Một Số Cách Tính Tích Phân Suy Rộng
Có thể bạn quan tâm
Cách tính tích phân suy rộng đơn thuần nhất xuất phát từ định nghĩa. Chẳng hạn ta tính các tích phân sau
Dùng tích phân từng phần hai lần ta có được các nguyên hàm
nên
Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng viết tường minh được nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân, chẳng hạn một số hàm:
Lúc này công cụ khá hữu hiệu để tính chính là tích phân phụ thuộc tham số.
Dưới đây tôi sẽ trình bày một số phương pháp để tính tích phân dạng:
Trước hết dễ có tích phân hội tụ từ Định lý Abel:
+) là hàm đơn điệu giảm theo và bị chặn dưới bởi
+) hội tụ.
Cách 1: (Dùng đạo hàm) Ta có thể đạo hàm theo hoặc Muốn dùng được cách này ta cần biết giá trị của tại một điểm đặc biệt chẳng hạn
Ta cũng có thể nghĩ đến
Tuy nhiên trong bài này tôi sẽ tính và không coi đó là kết quả đã biết.
Với gợi ý trên ta cố định và sẽ xem xét đạo hàm Ta dùng khái niệm hội tụ đều để đẩy đạo hàm vào bên trong dấu tích phân.
Có:
hội tụ khi
nên theo Weierstrass có tích phân
hội tụ đều theo trên
Như vậy ta có thể chuyển phép lấy đạo hàm theo qua dấu tích phân, nghĩa là
Từ đó, ta tích phân trở lại
Cách 2: (Dùng tích phân) Ta có thể nhìn cách trên qua cách nhìn tích phân như sau.
Để ý rằng:
nên
Ta lại dùng khái niệm hội tụ đều để chuyển dấu tích phân qua dấu tích phân.
Như trên có hội tụ đều theo trên và hàm liên tục theo nên hàm liên tục, do đó khả tích và ta có thể dấu tích phân qua dấu tích phân, nghĩa là
Cũng bằng cách tính tích phân ta có thể xuất phát từ
Khi đó
Do hội tụ đều theo trên nên tương tự trên, với mọi có
Có với hội tụ đều theo trên
Bạn đọc thử viết tiếp các lý do để ta có đẳng thức sau
hay
Mà ta có nên
Ta sẽ dùng kết quả trên để tính nhờ quá trình lấy giới hạn.
TH1: ta có ngay
TH2: do tích phân
hội tụ đều theo trên
nên
hay
Như vậy ta có cách thứ 3 để tính tích phân suy rộng.
Người ta còn có cách khác không dùng tích phân phụ thuộc tham số để tính tích phân suy rộng. Cách này đòi hỏi kiến thức về Hàm biến phức một biến. Dưới đây tôi sẽ trình bày cách tính tích phân
nhờ các kết quả về tích phân Cauchy và thặng dư.
Do hàm là hàm chẵn và tích phân hội tụ nên
Lại có
+)
+) hàm là hàm chỉnh hình trong miền nên
tích phân Cauchy với
do đó
+) Trên chạy từ đến nên
do đó
+) Trên chạy từ đến có
do đó
(lưu ý ).
Vậy
Chia sẻ:
- X
Có liên quan
Từ khóa » Nguyên Hàm Từ 0 đến Vô Cực
-
Tích Phân Suy Rộng (Improper Integrals) | Maths 4 Physics & More...
-
Bài Tập Tính Tích Phân Suy Rộng Có Cận Vô Tận - YouTube
-
Tích Phân Suy Rộng (Improper Integrals) | Toán Cho Vật Lý | Trang 3
-
Cho Hàm Số F(x) Liên Tục Trên 1 đến + Vô Cùng Và Tích ... - Khóa Học
-
Cách Bấm Máy Tính Lim, Tích Phân, đạo Hàm, Nguyên Hàm Thi Trắc ...
-
Giới Hạn Hàm Số - Cách Xử Lý Các Dạng Vô định
-
Dương Vô Cùng Là Bao Nhiêu (Khái Niệm định ... - BY - BYTUONG
-
Cho Hàm Số F(x) Liên Tục Trên 1 đến + Vô Cùng ...
-
Họ Các Nguyên Hàm F(x) Của Hàm Số F(x) = X.lnx Trên Khoảng (0
-
Cho Hàm Số (f( X ) ) Xác định Trên ( (0; + Vô Cùng ) ) Bởi F( X
-
Tìm Nguyên Hàm Của Hàm Số (f( X )=3cos X+(1)(((x)^(2))) ) Trên (( 0