối với cả hai phần của bất kỳ phương trình nào, cộng các phần tương ứng của phương trình kia, nhân với một số k tùy ý,

thì chúng ta nhận được một hệ thống tương đương có các giải pháp tương tự (hoặc, giống như hệ thống ban đầu, không có giải pháp nào).

Đối với ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính, các hành động này sẽ có nghĩa là các phép biến đổi cơ bản với các hàng:

• hoán đổi hai chuỗi
• phép nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng nào của ma trận T với một số k khác 0,
• thêm vào các phần tử của bất kỳ hàng nào của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng khác, nhân với một số k tùy ý.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành mô tả của phương pháp Gauss.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính, trong đó số phương trình bằng số ẩn số và ma trận chính của hệ là không sinh bằng phương pháp Gauss.

Ở trường chúng ta sẽ làm gì nếu được giao nhiệm vụ tìm lời giải cho một hệ phương trình .

Một số sẽ làm như vậy.

Lưu ý rằng bằng cách thêm vế trái của phương trình thứ nhất vào vế trái của phương trình thứ hai, và vế phải vào vế phải, bạn có thể loại bỏ các biến chưa biết x 2 và x 3 và ngay lập tức tìm được x 1:

Chúng tôi thay thế giá trị tìm được x 1 \ u003d 1 vào phương trình thứ nhất và thứ ba của hệ thống:

Nếu chúng ta nhân cả hai phần của phương trình thứ ba của hệ với -1 và cộng chúng vào các phần tương ứng của phương trình thứ nhất, thì chúng ta loại bỏ biến chưa biết là x 3 và có thể tìm được x 2:

Ta thay giá trị thu được x 2 \ u003d 2 vào phương trình thứ ba và tìm biến x 3 chưa biết còn lại:

Những người khác sẽ làm khác.

Hãy giải phương trình đầu tiên của hệ với biến chưa biết x 1 và thay biểu thức kết quả vào phương trình thứ hai và thứ ba của hệ để loại trừ biến này khỏi chúng:

Bây giờ, hãy giải phương trình thứ hai của hệ với x 2 và thay kết quả thu được vào phương trình thứ ba để loại trừ biến x 2 chưa biết khỏi nó:

Từ phương trình thứ ba của hệ có thể thấy x 3 = 3. Từ phương trình thứ hai, chúng ta tìm thấy , và từ phương trình đầu tiên chúng ta nhận được.

Giải pháp quen thuộc, phải không?

Điều thú vị nhất ở đây là phương pháp giải thứ hai thực chất là phương pháp loại bỏ tuần tự ẩn số, tức là phương pháp Gauss. Khi chúng ta biểu thị các biến chưa biết (x 1, x 2 tiếp theo) và thay chúng vào phần còn lại của phương trình của hệ, do đó chúng ta loại trừ chúng. Chúng tôi đã thực hiện ngoại lệ cho đến thời điểm khi phương trình cuối cùng chỉ còn lại một biến chưa biết. Quá trình loại bỏ tuần tự các ẩn số được gọi là phương pháp Gauss trực tiếp. Sau khi hoàn thành bước tiến, chúng ta có cơ hội tính biến số chưa biết trong phương trình cuối cùng. Với sự trợ giúp của nó, từ phương trình áp chót, chúng ta tìm ra biến chưa biết tiếp theo, v.v. Quá trình liên tiếp tìm các biến chưa biết trong khi chuyển từ phương trình cuối cùng sang phương trình đầu tiên được gọi là đảo ngược phương pháp Gauss.

Cần lưu ý rằng khi chúng ta biểu thị x 1 theo x 2 và x 3 trong phương trình thứ nhất, sau đó thay biểu thức thu được vào phương trình thứ hai và thứ ba, các thao tác sau dẫn đến kết quả tương tự:

Thật vậy, quy trình như vậy cũng cho phép chúng ta loại trừ biến chưa biết x 1 khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống:

Các sắc thái với việc loại bỏ các biến chưa biết bằng phương pháp Gauss nảy sinh khi các phương trình của hệ không chứa một số biến.

Ví dụ: trong SLAU trong phương trình thứ nhất, không có biến x 1 nào chưa biết (nói cách khác, hệ số đứng trước nó bằng 0). Do đó, chúng ta không thể giải phương trình đầu tiên của hệ đối với x 1 để loại trừ biến chưa biết này khỏi phần còn lại của phương trình. Cách thoát khỏi tình huống này là hoán đổi các phương trình của hệ thống. Vì chúng ta đang xem xét các hệ phương trình tuyến tính có định thức của ma trận chính khác 0, nên luôn tồn tại một phương trình trong đó biến chúng ta cần có mặt và chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình này đến vị trí chúng ta cần. Đối với ví dụ của chúng tôi, chỉ cần hoán đổi phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ thống là đủ , thì bạn có thể giải phương trình đầu tiên cho x 1 và loại nó khỏi phần còn lại của hệ phương trình (mặc dù x 1 đã vắng mặt trong phương trình thứ hai).

Chúng tôi hy vọng bạn hiểu được ý chính.

Hãy mô tả Thuật toán phương pháp Gauss.

Ta cần giải một hệ gồm n phương trình đại số tuyến tính với n biến chưa biết có dạng , và đặt định thức của ma trận chính của nó là số khác không.

Chúng ta sẽ giả định rằng, vì chúng ta luôn có thể đạt được điều này bằng cách sắp xếp lại các phương trình của hệ thống. Chúng tôi loại trừ biến chưa biết x 1 khỏi tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ biến thứ hai. Để thực hiện việc này, hãy cộng phương trình đầu tiên nhân với phương trình thứ hai của hệ thống, cộng số nhân đầu tiên với phương trình thứ ba, v.v., cộng số nhân đầu tiên vào phương trình thứ n. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng nơi một .

Chúng ta sẽ đi đến kết quả tương tự nếu biểu thị x 1 theo các biến chưa biết khác trong phương trình đầu tiên của hệ thống và thay biểu thức kết quả vào tất cả các phương trình khác. Do đó, biến x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ hai.

Tiếp theo, chúng tôi hành động tương tự, nhưng chỉ với một phần của hệ thống kết quả, được đánh dấu trong hình

Để thực hiện việc này, hãy cộng phương trình thứ hai nhân với phương trình thứ ba của hệ thống, cộng nhân thứ hai với phương trình thứ tư, và cứ tiếp tục cộng nhân thứ hai vào phương trình thứ n. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng nơi một . Do đó, biến x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ biến thứ ba.

Tiếp theo, chúng tôi tiến hành loại bỏ x 3 chưa biết, trong khi hành động tương tự với phần của hệ thống được đánh dấu trong hình

Vì vậy, chúng tôi tiếp tục quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss cho đến khi hệ thống có dạng

Kể từ lúc này, chúng ta bắt đầu quy trình ngược lại của phương pháp Gauss: chúng ta tính x n từ phương trình cuối cùng, sử dụng giá trị thu được của x n, chúng ta tìm được x n-1 từ phương trình áp chót, và cứ thế, chúng ta tìm x 1 từ phương trình đầu tiên.

Hãy phân tích thuật toán với một ví dụ.

Ví dụ.

Phương pháp Gaussian.

Quyết định.

Hệ số a 11 khác 0, vì vậy chúng ta hãy chuyển sang quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss, nghĩa là, loại bỏ biến x 1 chưa biết khỏi tất cả các phương trình của hệ, ngoại trừ phương trình đầu tiên. Để thực hiện việc này, đối với phần bên trái và bên phải của phương trình thứ hai, thứ ba và thứ tư, hãy cộng phần bên trái và bên phải của phương trình thứ nhất, nhân với tương ứng, và :

Biến chưa biết x 1 đã bị loại bỏ, hãy chuyển sang loại trừ x 2. Đối với phần bên trái và bên phải của phương trình thứ ba và thứ tư của hệ thống, chúng tôi cộng phần bên trái và bên phải của phương trình thứ hai, nhân với và :

Để hoàn thành quá trình chuyển tiếp của phương pháp Gauss, chúng ta cần loại trừ biến x 3 chưa biết khỏi phương trình cuối cùng của hệ thống. Cộng vào vế trái và vế phải của phương trình thứ tư, tương ứng với vế trái và vế phải của phương trình thứ ba, nhân với :

Bạn có thể bắt đầu quá trình ngược lại của phương pháp Gauss.

Từ phương trình cuối cùng, chúng ta có ,từ phương trình thứ ba, chúng tôi nhận được, từ thứ hai từ đầu tiên.

Để kiểm tra, bạn có thể thay thế các giá trị thu được của các biến chưa biết vào hệ phương trình ban đầu. Tất cả các phương trình đều chuyển thành đồng nhất, có nghĩa là giải pháp theo phương pháp Gauss đã được tìm thấy chính xác.

Trả lời:

Và bây giờ chúng ta sẽ đưa ra lời giải của ví dụ tương tự bằng phương pháp Gauss ở dạng ma trận.

Ví dụ.

Tìm một lời giải cho hệ phương trình Phương pháp Gaussian.

Quyết định.

Ma trận mở rộng của hệ thống có dạng . Trên mỗi cột, các biến chưa biết được viết, tương ứng với các phần tử của ma trận.

Quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss ở đây liên quan đến việc đưa ma trận mở rộng của hệ thống về dạng hình thang bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Quá trình này tương tự như việc loại trừ các biến chưa biết mà chúng ta đã làm với hệ thống ở dạng tọa độ. Bây giờ bạn sẽ bị thuyết phục về nó.

Hãy biến đổi ma trận để tất cả các phần tử trong cột đầu tiên, bắt đầu từ cột thứ hai, trở thành 0. Để thực hiện việc này, đối với các phần tử của hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư, hãy thêm các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên nhân với, và trên tương ứng:

Tiếp theo, chúng tôi biến đổi ma trận kết quả để trong cột thứ hai, tất cả các phần tử, bắt đầu từ cột thứ ba, trở thành 0. Điều này sẽ tương ứng với việc loại trừ biến x 2 chưa biết. Để thực hiện việc này, hãy thêm vào các phần tử của hàng thứ ba và thứ tư các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên của ma trận, nhân với và :

Vẫn là loại trừ biến x 3 chưa biết khỏi phương trình cuối cùng của hệ thống. Để làm điều này, đối với các phần tử của hàng cuối cùng của ma trận kết quả, chúng tôi thêm các phần tử tương ứng của hàng áp chót, nhân với :

Cần lưu ý rằng ma trận này tương ứng với hệ phương trình tuyến tính mà đã có được trước đó sau khi di chuyển trực tiếp.

Đã đến lúc quay lại. Ở dạng ma trận của ký hiệu, quy trình ngược lại của phương pháp Gauss liên quan đến việc biến đổi ma trận kết quả sao cho ma trận được đánh dấu trong hình trở thành đường chéo, nghĩa là, có dạng một số con số ở đâu.

Các phép biến đổi này tương tự như trong phương pháp Gauss, nhưng không được thực hiện từ dòng đầu tiên đến dòng cuối cùng mà từ dòng cuối cùng đến dòng đầu tiên.

Thêm vào các phần tử của hàng thứ ba, thứ hai và thứ nhất các phần tử tương ứng của hàng cuối cùng, nhân với , tiếp tục tương ứng:

Bây giờ, hãy thêm vào các phần tử của hàng thứ hai và đầu tiên các phần tử tương ứng của hàng thứ ba, nhân với và tương ứng:

Ở bước cuối cùng của chuyển động ngược của phương pháp Gaussian, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của hàng thứ hai, nhân với, vào các phần tử của hàng đầu tiên:

Ma trận kết quả tương ứng với hệ phương trình , từ đó chúng tôi tìm ra các biến chưa biết.

Trả lời:

GHI CHÚ.

Khi sử dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính, nên tránh các phép tính gần đúng, vì điều này có thể dẫn đến kết quả hoàn toàn không chính xác. Chúng tôi khuyên bạn không nên làm tròn số thập phân. Tốt hơn là chuyển từ phân số thập phân sang phân số thông thường.

Ví dụ.

Giải hệ ba phương trình bằng phương pháp Gaussian .

Quyết định.

Lưu ý rằng trong ví dụ này, các biến chưa biết có ký hiệu khác (không phải x 1, x 2, x 3 mà là x, y, z). Hãy chuyển sang phân số thông thường:

Loại bỏ x chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ:

Trong hệ kết quả, không có biến y nào chưa biết trong phương trình thứ hai và y có trong phương trình thứ ba, do đó, chúng ta hoán đổi phương trình thứ hai và thứ ba:

Tại thời điểm này, quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss đã kết thúc (bạn không cần phải loại trừ y khỏi phương trình thứ ba, vì biến chưa biết này không còn tồn tại).

Hãy quay trở lại.

Từ phương trình cuối cùng, chúng tôi tìm thấy , từ áp chót từ phương trình đầu tiên chúng ta có

Trả lời:

X = 10, y = 5, z = -20.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính, trong đó số phương trình không trùng với số ẩn số hoặc ma trận chính của hệ suy biến bằng phương pháp Gauss.

Hệ phương trình có ma trận chính là hình chữ nhật hoặc hình vuông suy biến có thể không có nghiệm, có thể có một nghiệm hoặc có thể có vô số nghiệm.

Bây giờ chúng ta sẽ hiểu cách phương pháp Gauss cho phép chúng ta thiết lập tính tương thích hoặc không nhất quán của một hệ phương trình tuyến tính và trong trường hợp tương thích của nó, hãy xác định tất cả các nghiệm (hoặc một nghiệm duy nhất).

Về nguyên tắc, quy trình loại bỏ các biến không xác định trong trường hợp SLAE như vậy vẫn giữ nguyên. Tuy nhiên, nó là giá trị xem xét chi tiết về một số tình huống có thể phát sinh.

Hãy chuyển sang bước quan trọng nhất.

Vì vậy, chúng ta hãy giả sử rằng hệ phương trình đại số tuyến tính sau khi hoàn thành quá trình chạy về phía trước của phương pháp Gauss có dạng và không có phương trình nào rút gọn thành (trong trường hợp này, chúng tôi sẽ kết luận rằng hệ thống là không nhất quán). Một câu hỏi hợp lý được đặt ra: "Làm gì tiếp theo"?

Chúng tôi viết ra các biến chưa biết ở vị trí đầu tiên của tất cả các phương trình của hệ kết quả:

Trong ví dụ của chúng tôi, chúng là x 1, x 4 và x 5. Trong phần bên trái của phương trình của hệ, chúng ta chỉ để lại những số hạng chứa các biến chưa biết đã viết x 1, x 4 và x 5, chúng ta chuyển các số hạng còn lại sang vế phải của hệ phương trình với dấu ngược lại:

Chúng ta hãy gán các giá trị tùy ý cho các biến chưa biết nằm ở phía bên phải của phương trình, trong đó - số tùy ý:

Sau đó, các con số được tìm thấy trong các phần bên phải của tất cả các phương trình của SLAE của chúng ta và chúng ta có thể tiến hành quy trình ngược lại của phương pháp Gauss.

Từ phương trình cuối cùng của hệ, chúng ta có, từ phương trình áp chót, chúng ta tìm được, từ phương trình đầu tiên chúng ta nhận được

Nghiệm của hệ phương trình là tập hợp các giá trị của biến chưa biết

Đưa ra những con số các giá trị khác nhau, chúng ta sẽ nhận được các nghiệm khác nhau của hệ phương trình. Tức là hệ phương trình của ta có vô số nghiệm.

Trả lời:ở đâu - số lượng tùy ý.

Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết lời giải của một số ví dụ khác.

Ví dụ.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất Phương pháp Gaussian.

Quyết định.

Chúng ta hãy loại trừ biến x chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống. Để thực hiện việc này, hãy cộng các phần bên trái và bên phải của phương trình thứ nhất, tương ứng vào phần bên trái và bên phải của phương trình thứ hai, nhân với và vào phần bên trái và bên phải của phương trình thứ ba, phần bên trái và bên phải của phương trình đầu tiên, nhân với:

Bây giờ chúng ta loại trừ y khỏi phương trình thứ ba của hệ phương trình kết quả:

SLAE kết quả tương đương với hệ thống .

Chúng ta chỉ để lại các số hạng chứa biến x và y chưa biết ở bên trái của phương trình của hệ, và chuyển các số hạng có biến z chưa biết sang bên phải:

Tổ chức giáo dục "Nhà nước Belarus

Học viện Nông nghiệp "

Khoa Toán cao cấp

Nguyên tắc

phục vụ cho việc nghiên cứu đề tài "Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính

Phương trình ”của sinh viên Khoa Kế toán của hình thức giáo dục tương ứng (NISPO)

Gorki, 2013

Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nếu mỗi nghiệm của một trong số chúng là nghiệm của hệ kia. Quá trình giải một hệ phương trình tuyến tính bao gồm biến đổi liên tiếp của nó thành một hệ tương đương bằng cách sử dụng cái gọi là biến đổi cơ bản , đó là:

1) hoán vị của hai phương trình bất kỳ của hệ thống;

2) phép nhân cả hai phần của bất kỳ phương trình nào của hệ thống với một số khác 0;

3) thêm vào bất phương trình một phương trình khác, nhân với bất kỳ số nào;

4) xóa một phương trình bao gồm các số không, tức là loại phương trình.

Phép loại trừ Gaussian

Xem xét hệ thống m phương trình tuyến tính với N không xác định:

Bản chất của phương pháp Gauss hay phương pháp loại trừ liên tiếp các ẩn số như sau.

Đầu tiên, với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, ẩn số bị loại khỏi tất cả các phương trình của hệ, ngoại trừ phương trình đầu tiên. Các phép biến đổi như vậy của hệ được gọi là Bước loại bỏ Gaussian . Cái chưa biết được gọi là biến phân giải ở bước chuyển đổi đầu tiên. Hệ số được gọi là yếu tố phân giải , phương trình đầu tiên được gọi là giải phương trình và cột hệ số tại bật cột .

Khi thực hiện một bước khử Gaussian, phải sử dụng các quy tắc sau:

1) các hệ số và số hạng tự do của phương trình phân giải không thay đổi;

2) các hệ số của cột phân giải, nằm bên dưới hệ số phân giải, chuyển về không;

3) tất cả các hệ số và số hạng tự do khác trong bước đầu tiên được tính theo quy tắc hình chữ nhật:

, ở đâu tôi=2,3,…,m; j=2,3,…,N.

Ta thực hiện các phép biến đổi tương tự trên phương trình thứ hai của hệ. Điều này sẽ dẫn đến một hệ thống trong đó ẩn số sẽ bị loại trừ trong tất cả các phương trình, ngoại trừ hai phương trình đầu tiên. Kết quả của các phép biến đổi như vậy đối với mỗi phương trình của hệ (phương trình trực tiếp của phương pháp Gauss), hệ ban đầu được rút gọn thành một hệ bậc tương đương thuộc một trong các loại sau.

Phương pháp Gauss ngược

Hệ thống bước

có hình tam giác và tất cả (tôi=1,2,…,N). Một hệ thống như vậy có một giải pháp duy nhất. Các ẩn số được xác định bắt đầu từ phương trình cuối cùng (đảo ngược của phương pháp Gauss).

Hệ thống bước có dạng

ở đâu, tức là số hệ phương trình nhỏ hơn hoặc bằng số ẩn số. Hệ thống này không có nghiệm, vì phương trình cuối cùng sẽ không giữ cho bất kỳ giá trị nào của biến.

Hệ thống xem từng bước

có vô số nghiệm. Từ phương trình cuối cùng, ẩn số được biểu thị dưới dạng các ẩn số . Sau đó, thay vì ẩn số, biểu thức của nó dưới dạng ẩn số được thay thế thành phương trình áp chót . Tiếp tục quy trình ngược lại của phương pháp Gauss, những ẩn số có thể được diễn đạt dưới dạng ẩn số . Trong trường hợp này, điều chưa biết triệu tập miễn phí và có thể nhận bất kỳ giá trị nào và không xác định nền tảng.

Khi giải hệ trong thực tế, thuận tiện khi thực hiện tất cả các phép biến đổi không phải với hệ phương trình, mà với ma trận mở rộng của hệ, bao gồm các hệ số của ẩn số và một cột các số hạng tự do.

ví dụ 1. Giải hệ phương trình

Quyết định. Chúng ta hãy soạn ma trận mở rộng của hệ thống và thực hiện các phép biến đổi cơ bản:

.

Trong ma trận mở rộng của hệ thống, số 3 (nó được tô sáng) là hệ số phân giải, hàng đầu tiên là hàng độ phân giải và cột đầu tiên là cột độ phân giải. Khi chuyển sang ma trận tiếp theo, hàng phân giải không thay đổi, tất cả các phần tử của cột phân giải bên dưới phần tử phân giải được thay thế bằng số không. Và tất cả các phần tử khác của ma trận đều được tính lại theo quy tắc tứ giác. Thay vì phần tử 4 ở dòng thứ hai, chúng tôi viết , thay vì phần tử -3 ở dòng thứ hai, nó sẽ được viết vân vân. Như vậy, sẽ thu được ma trận thứ hai. Ma trận này sẽ có phần tử phân giải số 18 ở hàng thứ hai. Để tạo thành ma trận tiếp theo (ma trận thứ ba), chúng ta giữ nguyên hàng thứ hai, viết số 0 vào cột dưới phần tử phân giải và tính lại hai phần tử còn lại: thay vì số 1, chúng tôi viết , và thay vì số 16, chúng tôi viết.

Kết quả là, hệ thống ban đầu được rút gọn thành một hệ thống tương đương

Từ phương trình thứ ba, chúng ta tìm thấy . Thay giá trị này vào phương trình thứ hai: y= 3. Thay các giá trị tìm được vào phương trình đầu tiên y và z: , x=2.

Do đó, nghiệm của hệ phương trình này là x=2, y=3, .

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

Quyết định. Hãy thực hiện các phép biến đổi cơ bản trên ma trận mở rộng của hệ thống:

Trong ma trận thứ hai, mỗi phần tử của hàng thứ ba được chia cho 2.

Trong ma trận thứ tư, mỗi phần tử của hàng thứ ba và thứ tư được chia cho 11.

. Ma trận kết quả tương ứng với hệ phương trình

Giải quyết hệ thống này, chúng tôi tìm thấy , , .

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình

Quyết định. Hãy viết ma trận tăng cường của hệ thống và thực hiện các phép biến đổi cơ bản:

.

Trong ma trận thứ hai, mỗi phần tử của hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư được chia cho 7.

Kết quả là hệ phương trình

tương đương với bản gốc.

Vì có ít hơn hai phương trình là ẩn số, nên từ phương trình thứ hai . Thay biểu thức cho vào phương trình đầu tiên:, .

Vì vậy, các công thức đưa ra nghiệm tổng quát của hệ phương trình này. Không xác định và miễn phí và có thể có bất kỳ giá trị nào.

Ví dụ, sau đó và . Quyết định là một trong những giải pháp cụ thể của hệ thống, trong đó có vô số.

Câu hỏi để tự kiểm soát kiến ​​thức

1) Phép biến hình nào của hệ tuyến tính được gọi là sơ cấp?

2) Những phép biến đổi nào của hệ được gọi là bước khử Gauss?

3) Biến phân giải, yếu tố phân giải, cột phân giải là gì?

4) Những quy tắc nào cần được sử dụng khi thực hiện một bước của phép khử Gauss?

Kể từ đầu thế kỷ 16-18, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu chuyên sâu về các hàm, nhờ đó mà cuộc sống của chúng ta đã thay đổi rất nhiều. Công nghệ máy tính không có kiến ​​thức này đơn giản sẽ không tồn tại. Để giải quyết các vấn đề phức tạp, các phương trình và hàm tuyến tính, các khái niệm, định lý và kỹ thuật giải khác nhau đã được tạo ra. Một trong những phương pháp và kỹ thuật phổ biến và hợp lý để giải các phương trình tuyến tính và hệ thống của chúng là phương pháp Gauss. Ma trận, thứ hạng của chúng, yếu tố quyết định - mọi thứ đều có thể được tính toán mà không cần sử dụng các phép toán phức tạp.

SLAU là gì

Trong toán học, có khái niệm SLAE - một hệ phương trình đại số tuyến tính. Cô ấy đại diện cho cái gì? Đây là một tập hợp m phương trình với n ẩn số bắt buộc, thường được ký hiệu là x, y, z, hoặc x 1, x 2 ... x n, hoặc các ký hiệu khác. Để giải hệ này bằng phương pháp Gaussian có nghĩa là tìm tất cả các ẩn số chưa biết. Nếu một hệ có cùng số ẩn số và phương trình thì nó được gọi là hệ bậc n.

Các phương pháp phổ biến nhất để giải SLAE

Trong các cơ sở giáo dục của giáo dục trung học, các phương pháp khác nhau để giải quyết các hệ thống như vậy đang được nghiên cứu. Thông thường, đây là những phương trình đơn giản bao gồm hai ẩn số, vì vậy bất kỳ phương pháp nào hiện có để tìm câu trả lời cho chúng sẽ không mất nhiều thời gian. Nó có thể giống như một phương pháp thay thế, khi một phương trình khác được suy ra từ một phương trình và được thay thế vào phương trình ban đầu. Hoặc thuật ngữ bằng phép trừ và cộng số hạng. Nhưng phương pháp Gauss được coi là dễ nhất và phổ biến nhất. Nó giúp bạn có thể giải các phương trình với bất kỳ số ẩn số nào. Tại sao kỹ thuật này được coi là hợp lý? Mọi thứ đều đơn giản. Phương pháp ma trận là tốt vì nó không yêu cầu viết lại nhiều lần các ký tự không cần thiết dưới dạng ẩn số, chỉ cần thực hiện các phép tính số học trên các hệ số là đủ - và bạn sẽ nhận được một kết quả đáng tin cậy.

SLAE được sử dụng ở đâu trong thực tế?

Nghiệm của SLAE là các giao điểm của các đường trên đồ thị của hàm số. Trong thời đại máy tính công nghệ cao của chúng ta, những người liên quan chặt chẽ đến việc phát triển trò chơi và các chương trình khác cần biết cách giải quyết các hệ thống như vậy, chúng đại diện cho cái gì và cách kiểm tra tính đúng đắn của kết quả thu được. Thông thường, các lập trình viên phát triển các máy tính đại số tuyến tính đặc biệt, bao gồm một hệ thống các phương trình tuyến tính. Phương pháp Gauss cho phép bạn tính toán tất cả các giải pháp hiện có. Các công thức và kỹ thuật đơn giản khác cũng được sử dụng.

Tiêu chí tương thích SLAE

Hệ thống như vậy chỉ có thể được giải quyết nếu nó tương thích. Để rõ ràng, chúng tôi trình bày SLAE dưới dạng Ax = b. Nó có một nghiệm nếu rang (A) bằng rang (A, b). Trong trường hợp này, (A, b) là một ma trận dạng mở rộng có thể nhận được từ ma trận A bằng cách viết lại nó với các số hạng tự do. Nó chỉ ra rằng giải các phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng phương pháp Gaussian là khá dễ dàng.

Có lẽ một số ký hiệu không hoàn toàn rõ ràng, vì vậy cần phải xem xét mọi thứ với một ví dụ. Giả sử có hệ: x + y = 1; 2x-3y = 6. Nó chỉ bao gồm hai phương trình trong đó có 2 ẩn số. Hệ thống sẽ chỉ có một giải pháp nếu hạng của ma trận của nó bằng hạng của ma trận tăng cường. Thứ hạng là gì? Đây là số dòng độc lập của hệ thống. Trong trường hợp của chúng ta, hạng của ma trận là 2. Ma trận A sẽ bao gồm các hệ số nằm gần các ẩn số và các hệ số phía sau dấu “=” cũng sẽ phù hợp với ma trận mở rộng.

Tại sao SLAE có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận

Dựa trên tiêu chí tương thích theo định lý Kronecker-Capelli đã được chứng minh, hệ phương trình đại số tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận. Sử dụng phương pháp thác Gaussian, bạn có thể giải ma trận và nhận được câu trả lời đáng tin cậy duy nhất cho toàn bộ hệ thống. Nếu hạng của một ma trận thông thường bằng hạng của ma trận mở rộng của nó, nhưng nhỏ hơn số ẩn số, thì hệ thống có vô số câu trả lời.

Phép biến đổi ma trận

Trước khi chuyển sang giải các ma trận, cần biết những thao tác nào có thể thực hiện trên các phần tử của chúng. Có một số phép biến đổi cơ bản:

• Bằng cách viết lại hệ thống thành dạng ma trận và thực hiện nghiệm của nó, có thể nhân tất cả các phần tử của dãy số với cùng một hệ số.
• Để chuyển đổi ma trận sang dạng chính tắc, hai hàng song song có thể được hoán đổi. Dạng chính tắc ngụ ý rằng tất cả các phần tử của ma trận nằm dọc theo đường chéo chính sẽ trở thành các phần tử và các phần tử còn lại trở thành số không.
• Các phần tử tương ứng của các hàng song song của ma trận có thể được thêm vào một phần tử khác.

Phương pháp Jordan-Gauss

Thực chất của việc giải hệ phương trình thuần nhất và không thuần nhất tuyến tính bằng phương pháp Gauss là loại bỏ dần các ẩn số. Giả sử chúng ta có một hệ hai phương trình trong đó có hai ẩn số. Để tìm chúng, bạn cần kiểm tra tính tương thích của hệ thống. Phương trình Gaussian được giải rất đơn giản. Cần phải viết ra các hệ số nằm gần mỗi ẩn số dưới dạng ma trận. Để giải hệ thống, bạn cần viết ra ma trận tăng cường. Nếu một trong các phương trình chứa một số ẩn số nhỏ hơn, thì "0" phải được đặt vào vị trí của phần tử bị thiếu. Tất cả các phương pháp biến đổi đã biết đều được áp dụng cho ma trận: nhân, chia cho một số, thêm các phần tử tương ứng của các hàng với nhau và các phần tử khác. Nó chỉ ra rằng trong mỗi hàng, cần phải để lại một biến có giá trị "1", phần còn lại nên được giảm xuống không. Để hiểu chính xác hơn, cần phải xem xét phương pháp Gauss với các ví dụ.

Một ví dụ đơn giản về giải hệ 2x2

Để bắt đầu, chúng ta hãy lấy một hệ phương trình đại số đơn giản, trong đó sẽ có 2 ẩn số.

Hãy viết lại nó trong một ma trận tăng cường.

Để giải hệ phương trình tuyến tính này, chỉ cần hai phép toán. Chúng ta cần đưa ma trận về dạng chính tắc để có các đơn vị dọc theo đường chéo chính. Vậy, chuyển từ dạng ma trận về hệ ta được phương trình: 1x + 0y = b1 và 0x + 1y = b2, trong đó b1 và b2 là các đáp số thu được trong quá trình giải.

1. Bước đầu tiên trong việc giải ma trận tăng cường sẽ như sau: hàng đầu tiên phải được nhân với -7 và các phần tử tương ứng được thêm vào hàng thứ hai, để loại bỏ một ẩn số trong phương trình thứ hai.
2. Vì việc giải phương trình bằng phương pháp Gauss ngụ ý đưa ma trận về dạng chính tắc nên cần thực hiện các phép toán tương tự với phương trình thứ nhất và loại bỏ biến thứ hai. Để làm điều này, chúng tôi trừ dòng thứ hai cho dòng đầu tiên và nhận được câu trả lời cần thiết - giải pháp của SLAE. Hoặc, như thể hiện trong hình, chúng tôi nhân hàng thứ hai với hệ số -1 và cộng các phần tử của hàng thứ hai với hàng đầu tiên. Điều này cũng vậy.

Như bạn thấy, hệ thống của chúng tôi được giải bằng phương pháp Jordan-Gauss. Ta viết lại nó dưới dạng yêu cầu: x = -5, y = 7.

Một ví dụ về giải SLAE 3x3

Giả sử chúng ta có một hệ phương trình tuyến tính phức tạp hơn. Phương pháp Gauss giúp bạn có thể tính được câu trả lời ngay cả đối với hệ thống có vẻ khó hiểu nhất. Do đó, để đi sâu hơn vào phương pháp tính toán, chúng ta có thể chuyển sang một ví dụ phức tạp hơn với ba ẩn số.

Như trong ví dụ trước, chúng ta viết lại hệ thống dưới dạng một ma trận mở rộng và bắt đầu đưa nó về dạng chính tắc.

Để giải quyết hệ thống này, bạn sẽ cần thực hiện nhiều hành động hơn trong ví dụ trước.

1. Trước tiên, bạn cần tạo trong cột đầu tiên một phần tử duy nhất và các số không còn lại. Để làm điều này, hãy nhân phương trình đầu tiên với -1 và cộng phương trình thứ hai với nó. Điều quan trọng cần nhớ là chúng ta viết lại dòng đầu tiên ở dạng ban đầu và dòng thứ hai - đã ở dạng sửa đổi.
2. Tiếp theo, chúng ta loại bỏ cùng một ẩn số đầu tiên khỏi phương trình thứ ba. Để làm điều này, chúng tôi nhân các phần tử của hàng đầu tiên với -2 và thêm chúng vào hàng thứ ba. Bây giờ dòng đầu tiên và dòng thứ hai được viết lại ở dạng ban đầu, và dòng thứ ba - đã có những thay đổi. Như bạn có thể thấy từ kết quả, chúng tôi có một đầu tiên ở đầu đường chéo chính của ma trận và phần còn lại là số không. Thêm một vài thao tác nữa, hệ phương trình bằng phương pháp Gauss sẽ được giải một cách đáng tin cậy.
3. Bây giờ bạn cần thực hiện các thao tác trên các phần tử khác của các hàng. Bước thứ ba và thứ tư có thể được kết hợp thành một. Chúng ta cần chia dòng thứ hai và thứ ba cho -1 để loại bỏ những dòng âm trên đường chéo. Chúng tôi đã đưa dòng thứ ba đến biểu mẫu yêu cầu.
4. Tiếp theo, chúng tôi chuẩn hóa dòng thứ hai. Để làm điều này, chúng tôi nhân các phần tử của hàng thứ ba với -3 và thêm chúng vào dòng thứ hai của ma trận. Có thể thấy từ kết quả là dòng thứ hai cũng được giảm xuống dạng chúng ta cần. Nó vẫn còn để thực hiện thêm một số hoạt động và loại bỏ các hệ số của ẩn số khỏi hàng đầu tiên.
5. Để tạo ra 0 từ phần tử thứ hai của hàng, bạn cần nhân hàng thứ ba với -3 và cộng nó vào hàng đầu tiên.
6. Bước quyết định tiếp theo là thêm các yếu tố cần thiết của hàng thứ hai vào hàng đầu tiên. Vì vậy, chúng tôi nhận được dạng chính tắc của ma trận, và theo đó, câu trả lời.

Như bạn thấy, giải phương trình bằng phương pháp Gauss khá đơn giản.

Một ví dụ về giải hệ phương trình 4x4

Một số hệ phương trình phức tạp hơn có thể được giải bằng phương pháp Gaussian bằng các chương trình máy tính. Cần phải chuyển hệ số cho ẩn số vào các ô trống hiện có, và chương trình sẽ tính toán kết quả cần thiết theo từng bước, mô tả chi tiết từng hành động.

Hướng dẫn từng bước để giải một ví dụ như vậy được mô tả bên dưới.

Trong bước đầu tiên, các hệ số và số tự do cho ẩn số được nhập vào các ô trống. Do đó, chúng tôi có được ma trận tăng cường giống như chúng tôi viết bằng tay.

Và tất cả các phép toán số học cần thiết được thực hiện để đưa ma trận mở rộng về dạng chính tắc. Cần phải hiểu rằng câu trả lời cho một hệ phương trình không phải lúc nào cũng là số nguyên. Đôi khi giải pháp có thể là từ các số phân số.

Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp

Phương pháp Jordan-Gauss cung cấp để kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Để biết các hệ số đã được tính đúng chưa, bạn chỉ cần thay kết quả vào hệ phương trình ban đầu. Vế trái của phương trình phải trùng với vế phải, phía sau dấu bằng. Nếu các câu trả lời không khớp, thì bạn cần phải tính toán lại hệ thống hoặc cố gắng áp dụng một phương pháp giải SLAE khác mà bạn đã biết, chẳng hạn như phép thay thế hoặc phép trừ và cộng theo số hạng. Xét cho cùng, toán học là một môn khoa học có rất nhiều phương pháp giải khác nhau. Nhưng hãy nhớ: kết quả phải luôn giống nhau, cho dù bạn đã sử dụng phương pháp giải nào.

Phương pháp Gauss: các lỗi phổ biến nhất khi giải SLAE

Trong quá trình giải hệ phương trình tuyến tính, hầu hết các lỗi thường xảy ra, chẳng hạn như chuyển sai hệ số về dạng ma trận. Có những hệ thống mà trong đó một số ẩn số bị thiếu trong một trong các phương trình, khi đó, chuyển dữ liệu sang ma trận mở rộng, chúng có thể bị mất. Kết quả là khi giải hệ này, kết quả có thể không tương ứng với kết quả thực.

Một trong những sai lầm chính khác có thể là viết sai kết quả cuối cùng. Cần phải hiểu rõ rằng hệ số đầu tiên sẽ tương ứng với ẩn số đầu tiên từ hệ thống, hệ số thứ hai - đến hệ số thứ hai, v.v.

Phương pháp Gauss mô tả chi tiết nghiệm của phương trình tuyến tính. Nhờ anh ta, có thể dễ dàng thực hiện các thao tác cần thiết và tìm ra kết quả phù hợp. Ngoài ra, đây là một công cụ phổ quát để tìm ra câu trả lời đáng tin cậy cho các phương trình có độ phức tạp bất kỳ. Có lẽ đó là lý do tại sao nó rất thường được sử dụng trong việc giải quyết SLAE.

Trong bài này, phương pháp được coi là cách giải hệ phương trình tuyến tính (SLAE). Phương pháp này là phân tích, nghĩa là, nó cho phép bạn viết một thuật toán giải pháp chung, và sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những hệ có vô số nghiệm. Hoặc họ không có nó ở tất cả.

Gauss có nghĩa là gì?

Đầu tiên, bạn cần viết ra hệ phương trình của chúng ta trong Nó trông như thế này. Hệ thống được thực hiện:

Các hệ số được viết dưới dạng một bảng và ở bên phải trong một cột riêng biệt - các thành viên tự do. Cột có các thành viên tự do được tách ra để thuận tiện. Ma trận bao gồm cột này được gọi là mở rộng.

Hơn nữa, ma trận chính với các hệ số phải được thu gọn thành hình tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ bằng phương pháp Gauss. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông như thế này, do đó chỉ có các số không ở phần dưới bên trái của nó:

Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng hàng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các căn, sau đó được thay vào phương trình trên, một căn khác được tìm thấy, v.v.

Đây là mô tả của giải pháp theo phương pháp Gauss theo các thuật ngữ chung nhất. Và điều gì sẽ xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có giải pháp? Hay có vô hạn trong số chúng? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng trong lời giải bằng phương pháp Gauss.

Ma trận, thuộc tính của chúng

Không có ý nghĩa ẩn trong ma trận. Nó chỉ là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động sau này. Ngay cả học sinh cũng không nên sợ chúng.

Ma trận luôn luôn là hình chữ nhật, vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mọi thứ chỉ tập trung vào việc xây dựng một ma trận tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ với các số không ở nơi không có số. Zeros có thể được bỏ qua, nhưng chúng được ngụ ý.

Ma trận có một kích thước. "Chiều rộng" của nó là số hàng (m), "chiều dài" của nó là số cột (n). Khi đó kích thước của ma trận A (các chữ cái Latinh viết hoa thường được sử dụng để chỉ định của chúng) sẽ được ký hiệu là A m × n. Nếu m = n, thì ma trận này là hình vuông, và m = n là bậc của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A có thể được ký hiệu bằng số hàng và cột của nó: a xy; x - số hàng, các thay đổi, y - số cột, các thay đổi.

B không phải là điểm chính của giải pháp. Về nguyên tắc, tất cả các phép toán có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, nhưng ký hiệu sẽ trở nên rườm rà hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều trong đó.

Bản ngã

Ma trận cũng có một định thức. Đây là một tính năng rất quan trọng. Việc tìm ra ý nghĩa của nó bây giờ là không có giá trị, bạn có thể chỉ cần chỉ ra cách nó được tính toán, và sau đó cho biết thuộc tính nào của ma trận mà nó xác định. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử được nhân lên, và sau đó các tích kết quả được cộng: các đường chéo có độ dốc ở bên phải - với dấu "cộng", với độ dốc ở bên trái - với dấu "trừ".

Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho một ma trận vuông. Đối với ma trận hình chữ nhật, bạn có thể làm như sau: chọn giá trị nhỏ nhất trong số hàng và số cột (giả sử là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử nằm ở giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo thành một ma trận vuông mới. Nếu định thức của một ma trận như vậy là một số khác 0, thì nó được gọi là cơ sở nhỏ của ma trận chữ nhật ban đầu.

Trước khi tiến hành giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, bạn không cần phải tính định thức. Nếu nó trở thành 0, thì chúng ta có thể nói ngay rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.

Phân loại hệ thống

Có một thứ như là hạng của một ma trận. Đây là bậc lớn nhất của định thức khác 0 của nó (nhớ số hạng cơ sở, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là hạng của số hạng cơ sở).

Theo cách mọi thứ diễn ra với thứ hạng, SLAE có thể được chia thành:

• Chung. Tại của hệ thống liên kết, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (với một cột các số hạng tự do). Các hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một, do đó, các hệ thống chung cũng được chia thành:
• - chắc chắn- có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, hạng của ma trận và số ẩn số (hoặc số cột, là cùng một thứ) bằng nhau;
• - vô thời hạn - với vô số nghiệm. Thứ hạng của ma trận cho các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
• Không tương thích. Tại hệ như vậy, bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng không trùng nhau. Hệ thống không tương thích không có giải pháp.

Phương pháp Gauss tốt ở chỗ nó cho phép người ta có được một bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (mà không tính toán các định thức của ma trận lớn) hoặc một nghiệm tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm.

Các phép biến đổi cơ bản

Trước khi tiến hành trực tiếp đến lời giải của hệ thống, có thể làm cho nó bớt rườm rà và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua các phép biến đổi cơ bản - sao cho việc triển khai chúng không thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản ở trên chỉ hợp lệ cho ma trận, nguồn của nó chính xác là SLAE. Dưới đây là danh sách các phép biến đổi này:

1. Hoán vị chuỗi. Rõ ràng là nếu chúng ta thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, thì điều này sẽ không ảnh hưởng đến lời giải theo bất kỳ cách nào. Do đó, cũng có thể hoán đổi các hàng trong ma trận của hệ thống này, tất nhiên là không quên về cột các thành viên tự do.
2. Nhân tất cả các phần tử của một chuỗi với một số thừa số. Rất hữu ích! Với nó, bạn có thể giảm các số lớn trong ma trận hoặc loại bỏ các số không. Như thường lệ, tập hợp các giải pháp sẽ không thay đổi và sẽ trở nên thuận tiện hơn khi thực hiện các thao tác tiếp theo. Điều chính là hệ số không bằng không.
3. Xóa các hàng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân / chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc nhiều hơn) hàng hoàn toàn giống hệt nhau và bạn có thể loại bỏ các hàng thừa, chỉ để lại một.
4. Xóa dòng rỗng. Nếu trong quá trình biến đổi, một chuỗi thu được ở đâu đó mà tất cả các phần tử, kể cả phần tử tự do, đều bằng 0, thì một chuỗi như vậy có thể được gọi là không và bị loại ra khỏi ma trận.
5. Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (trong các cột tương ứng), nhân với một hệ số nhất định. Sự biến đổi khó hiểu nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó là giá trị tìm hiểu chi tiết hơn về nó.

Thêm một chuỗi nhân với một hệ số

Để dễ hiểu, bạn nên tháo rời quy trình này từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Giả sử bạn cần cộng số thứ nhất với số thứ hai, nhân với hệ số "-2".

a "21 \ u003d a 21 + -2 × a 11

a "22 \ u003d a 22 + -2 × a 12

a "2n \ u003d a 2n + -2 × a 1n

Sau đó, trong ma trận, hàng thứ hai được thay thế bằng hàng mới và hàng đầu tiên không thay đổi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách mà kết quả của phép cộng hai chuỗi, một trong các phần tử của chuỗi mới bằng không. Do đó, có thể thu được một phương trình trong hệ, trong đó sẽ có một ẩn số ít hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì phép toán có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình đã chứa ít ẩn số hơn. Và nếu mỗi lần chúng ta chuyển về 0 một hệ số cho tất cả các hàng thấp hơn hàng ban đầu, thì chúng ta có thể, giống như các bước, đi xuống dưới cùng của ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Đây được gọi là giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.

Nói chung

Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó ra như sau:

Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột gồm các thành viên tự do được thêm vào ma trận mở rộng và ngăn cách bằng một thanh để thuận tiện.

• hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k = (-a 21 / a 11);
• hàng sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
• thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
• bây giờ hệ số đầu tiên trong hàng thứ hai mới là 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Bây giờ cùng một loạt các phép biến đổi được thực hiện, chỉ có hàng đầu tiên và hàng thứ ba là có liên quan. Theo đó, trong mỗi bước của thuật toán, phần tử 21 được thay thế bằng 31. Sau đó, mọi thứ được lặp lại với 41, ... a m1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng bằng không. Bây giờ chúng ta cần quên dòng số một và thực hiện thuật toán tương tự bắt đầu từ dòng thứ hai:

• hệ số k \ u003d (-a 32 / a 22);
• dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng "hiện tại";
• kết quả của phép cộng được thay thế ở dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và thứ hai không thay đổi;
• trong các hàng của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng 0.

Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi xuất hiện hệ số k = (-a m, m-1 / a mm). Điều này có nghĩa là thuật toán chỉ được chạy lần cuối cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có hình dạng bậc thang. Dòng dưới cùng chứa đẳng thức a mn × x n = b m. Hệ số và số hạng tự do đã biết, và căn được biểu thị qua chúng: x n = b m / a mn. Gốc kết quả được thay vào hàng trên cùng để tìm x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. Và tương tự như vậy: trong mỗi dòng tiếp theo có một gốc mới, và khi đạt đến "đỉnh" của hệ thống, bạn có thể tìm thấy nhiều giải pháp. Nó sẽ là một trong những duy nhất.

Khi không có giải pháp

Nếu ở một trong các hàng của ma trận tất cả các phần tử, ngoại trừ số hạng tự do, đều bằng 0, thì phương trình tương ứng với hàng này có dạng 0 = b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ, thì tập nghiệm của toàn bộ hệ là rỗng, tức là nó suy biến.

Khi có vô số nghiệm

Nó có thể chỉ ra rằng trong ma trận tam giác rút gọn không có hàng nào có một phần tử - hệ số của phương trình và một - một phần tử tự do. Chỉ có những chuỗi, khi được viết lại, sẽ trông giống như một phương trình có hai hoặc nhiều biến. Điều này có nghĩa là hệ thống có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm nó?

Tất cả các biến trong ma trận được chia thành cơ bản và tự do. Cơ bản - đây là những thứ đứng "ở rìa" của các hàng trong ma trận bậc. Phần còn lại là miễn phí. Trong giải pháp chung, các biến cơ bản được viết dưới dạng các biến miễn phí.

Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành một hệ phương trình. Sau đó, trong biến cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên, và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mỗi phương trình với một biến cơ bản. Sau đó, trong phần còn lại của phương trình, nếu có thể, thay vì biến cơ bản, biểu thức thu được cho nó được thay thế. Nếu kết quả lại là một biểu thức chỉ chứa một biến cơ bản, thì nó được biểu diễn lại từ đó, v.v., cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng một biểu thức với các biến tự do. Đây là giải pháp chung của SLAE.

Bạn cũng có thể tìm thấy giải pháp cơ bản của hệ thống - cung cấp cho các biến tự do bất kỳ giá trị nào, sau đó trong trường hợp cụ thể này tính giá trị của các biến cơ bản. Có vô số giải pháp cụ thể.

Giải pháp với các ví dụ cụ thể

Đây là hệ phương trình.

Để thuận tiện, tốt hơn là tạo ngay ma trận của nó

Được biết, khi giải theo phương pháp Gauss, phương trình ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận là nhỏ nhất - khi đó các phần tử đầu tiên của các hàng còn lại sau các phép toán sẽ chuyển về không. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ có lợi khi đặt hàng thứ hai vào vị trí của hàng đầu tiên.

dòng thứ hai: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 \ u003d a 21 + k × a 11 \ u003d 3 + (-3) × 1 \ u003d 0

a "22 \ u003d a 22 + k × a 12 \ u003d -1 + (-3) × 2 \ u003d -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 \ u003d b 2 + k × b 1 \ u003d 12 + (-3) × 12 \ u003d -24

dòng thứ ba: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 \ u003d b 3 + k × b 1 \ u003d 3 + (-5) × 12 \ u003d -57

Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, cần phải viết ra ma trận với các kết quả trung gian của các phép biến đổi.

Rõ ràng là một ma trận như vậy có thể được tạo ra thuận tiện hơn cho việc nhận thức với sự trợ giúp của một số phép toán. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả các "minuses" khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với "-1".

Cũng cần lưu ý rằng trong hàng thứ ba tất cả các phần tử là bội số của ba. Sau đó, bạn có thể giảm chuỗi theo số này, nhân từng phần tử với "-1/3" (trừ - đồng thời để loại bỏ các giá trị âm).

Trông đẹp hơn nhiều. Bây giờ chúng ta cần để lại một mình dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là thêm hàng thứ hai vào hàng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a 32 trở thành bằng không.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 phân số và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, hãy quyết định có làm tròn và chuyển sang dạng ký hiệu khác hay không)

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 \ u003d a 33 + k × a 23 \ u003d 6 + (-3/7) × 11 \ u003d -9/7

b "3 \ u003d b 3 + k × b 2 \ u003d 19 + (-3/7) × 24 \ u003d -61/7

Ma trận được viết lại với các giá trị mới.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Như bạn có thể thấy, ma trận kết quả đã có dạng bậc. Do đó, không cần thực hiện các phép biến đổi tiếp theo của hệ thống theo phương pháp Gauss. Điều có thể làm ở đây là loại bỏ hệ số tổng thể "-1/7" khỏi dòng thứ ba.

Bây giờ mọi thứ đều đẹp. Điểm nhỏ - viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính nghiệm nguyên

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Thuật toán mà bây giờ sẽ tìm thấy các gốc được gọi là di chuyển ngược lại trong phương pháp Gauss. Phương trình (3) chứa giá trị của z:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

Và phương trình đầu tiên cho phép bạn tìm x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Chúng ta có quyền gọi như vậy là một liên kết hệ thống, và thậm chí có thể xác định, nghĩa là có một giải pháp duy nhất. Phản hồi được viết dưới dạng sau:

x 1 \ u003d -2/3, y \ u003d -65/9, z \ u003d 61/9.

Ví dụ về hệ thống vô thời hạn

Phương pháp giải một hệ nào đó bằng phương pháp Gauss đã được phân tích, bây giờ cần xét trường hợp nếu hệ là vô nghiệm, tức là có thể tìm được vô số nghiệm cho nó.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Dạng chính của hệ thống đã đáng báo động, bởi vì số ẩn số là n = 5, và hạng của ma trận của hệ thống đã chính xác nhỏ hơn số này, bởi vì số hàng là m = 4, tức là, bậc lớn nhất của định thức bình phương là 4. Điều này có nghĩa là có vô số nghiệm và cần phải tìm dạng tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính có thể thực hiện điều này.

Đầu tiên, như thường lệ, ma trận tăng cường được biên dịch.

Dòng thứ hai: hệ số k = (-a 21 / a 11) = -3. Trong dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến hình, vì vậy bạn không cần phải chạm vào bất cứ thứ gì, bạn cần để nguyên như vậy. Dòng thứ tư: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

Lần lượt nhân các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng mong muốn, chúng ta thu được một ma trận có dạng sau:

Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư nói chung giống nhau, vì vậy có thể loại bỏ một trong số chúng ngay lập tức, và phần còn lại nhân với hệ số "-1" và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, hãy để lại một trong hai dòng giống nhau.

Hóa ra một ma trận như vậy. Hệ thống vẫn chưa được viết ra, ở đây cần xác định các biến cơ bản - đứng ở các hệ số a 11 \ u003d 1 và a 22 \ u003d 1, và miễn phí - tất cả phần còn lại.

Phương trình thứ hai chỉ có một biến cơ bản - x 2. Do đó, nó có thể được biểu diễn từ đó, viết thông qua các biến x 3, x 4, x 5, là các biến miễn phí.

Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.

Nó chỉ ra một phương trình trong đó biến cơ bản duy nhất là x 1. Hãy làm tương tự với nó như với x 2.

Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai, được biểu thị dưới dạng ba biến tự do, bây giờ bạn có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát.

Bạn cũng có thể chỉ định một trong các giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, theo quy tắc, các số không được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Thì câu trả lời sẽ là:

16, 23, 0, 0, 0.

Ví dụ về hệ thống không tương thích

Giải hệ phương trình không nhất quán bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là giai đoạn có tính rễ khá dài và thê lương biến mất. Hệ thống sau được coi là:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Như thường lệ, ma trận được biên dịch:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Và nó được rút gọn thành dạng bước:

k 1 \ u003d -2k 2 \ u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Sau phép biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa một phương trình có dạng

không có giải pháp. Do đó, hệ thống không nhất quán, và câu trả lời là tập hợp trống.

Ưu nhược điểm của phương pháp

Nếu bạn chọn phương pháp nào để giải SLAE trên giấy bằng bút, thì phương pháp được xem xét trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Trong các phép biến đổi cơ bản, sẽ khó nhầm lẫn hơn nhiều so với việc bạn phải tự tìm kiếm định thức hoặc một số ma trận nghịch đảo phức tạp. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với dữ liệu thuộc loại này, chẳng hạn như bảng tính, thì hóa ra các chương trình đó đã chứa các thuật toán để tính toán các tham số chính của ma trận - định thức, con, nghịch đảo, v.v. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc sai lầm, thì việc sử dụng phương pháp ma trận hoặc các công thức của Cramer sẽ phù hợp hơn, bởi vì ứng dụng của chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính toán các định thức và ma trận nghịch đảo.

Ứng dụng

Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và trên thực tế, ma trận là một mảng hai chiều, nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự định vị mình như một hướng dẫn "cho hình nộm", nên phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để chuyển phương pháp vào là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và đối với các phép toán với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể thêm các ma trận có cùng kích thước!), Phép nhân với một số, phép nhân ma trận (cũng có một số hạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và chuyển vị và quan trọng nhất là , tính định thức. Nếu tác vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì việc xác định thứ hạng của ma trận và do đó sẽ nhanh hơn nhiều để thiết lập tính tương thích hoặc không nhất quán của nó.

1. Hệ phương trình đại số tuyến tính

1.1 Khái niệm về một hệ phương trình đại số tuyến tính

Hệ phương trình là một điều kiện bao gồm việc thực hiện đồng thời một số phương trình với một số biến số. Hệ phương trình đại số tuyến tính (sau đây viết tắt là SLAE) chứa m phương trình và n ẩn số là hệ có dạng:

trong đó các số a ij được gọi là hệ số của hệ thống, các số b i là các thành viên tự do, aij và b tôi(i = 1,…, m; b = 1,…, n) là một số số đã biết và x 1,…, x n- không xác định. Trong ký hiệu của các hệ số aij chỉ số thứ nhất i biểu thị số của phương trình và chỉ số thứ hai j là số ẩn mà tại đó hệ số này là viết tắt của. Đề tìm số x n. Thật tiện lợi khi viết một hệ thống như vậy dưới dạng ma trận nhỏ gọn: AX = B.Ở đây A là ma trận các hệ số của hệ, gọi là ma trận chính;

là một vectơ cột của xj chưa biết. là một vector cột của các thành viên tự do bi.

Tích của ma trận A * X được xác định, vì có bao nhiêu cột trong ma trận A cũng như số hàng trong ma trận X (n phần).

Ma trận mở rộng của hệ thống là ma trận A của hệ thống, được bổ sung bởi một cột số hạng tự do

1.2 Lời giải của một hệ phương trình đại số tuyến tính

Nghiệm của hệ phương trình là một tập hợp các số có thứ tự (giá trị của biến), khi thay chúng thay cho biến thì mỗi phương trình của hệ sẽ biến thành một đẳng thức thực sự.

Nghiệm của hệ là n giá trị của các ẩn số x1 = c1, x2 = c2,…, xn = cn, thay vào đó tất cả các phương trình của hệ đều biến thành các ẩn số. Bất kỳ giải pháp nào của hệ thống đều có thể được viết dưới dạng cột ma trận

Một hệ phương trình được gọi là nhất quán nếu nó có ít nhất một nghiệm và không nhất quán nếu nó không có nghiệm.

Một hệ thống chung được gọi là xác định nếu nó có một giải pháp duy nhất và vô thời hạn nếu nó có nhiều hơn một giải pháp. Trong trường hợp thứ hai, mỗi giải pháp của nó được gọi là một giải pháp cụ thể của hệ thống. Tập hợp tất cả các nghiệm cụ thể được gọi là giải pháp chung.

Để giải quyết một hệ thống có nghĩa là tìm hiểu xem nó nhất quán hay không nhất quán. Nếu hệ thống tương thích, hãy tìm giải pháp chung cho nó.

Hai hệ thức được gọi là tương đương (tương đương) nếu chúng có cùng một nghiệm tổng quát. Nói cách khác, các hệ thống là tương đương nếu mọi giải pháp cho một trong số chúng là giải pháp cho hệ thống kia, và ngược lại.

Một phép biến đổi, ứng dụng của nó biến một hệ thống thành một hệ thống mới tương đương với hệ thống ban đầu, được gọi là một phép biến đổi tương đương hoặc tương đương. Các phép biến đổi sau đây có thể dùng làm ví dụ về các phép biến đổi tương đương: hoán đổi hai phương trình của hệ, hoán đổi hai ẩn số cùng với hệ số của tất cả các phương trình, nhân cả hai phần của bất kỳ phương trình nào của hệ với một số khác không.

Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả các số hạng tự do đều bằng 0:

Một hệ thuần nhất luôn luôn nhất quán, vì x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 là một nghiệm của hệ. Giải pháp này được gọi là null hoặc trivial.

2. Phương pháp khử Gaussian

2.1 Bản chất của phương pháp khử Gaussian

Phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình đại số tuyến tính là phương pháp loại bỏ liên tiếp các ẩn số - Phương pháp Gauss(Nó còn được gọi là phương pháp khử Gauss). Đây là một phương pháp loại bỏ liên tiếp các biến, khi, với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, một hệ phương trình được rút gọn thành một hệ tương đương có dạng bậc (hoặc tam giác), từ đó tất cả các biến khác được tìm thấy tuần tự, bắt đầu từ biến cuối cùng (theo số).

Quá trình giải Gauss bao gồm hai giai đoạn: tiến và lùi.

1. Di chuyển trực tiếp.

Ở giai đoạn đầu, cái gọi là chuyển động trực tiếp được thực hiện, khi, bằng các phép biến đổi cơ bản qua các hàng, hệ thống được đưa về dạng bậc hoặc dạng tam giác, hoặc hệ thống không nhất quán. Cụ thể, trong số các phần tử của cột đầu tiên của ma trận, một phần tử khác không được chọn, nó được di chuyển lên vị trí trên cùng bằng cách hoán vị các hàng và hàng đầu tiên thu được sau khi hoán vị được trừ cho các hàng còn lại, nhân nó. bởi một giá trị bằng tỷ lệ của phần tử đầu tiên của mỗi hàng này với phần tử đầu tiên của hàng đầu tiên, do đó làm bằng không cột bên dưới nó.

Sau khi thực hiện các phép biến đổi được chỉ định, hàng đầu tiên và cột đầu tiên được gạch bỏ và tiếp tục cho đến khi còn lại ma trận kích thước bằng không. Nếu tại một số lần lặp giữa các phần tử của cột đầu tiên không tìm thấy phần tử khác 0, thì hãy chuyển đến cột tiếp theo và thực hiện thao tác tương tự.

Ở giai đoạn đầu tiên (chạy về phía trước), hệ thống được giảm xuống dạng bước (cụ thể là hình tam giác).

Hệ thống dưới đây là từng bước:

,

Các hệ số aii được gọi là phần tử chính (hàng đầu) của hệ thống.

(nếu a11 = 0, hãy sắp xếp lại các hàng của ma trận để một 11 không bằng 0. Điều này luôn luôn có thể xảy ra, bởi vì nếu không thì ma trận chứa cột 0, định thức của nó bằng 0 và hệ thống không nhất quán).

Chúng ta biến đổi hệ bằng cách loại bỏ x1 chưa biết trong tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình đầu tiên (sử dụng các phép biến đổi cơ bản của hệ). Để làm điều này, hãy nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với

và cộng số hạng theo số hạng với phương trình thứ hai của hệ (hoặc từ phương trình thứ hai chúng ta trừ số hạng theo số hạng thứ nhất nhân với). Sau đó, chúng ta nhân cả hai phần của phương trình thứ nhất với và cộng nó vào phương trình thứ ba của hệ (hoặc trừ phần thứ nhất nhân với số hạng thứ ba với số hạng). Do đó, chúng ta liên tiếp nhân hàng đầu tiên với một số và thêm vào tôi-dòng thứ, cho tôi = 2, 3, …,N.

Tiếp tục quá trình này, chúng tôi nhận được hệ thống tương đương:

- giá trị mới của hệ số cho ẩn số và số hạng tự do trong m-1 phương trình cuối cùng của hệ, được xác định bằng công thức:

Do đó, ở bước đầu tiên, tất cả các hệ số dưới phần tử đứng đầu đầu tiên a 11 đều bị hủy.

0, bước thứ hai hủy các phần tử dưới phần tử đứng đầu thứ hai a 22 (1) (nếu a 22 (1) 0), v.v. Tiếp tục quá trình này thêm nữa, cuối cùng chúng ta sẽ rút gọn hệ ban đầu thành một hệ tam giác ở bước (m-1).

Nếu, trong quá trình giảm hệ thống về dạng từng bước, không xuất hiện phương trình, tức là các bằng nhau có dạng 0 = 0, chúng bị loại bỏ. Nếu có một phương trình dạng

Điều này cho thấy sự không tương thích của hệ thống.

Điều này hoàn thành quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss.

2. Đảo chiều chuyển động.

Ở giai đoạn thứ hai, cái gọi là chuyển động ngược được thực hiện, bản chất của nó là thể hiện tất cả các biến cơ bản kết quả dưới dạng những biến không cơ bản và xây dựng một hệ thống giải pháp cơ bản, hoặc, nếu tất cả các biến là cơ bản, sau đó biểu thị bằng số nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính.

Quy trình này bắt đầu với phương trình cuối cùng, từ đó biến cơ bản tương ứng được thể hiện (chỉ có một biến trong đó) và được thay thế vào các phương trình trước đó, và cứ thế đi lên các "bước".

Mỗi dòng tương ứng với chính xác một biến cơ bản, vì vậy ở mỗi bước, ngoại trừ biến cuối cùng (trên cùng), tình huống lặp lại chính xác trường hợp của dòng cuối cùng.

Lưu ý: trong thực tế, sẽ thuận tiện hơn nếu không làm việc với hệ thống, mà với ma trận mở rộng của nó, thực hiện tất cả các phép biến đổi cơ bản trên các hàng của nó. Điều thuận tiện là hệ số a11 bằng 1 (sắp xếp lại các phương trình, hoặc chia cả hai vế của phương trình cho a11).

2.2 Các ví dụ về giải SLAE bằng phương pháp Gauss

Trong phần này, sử dụng ba ví dụ khác nhau, chúng tôi sẽ chỉ ra cách sử dụng phương pháp Gaussian để giải SLAE.

Ví dụ 1. Giải SLAE của lệnh thứ 3.

Đặt các hệ số thành 0 tại

ở dòng thứ hai và thứ ba. Để làm điều này, hãy nhân chúng lần lượt với 2/3 và 1 rồi thêm chúng vào dòng đầu tiên: