Một Hàm Tăng Giảm Từ Một Hàm Giảm. Thuật Toán Tìm Khoảng Thời ...

tâm lý gia đình Một hàm tăng giảm từ một hàm giảm. Thuật toán tìm khoảng thời gian của các hàm tăng và giảm

Tác phẩm cuối cùng dưới dạng Đề thi thống nhất dành cho học sinh lớp 11 nhất thiết phải có các nhiệm vụ tính giới hạn, khoảng giảm và tăng đạo hàm của một hàm số, tìm điểm cực trị và vẽ đồ thị. Kiến thức tốt về chủ đề này cho phép bạn trả lời chính xác một số câu hỏi của kỳ thi và không gặp khó khăn trong quá trình đào tạo chuyên môn thêm.

Cơ bản của phép tính vi phân là một trong những chủ đề chính của toán học của trường học hiện đại. Cô ấy nghiên cứu việc sử dụng đạo hàm để nghiên cứu sự phụ thuộc của các biến - thông qua đạo hàm, bạn có thể phân tích sự tăng và giảm của một hàm mà không cần tham khảo hình vẽ.

Việc chuẩn bị toàn diện cho học sinh tốt nghiệp để vượt qua kỳ thi trên cổng thông tin giáo dục "Shkolkovo" sẽ giúp hiểu sâu hơn các nguyên tắc phân hóa - hiểu chi tiết lý thuyết, nghiên cứu các ví dụ giải các bài toán điển hình và thử sức với công việc độc lập. Chúng tôi sẽ giúp bạn xóa bỏ những lỗ hổng trong kiến ​​thức - để làm rõ hiểu biết của bạn về các khái niệm từ vựng của chủ đề và sự phụ thuộc của các đại lượng. Học sinh sẽ có thể lặp lại cách tìm các khoảng đơn điệu, nghĩa là sự tăng hoặc giảm của đạo hàm của một hàm số trên một khoảng nào đó, khi các điểm biên được bao gồm và không bao gồm trong các khoảng tìm được.

Trước khi bắt đầu giải trực tiếp các bài toán chuyên đề, chúng tôi khuyên bạn trước tiên nên vào phần "Tham khảo lý thuyết" và lặp lại các định nghĩa về khái niệm, quy tắc và công thức dạng bảng. Tại đây bạn cũng có thể tham khảo cách tìm và ghi từng khoảng của hàm số tăng, giảm trên đồ thị đạo hàm.

Tất cả thông tin được cung cấp được trình bày ở dạng dễ tiếp cận nhất để hiểu thực tế ngay từ đầu. Trang web cung cấp tài liệu để nhận thức và đồng hóa dưới nhiều hình thức khác nhau - đọc, xem video và đào tạo trực tiếp dưới sự hướng dẫn của các giáo viên giàu kinh nghiệm. Các nhà giáo dục chuyên nghiệp sẽ cho bạn biết chi tiết cách tìm khoảng tăng và giảm của đạo hàm của một hàm bằng phương pháp phân tích và đồ thị. Trong hội thảo trên web, bạn có thể hỏi bất kỳ câu hỏi nào quan tâm cả về lý thuyết và giải quyết các vấn đề cụ thể.

Ghi nhớ các điểm chính của chủ đề, xem các ví dụ về tăng đạo hàm của một hàm số, tương tự như nhiệm vụ của các phương án thi. Để củng cố những gì bạn đã học, hãy xem trong "Danh mục" - ở đây bạn sẽ tìm thấy các bài tập thực hành cho công việc độc lập. Các nhiệm vụ trong phần được lựa chọn ở các mức độ phức tạp khác nhau, có tính đến sự phát triển của các kỹ năng. Ví dụ, đối với mỗi người trong số họ, các thuật toán giải và câu trả lời đúng được đính kèm.

Bằng cách chọn phần "Hàm tạo", học sinh sẽ được thực hành nghiên cứu sự tăng và giảm đạo hàm của một hàm trên các phiên bản thực của USE, được cập nhật liên tục với những thay đổi và cải tiến mới nhất.

1. Tìm miền của hàm

2.Tìm đạo hàm của hàm số

3. Lập phương trình đạo hàm bằng 0 và tìm các điểm tới hạn của hàm số

4. Đánh dấu các điểm tới hạn trên miền định nghĩa

5. Tính dấu của đạo hàm trong mỗi khoảng thu được

6. Tìm ra hoạt động của hàm số trong mỗi khoảng thời gian.

Ví dụ: Tìm khoảng thời gian tăng và giảm của một hàm sốf(x) = và số lượng các số không của hàm này trên khoảng.

Quyết định:

1.D ( f) = R

2. f"(x) =

D ( f") = D ( f) = R

3. Tìm các điểm tới hạn của hàm số bằng cách giải phương trình f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

các điểm quan trọng của chức năng x= 0 và x = 10.

4. Hãy xác định dấu của đạo hàm.

f"(x) + – +

f(x) 0 10x

trong các khoảng (-∞; 0) và (10; + ∞) đạo hàm của hàm số là dương và tại các điểm x= 0 và x = 10 hàm f(x) liên tục, do đó, hàm này tăng trên các khoảng: (-∞; 0];.

Hãy để chúng tôi xác định dấu hiệu của các giá trị hàm ở cuối đoạn.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Vì hàm số giảm trên đoạn và dấu các giá trị của hàm số thay đổi, nên hàm số trên đoạn này có một số không.

Trả lời: hàm số f (x) tăng trên các khoảng: (-∞; 0] ;;

trên khoảng, hàm số có một nguyên hàm là nguyên hàm.

2. Điểm cực trị của hàm số: điểm cực đại và điểm cực tiểu. Điều kiện cần và đủ để tồn tại một cực trị của hàm số. Quy tắc kiểm tra một hàm cho điểm cực trị .

Định nghĩa 1:Các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 được gọi là tới hạn hoặc đứng yên.

Định nghĩa 2. Một điểm được gọi là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm nếu giá trị của hàm tại điểm này nhỏ hơn (lớn hơn) các giá trị gần nhất của hàm.

Cần lưu ý rằng mức tối đa và tối thiểu trong trường hợp này là cục bộ.

Trên hình. 1. mô tả cực đại và cực tiểu cục bộ.

Điểm cực đại và cực tiểu của một hàm số được kết hợp bởi một tên chung: điểm cực trị của một hàm số.

Định lý 1.(một tiêu chí cần thiết cho sự tồn tại của một cực trị của hàm). Nếu một hàm có thể phân biệt tại một điểm có cực đại hoặc cực tiểu tại điểm này, thì đạo hàm của nó biến mất tại,.

Định lý 2.(một tiêu chí đủ cho sự tồn tại của một điểm cực trị của hàm). Nếu một hàm liên tục có đạo hàm tại tất cả các điểm của một khoảng nào đó có chứa điểm tới hạn (có thể có ngoại lệ của chính điểm này), và Nếu đạo hàm, khi đối số đi từ trái sang phải qua điểm tới hạn, đổi dấu từ cộng sang trừ, thì hàm tại điểm này có cực đại và khi dấu chuyển từ trừ sang cộng, nó có cực tiểu.

"Chức năng Tăng và Giảm"

Mục tiêu bài học:

1. Tìm hiểu cách tìm khoảng thời gian đơn điệu.

2. Sự phát triển của các khả năng tinh thần cung cấp khả năng phân tích tình hình và phát triển các phương pháp hành động thích hợp (phân tích, tổng hợp, so sánh).

3. Hình thành hứng thú đối với môn học.

Trong các lớp học

Hôm nay chúng ta tiếp tục nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm và xem xét câu hỏi ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu hàm số. Công việc phía trước

Và bây giờ chúng ta hãy đưa ra một số định nghĩa về các thuộc tính của hàm "Brainstorm"

1. Cái gì được gọi là một hàm?

2. Tên của biến x là gì?

3. Tên của biến Y là gì?

4. Phạm vi của một chức năng là gì?

5. Tập giá trị hàm là gì?

6. Hàm chẵn là gì?

7. Hàm nào được gọi là hàm lẻ?

8. Có thể nói gì về đồ thị của một hàm số chẵn?

9. Có thể nói gì về đồ thị của một hàm số lẻ?

10. Một chức năng tăng là gì?

11. Hàm giảm là gì?

12. Một hàm tuần hoàn là gì?

Toán học nghiên cứu các mô hình toán học. Một trong những mô hình toán học quan trọng nhất là một hàm. Có nhiều cách khác nhau để mô tả các chức năng. Cái nào là rõ ràng nhất?

- Đồ họa.

- Cách xây dựng biểu đồ?

- Bằng điểm.

Phương pháp này phù hợp nếu bạn biết trước biểu đồ trông như thế nào. Ví dụ, đồ thị của hàm số bậc hai, hàm số tuyến tính, tỷ lệ nghịch, hàm số y = sinx là gì? (Các công thức tương ứng được chứng minh, học sinh nêu tên các đường cong là đồ thị.)

Nhưng nếu bạn muốn vẽ đồ thị một hàm hoặc thậm chí phức tạp hơn? Bạn có thể tìm thấy nhiều điểm, nhưng hàm hoạt động như thế nào giữa các điểm này?

Đặt hai điểm lên bảng, yêu cầu học sinh chỉ ra biểu đồ “giữa chúng” có thể trông như thế nào:

Để tìm hiểu cách một hàm hoạt động, đạo hàm của nó sẽ hữu ích.

Mở vở, ghi số, bài làm của lớp.

Mục đích của bài học: tìm hiểu cách đồ thị của một hàm số liên quan đến đồ thị của đạo hàm của nó và tìm hiểu cách giải các bài toán thuộc hai dạng:

1. Theo đồ thị của đạo hàm, tìm các khoảng tăng, giảm của chính hàm số, cũng như các điểm cực trị của hàm số;

2. Theo sơ đồ dấu hiệu của đạo hàm trên các khoảng, tìm khoảng tăng và giảm của chính hàm số, cũng như các điểm cực trị của hàm số.

Những nhiệm vụ như vậy không có trong sách giáo khoa của chúng tôi, nhưng chúng được tìm thấy trong các bài kiểm tra của kỳ thi quốc gia thống nhất (phần A và B).

Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ xem xét một yếu tố nhỏ của công việc của giai đoạn hai nghiên cứu quá trình, nghiên cứu một trong những tính chất của hàm số - định nghĩa các khoảng đơn điệu

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần nhớ lại một số vấn đề đã thảo luận trước đó.

Vậy chúng ta cùng ghi lại chủ đề của bài hôm nay: Dấu hiệu tăng, giảm của hàm số.

Dấu hiệu của chức năng tăng và giảm:

Nếu đạo hàm của hàm này dương với mọi giá trị của x trong khoảng (a; c), tức là f "(x) \ u003e 0, thì hàm tăng trong khoảng này. Nếu đạo hàm của hàm này âm với mọi giá trị của x trong khoảng (a; b), tức là f "(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

Thứ tự tìm khoảng của tính đơn điệu:

Tìm phạm vi của chức năng.

1. Tìm đạo hàm cấp một của một hàm số.

2. quyết định trên hội đồng quản trị

Tìm các điểm tới hạn, khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất trong các khoảng mà các điểm tới hạn tìm được chia miền của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) miền định nghĩa,

b) tìm đạo hàm cấp một:,

c) tìm các điểm tới hạn :; , và

3. Ta khảo sát dấu của đạo hàm trong các khoảng thu được, lời giải được trình bày dưới dạng bảng.

chỉ đến điểm cực hạn

Hãy xem một vài ví dụ về việc kiểm tra một hàm để tăng và giảm.

Điều kiện đủ để tồn tại cực đại là đổi dấu của đạo hàm khi đi qua điểm tới hạn từ "+" thành "-" và cực tiểu từ "-" thành "+". Nếu đạo hàm không đổi dấu khi đi qua điểm tới hạn thì lúc này không có cực trị.

1. Tìm D (f).

2. Tìm f ”(x).

3. Tìm điểm đứng yên, tức là điểm mà f "(x) = 0 hoặc f" (x) không tồn tại. (Đạo hàm bằng 0 ở các số không của tử số, đạo hàm không tồn tại ở các số 0 của mẫu số)

4. Xác định vị trí của D (f) và các điểm này trên đường tọa độ.

5. Xác định dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng

6. Áp dụng các dấu hiệu.

7. Viết ra câu trả lời.

Hợp nhất vật liệu mới.

Học sinh làm việc theo cặp và ghi lời giải vào vở.

a) y \ u003d x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y \ u003d 3 x² - 5x + 4.

Hai người làm việc ở bảng đen.

a) y \ u003d 2 x³ - 3 x² - 36 x + 40

b) y \ u003d x4-2 x³

3.Tổng kết bài học

Bài tập về nhà: kiểm tra (phân biệt)

Hàm số y = f (x) giảm trong khoảng thời gian X, nếu có và sự bất bình đẳng . Nói cách khác, giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm.

17) Hàm y \ u003d x n, với n là số tự nhiên, được gọi là hàm lũy thừa với số mũ tự nhiên. Với n = 1 ta được hàm y = x. Đối với n \ u003d 2, chúng ta nhận được hàm y \ u003d x 2. Lưu ý rằng để tự nhiên N hàm lũy thừa được xác định trên toàn bộ trục số. Đối với thực tế tùy ý Nđiều này là không thể, vì vậy hàm lũy thừa với số mũ thực chỉ được định nghĩa cho dương x. Hàm y \ u003d x 2. Chúng tôi liệt kê các thuộc tính của hàm y \ u003d x 2. 1) Miền của hàm là toàn bộ trục số. 2) y \ u003d x 2 - một hàm chẵn (f (- x) \ u003d (- x) 2 \ u003d x 2 \ u003d f (x)). 3) Hàm số giảm trên khoảng (nếu x 1< x 2 ≤ 0, то х 1 2 >x 2 2, và điều này có nghĩa là hàm đang giảm). Đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 là một parabol (xem hình).
với n = 3 ta được hàm số y = x 3. Hàm y \ u003d x 3. Chúng tôi liệt kê các thuộc tính của hàm y \ u003d x 3. 1) Miền của hàm là toàn bộ trục số. 2) y \ u003d x 3 - một hàm lẻ (f (- x) \ u003d (- x) 3 \ u003d - x 3 \ u003d - f (x)) 3) Hàm y \ u003d x 3 tăng trên toàn bộ dòng thực. Đồ thị của hàm số y \ u003d x 3 như hình bên. Nó được gọi là một parabol lập phương.
17) Một hàm số mũ, các tính chất và đồ thị của nó · Một hàm số có dạng y = a x, trong đó a> 0, a ≠ 1, x là một số bất kỳ, được gọi là một hàm số mũ. · Miền của hàm số mũ: D (y) = R là tập hợp tất cả các số thực. · Phạm vi của hàm số mũ: E (y) = R + - tập hợp tất cả các số dương. · Hàm số mũ y = a x tăng với a> 1. Hàm mũ y = a x giảm ở 0 1 - nén đồ thị theo trục y trong k Một lần, lúc 0< k < 1 - растяжение графика от оси ординат в k Một lần.
y = kf(x)	Tại k> 1 - kéo dài biểu đồ từ trục x đến k Một lần, lúc 0< k < 1 - cжатие графика к оси абсцисс в k Một lần.
Phép biến đổi đồ thị với mô-đun
y = | f(x) |	Tại f(x)> 0 - đồ thị không thay đổi, tại f(x) < 0 - график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f(| x |)

21)) Một tập hợp các số, mỗi số được cung cấp một số riêng P (P = 1, 2, 3, ...) được gọi là một dãy số.

Các số riêng lẻ của một dãy được gọi là thành viên của nó và thường được ký hiệu như sau: thành viên đầu tiên một 1 giây một 2 , .... P thành viên thứ một N v.v ... Toàn bộ dãy số được ký hiệu

một 1 , một 2 , một 3 , ... , một N, ... hoặc ( một N}.

22) Cấp số cộng. Dãy số, mỗi thành viên trong đó, bắt đầu từ thứ hai, bằng với phần trước, được thêm vào một số không đổi cho dãy này d, được gọi là cấp số cộng. Con số d triệu tập sự khác biệt trong tiến trình. Bất kỳ thành viên nào của một cấp số cộng được tính theo công thức:

a n = a 1 + d (n - 1) .

Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộngđược tính như sau:

Cấp số nhân. Dãy số, mỗi phần tử, bắt đầu từ phần thứ hai, bằng phần trước, nhân với một số không đổi cho dãy này q, được gọi là hình học

sự tiến triển. Con số q triệu tập mẫu số của sự tiến triển. Bất kỳ phần tử nào của một tiến trình hình học được tính theo công thức:

b n = b 1 qn - 1 .

Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp tiến hình họcđược tính như sau:

Một cấp tiến hình học giảm vô hạn là một cấp tiến hình học vô hạn có mẫu số thỏa mãn điều kiện.

Với mức tăng không giới hạn, tổng các số hạng đầu tiên của một tiến trình hình học giảm vô hạn có xu hướng đến một số, được gọi là tổng của một tiến trình hình học giảm vô hạn.

) Đạo hàm của hàm f (x), f ′ (x), chính nó là một hàm. Do đó ta có thể tìm được đạo hàm của nó. Hãy gọi f ′ (x) là đạo hàm của hàm số f (x) bậc 1. Đạo hàm của đạo hàm của hàm số f (x) được gọi là đạo hàm cấp hai (hay bậc hai phát sinh).

Ý nghĩa hình học của đạo hàm.Đạo hàm tại điểm x 0 bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f(x) tại thời điểm này.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y \ u003d f (a) + f "(a) (x - a) y \ u003d f (a) + f" (a) (x - a)

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm. Nếu một điểm chuyển động dọc theo trục x và tọa độ của nó thay đổi theo định luật x (t) thì tốc độ tức thời của chất điểm:

24)) Đạo hàm của tổng (hiệu) của các hàm

Đạo hàm của tổng đại số của các hàm số được biểu thị bằng định lý sau.

Đạo hàm của tổng (hiệu) hai hàm phân biệt bằng tổng (hiệu) của các đạo hàm của các hàm này:

Đạo hàm của một tổng đại số hữu hạn của các hàm phân biệt bằng tổng đại số của cùng một số hạng đạo hàm. Ví dụ,

Các cực trị của hàm

Định nghĩa 2

Một điểm $ x_0 $ được gọi là điểm cực đại của hàm $ f (x) $ nếu tồn tại một vùng lân cận của điểm này sao cho với tất cả $ x $ từ vùng lân cận này thì bất đẳng thức $ f (x) \ le f (x_0 ) $ hài lòng.

Định nghĩa 3

Một điểm $ x_0 $ được gọi là điểm cực đại của hàm $ f (x) $ nếu tồn tại một vùng lân cận của điểm này sao cho với tất cả $ x $ từ vùng lân cận này thì bất đẳng thức $ f (x) \ ge f (x_0) $ hài lòng.

Khái niệm điểm cực trị của một hàm số liên quan chặt chẽ đến khái niệm điểm tới hạn của một hàm số. Hãy để chúng tôi giới thiệu định nghĩa của nó.

Định nghĩa 4

$ x_0 $ được gọi là điểm tới hạn của hàm $ f (x) $ nếu:

1) $ x_0 $ - điểm bên trong của miền xác định;

2) $ f "\ left (x_0 \ right) = 0 $ hoặc không tồn tại.

Đối với khái niệm về một điểm cực trị, người ta có thể hình thành các định lý dựa trên các điều kiện đủ và cần thiết cho sự tồn tại của nó.

Định lý 2

Điều kiện tối đa đủ

Đặt điểm $ x_0 $ là quan trọng của hàm $ y = f (x) $ và nằm trong khoảng $ (a, b) $. Để cho mỗi khoảng $ \ left (a, x_0 \ right) \ và \ (x_0, b) $ tồn tại đạo hàm $ f "(x) $ và giữ một dấu không đổi. Khi đó:

1) Nếu trên khoảng $ (a, x_0) $ đạo hàm $ f "\ left (x \ right)> 0 $ và trên khoảng $ (x_0, b) $ đạo hàm $ f" \ left (x \ đúng)

2) Nếu đạo hàm $ f "\ left (x \ right) 0 $ trên khoảng $ (a, x_0) $ thì điểm $ x_0 $ là điểm cực tiểu của hàm số này.

3) Nếu cả trên khoảng $ (a, x_0) $ và trên khoảng $ (x_0, b) $ thì đạo hàm $ f "\ left (x \ right)> 0 $ hoặc đạo hàm $ f" \ left (x \đúng)

Định lý này được minh họa trong Hình 1.

Hình 1. Điều kiện đủ để tồn tại cực trị

Ví dụ về cực trị (Hình 2).

Hình 2. Các ví dụ về điểm cực trị

Quy tắc kiểm tra một hàm cho điểm cực trị

2) Tìm đạo hàm $ f "(x) $;

7) Rút ra kết luận về sự có mặt của cực đại và cực tiểu trên mỗi khoảng, sử dụng Định lý 2.

Hàm tăng dần và giảm dần

Đầu tiên chúng ta hãy giới thiệu các định nghĩa của hàm tăng và giảm.

Định nghĩa 5

Một hàm $ y = f (x) $ được xác định trong khoảng thời gian $ X $ được gọi là tăng nếu với bất kỳ điểm nào $ x_1, x_2 \ in X $ với $ x_1

Định nghĩa 6

Một hàm $ y = f (x) $ được xác định trên khoảng $ X $ được gọi là giảm nếu đối với bất kỳ điểm nào $ x_1, x_2 \ in X $ với $ x_1f (x_2) $.

Kiểm tra một chức năng để tăng và giảm

Bạn có thể điều tra các hàm tăng và giảm bằng cách sử dụng đạo hàm.

Để kiểm tra một hàm cho các khoảng thời gian tăng và giảm, bạn phải làm như sau:

1) Tìm miền của hàm $ f (x) $;

2) Tìm đạo hàm $ f "(x) $;

3) Tìm các điểm tại đó đẳng thức $ f "\ left (x \ right) = 0 $;

4) Tìm các điểm mà $ f "(x) $ không tồn tại;

5) Đánh dấu trên đường tọa độ tất cả các điểm tìm được và miền của hàm số đã cho;

6) Xác định dấu của đạo hàm $ f ”(x) $ trên mỗi khoảng kết quả;

7) Kết luận: trong khoảng thời gian mà $ f "\ left (x \ right) 0 $ thì hàm tăng.

Ví dụ về các bài toán để nghiên cứu các hàm tăng, giảm và sự hiện diện của các điểm cực trị

ví dụ 1

Khảo sát hàm tăng và giảm, và sự hiện diện của các điểm cực đại và cực tiểu: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Vì 6 điểm đầu tiên giống nhau nên chúng ta sẽ bốc thăm trước.

1) Miền xác định - tất cả các số thực;

2) $ f "\ left (x \ right) = 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\ left (x \ right) = 0 $;

\ \ \

4) $ f ”(x) $ tồn tại tại mọi điểm thuộc miền xác định;

5) Đường tọa độ:

Hình 3

6) Xác định dấu của đạo hàm $ f "(x) $ trên mỗi khoảng:

\ \}