Tích Phân Suy Rộng (Improper Integrals) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác định trên [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

$\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_a^b {f(x)dx: = } \int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx}$

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng $\int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx}$ là hội tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng $\int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx}$ là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ: $\int\limits_1^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{{1 + {x^2}}}}$ là hội tụ; $\int\limits_1^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{x}}$ là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1. $\int\limits_1^{+\infty}{\dfrac{dx}{1+x^2}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_1^b{\dfrac{dx}{1+x^2}}=\lim\limits_{b \to \infty}\left(\left.{arctanx}\right|_{x=1}^b\right)=\lim\limits_{b \to +\infty} \left(arctanb - \frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}$

2. $\int\limits_1^{+\infty}{\dfrac{dx}{x}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_{1}^{b}{\dfrac{dx}{x}}=\lim\limits_{b \to +\infty} \left. {lnx}\right|_{x=1}^b = \lim\limits_{b \to +\infty} lnb = +\infty$ .

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng: $I = \int\limits_0^{\infty} t.e^{-2t} dt$

Ta có: $I = \lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_0^{b} t.e^{-2t} dt$ (*)

– Trước tiên, Tính tích phân: $\int\limits_0^b t.e^{-2t} dt$

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

$\int\limits_0^b t.e^{-2t} dt = \left( -\dfrac{1}{2}t.e^{-2t} -\dfrac{1}{4}e^{-2t} \right)_{t=0}^b = \left(-\dfrac{1}{2}b.e^{-2b} -\dfrac{1}{4}e^{-2b} + \dfrac{1}{4}\right)$

Thế vào (*) ta có:

$I = -\dfrac{1}{4}\lim\limits_{b \to \infty} \left((2b-1)e^{-2b} -1 \right) = \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\lim\limits_{b \to \infty} \left( \dfrac{2b-1}{e^{2b}}\right) = \dfrac{1}{4}$

(do $\lim\limits_{b \to \infty} \dfrac{2b-1}{e^{2b}} \underset{=}{L'H} \lim\limits_{b \to \infty} \dfrac{2}{2e^{2b}} = 0$ )

Vậy: I hội tụ và $I = \dfrac{1}{4}$

1.2 Định nghĩa:

$\int\limits_{ - \infty }^c {f(x)dx} : = \mathop {\lim }\limits_{d \to - \infty } \int\limits_d^c {f(x)dx}$

1.3 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân: $\mathop\int\limits_a^{ + \infty } {\dfrac{{dx}}{{{x^s }}}} {\rm{ a > 0 ; }}{\rm{ s > 0}}$

Nếu $s \rm{ > 1}$ thì tích phân hội tụ.

Nếu $s \le 1$ thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có: $\mathop\int\limits_a^{+\infty}{\dfrac{dx}{x^s}} = \lim\limits_{c \to +\infty}\int\limits_a^c{\dfrac{dx}{x^s}} = \lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1 - s}} \left[ {\dfrac{1}{{{x^{s - 1}}}}} \right]_{x=a}^c$

Với s > 1. Khi đó:

$\lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1-s}} \left(\dfrac{1}{c^{s-1}} - \dfrac{1}{a^{s-1}}\right) = \dfrac{1}{1-s}\left({0- \dfrac{1}{a^{s-1}}}\right) = \dfrac{1}{s-1}.{\dfrac{1}{a^{s-1}}}$

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ.

Với s < 1:

$\lim\limits_{c \to +\infty}{\dfrac{1}{1-s}}\left({\dfrac{1}{c^{s-1}}}-{\dfrac{1}{a^{s-1}}}\right)= \lim\limits_{c \to +\infty}\left[{\dfrac{1}{1-s}}\left({c^{1-s}- \dfrac{1}{a^{s-1}}}\right)\right]= + \infty$ (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn). Khi đó:

Nếu $\int\limits_a^{ + \infty } {g(x)dx}$ hội tụ thì tích phân $\int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx}$ hội tụ
Nếu $\int\limits_a^{ + \infty } {f(x)dx}$ phân kỳ thì tích phân $\int\limits_a^{ + \infty } {g(x)dx}$ phân kỳ.

1.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn).

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}} = k (0 \rm{< k} \rm{< +\infty} )$ thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Nhận xét:

– Để xét sự hội tụ của tích phân $\int\limits_a^{+\infty} f(x) dx$ , ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$ . Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.

Muốn vậy, ta cần nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả hai hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích trên [a; + ∞).

1.5 Các ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

$\int\limits_2^{+\infty}{\dfrac{dx}{lnx}}$ .

Rõ ràng: hàm $f(x) = \dfrac{1}{lnx}$ là hàm số dương, xác định và liên tục với mọi x thuộc $[2,+{\infty})$ .

Khi $x \to +{\infty}$ : lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương đương tương ứng. Vì vậy, ta không dùng dấu hiệu so sánh 2.

Ta có thể dùng dấu hiệu so sánh 1. Muốn vậy, cần chặn hàm lnx. Ta dễ dàng có bất đẳng thức sau:

$\rm{lnx < } x , \forall x \ge 1$

Vậy:

$\int\limits_2^{+{\infty}}\dfrac{dx}{lnx} \ge \int\limits_2^{\infty} \dfrac{dx}{x}$

Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( do tích phân $\int\limits_2^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ phân kỳ).

Ví dụ 3

$\int\limits_{1}^{+{\infty}}{\dfrac{1}{{\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}}}dx$ . $latex $

Xem xét hàm lấy tích phân, ta thấy:

Khi $x \to {\infty}$

${\sqrt{1+x}} \sim x^{\frac{1}{2}} , {\sqrt[3]{1+x^2}} \sim x^{\frac{2}{3}}$

Vậy:

$f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x^2}}} \sim \dfrac{1}{x^{\frac{7}{6}}} = g(x)$

Mà f(x) và g(x) cùng khả tích trên [1;+∞) nên $\int\limits_1^{+\infty} f(x) dx$ và $\int\limits_1^{+\infty} g(x) dx$ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác: $\int\limits_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^{\frac{7}{6}}} dx$ hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

$I_4=\int\limits_0^{+\infty}{\dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2}} dx$ . $latex $

Khi $x \to +\infty$ ta có:

$f(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} \sim \dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{x^2} = \dfrac{1}{x^{\frac{5}{3}}} = g(x)$

Tuy nhiên, f(x) xác định và liên tục với mọi $x \ge 0$ , còn g(x) không xác định tại x = 0 nên ta chưa thể dùng dấu hiệu so sánh 2 được.

Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:

$I_4 = \int\limits_0^{1} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx + \int\limits_1^{\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx$

– Do $\dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2}$ xác định và liên tục trên [0;1] nên $\int\limits_0^1 \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx$ là tích phân xác định nên hội tụ.

– $\int\limits_1^{+\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2} dx \sim \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^{5/3}}$ nên hội tụ.

Vậy tích phân I4 hội tụ.

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2 3

Thảo luận

172 bình luận về “Tích phân suy rộng (Improper Integrals)”

Thầy chỉ dẫn cho em giải bài toán này với ạ! Xét sự hội tụ hay phân kỳ của tích phân cận đi từ 1 đến dương vô cùng.biểu thức dưới dấu tích phân là:x chia (lnx) mũ 3/2

ThíchThích
Posted by xuanlan | 05/12/2011, 16:20 Reply to this comment
thầy ơi cho em hỏi bài này:xét sự hội tụ của tích phân sau: tích phân của (ln x)^3/(x+5) có cận từ 1 đến dương vô cùng

ThíchThích
Posted by lehoangduong | 21/10/2011, 14:22 Reply to this comment
em cảm ơn thầy nhiều ạ.^^

ThíchThích
Posted by nhung | 30/03/2011, 19:42 Reply to this comment
Thầy ơi thầy cho em hỏi về ứng dụng của tích phân suy rộng trong kinh tế với ạ. EM đang phải làm đế tài này mà tìm mãi không ra. Mong thầy giúp em . Em vô cùng cảm ơn thầy!

ThíchThích
Posted by nhung | 30/03/2011, 09:35 Reply to this comment
- Một ví dụ kinh điển của tích phân suy rộng trong kinh tế chính là bài toán: Accumulated Present Value (giá trị tài sản tích lũy) The accumulated present value, A, of a continuous money flow into an investment of P dollars per year from now until T years in the future is given by: $A = \int_0^T Pe^{-kt} dt$ where k is interest rate, compounded continuously. If the money flow is to continue perpetually (forever), then take the limit at t approaches infinity and $A = \int_0^{\infty} Pe^{-kt} dt$ Ngoài ra, em có tể vào gigapedia.com và tìm cuốn Fundamental Methods of Mathematical Economics, 4th Edition nó có nhiều ví dụ ứng dụng của Toán kinh tế. Trong đó phần ứng dụng của tích phân suy rộng ở trang 461 – 471. Chúc em thành công.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 30/03/2011, 10:17 Reply to this comment
Giải giúp e bài này với thầy ơi! Xét sự hội tụ của tích phân (e^(-x^2))/x^2 khi x tiến từ 0 đến dương vô cực. E cảm ơn!!!!!!!!!!!

ThíchThích
Posted by nguyen thi anh tuyet | 11/01/2011, 16:08 Reply to this comment
- Do hàm gián đoạn tại x = 0 nên tp này vừa là suy rộng loại 1, vừa suy rộng loại 2. Do đó, em tách thành 2 tích phân: $\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{x^2.e^{x^2}} + \int\limits_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^2.e^{x^2}}$ Khi $x \to 0: \dfrac{e^{-x^2}}{x^2} \sim \dfrac{1}{x^2}$ nên tp đầu phân kỳ Khi $x \to \infty: \dfrac{1}{x^2e^{x^2}} \le \dfrac{1}{x^2.x^2}$ nên tp sau hội tụ. Tóm lại em chứng minh được tp phân kỳ.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 13/01/2011, 21:37 Reply to this comment
em chào thầy,thầy làm ơn cho em xin tên một số loại sách cần dùng cho môn giải tích 2 ở trường mình với ạ.Em cảm ơn thầy nhiều !!!!!!!!!!

ThíchThích
Posted by yen | 10/01/2011, 12:25 Reply to this comment
giải dùm em bài này cái thầy ơi : khảo sát tích phân từ 2 đến +vô cùng của dx/căn bậc 2 của x(x-1)(x-2) mong thầy giải dùm em em cám ơn thầy

ThíchThích
Posted by nguyen thanh vinh | 09/01/2011, 09:47 Reply to this comment
đơn giản lắm bạn ạ.chỉ cần cố gắng so sánh với 2 tích phân quan trọng của loại 1 và loại 2 là đk.thầy có ghi ở trên. một số hàm như ln và e mũ thì sd tính chất tăng nhanh của hàm mũ:hàm e tăng nhanh nhất, đến hàm lũy thừa, đến hàm ln. Sử dụng tính chất đó để lập bdt.Hoặc sd dấu hiệu hội tụ của hàm ko âm:0<= f(x) <= g(x).Nếu lim g(x) khi x tiến đến vô cùng =0, thì đến một lúc nào đó x đủ lớn thì:0<= g'(x)<=1.nhân thêm vào để thành biểu thức chứa dạng cơ bản. CCòn nếu hàm bị chăn thì sd dấu hiệu aben là đk

ThíchThích
Posted by siêu nhân bánh rán | 06/01/2011, 22:43 Reply to this comment
Theo em chỉ được viết tương đương khi thay các giá trị gần đúng.

ThíchThích
Posted by dinh bo linh | 06/01/2011, 11:34 Reply to this comment
- Khái niệm tương đương không chỉ giới hạn ở việc tương đương về giá trị mà còn có thể tương đương về tính chất. Ví dụ: hai ma trận tương đương. Do đó, với tích phân suy rộng, khái niệm 2 tích phân tương đương nghĩa là 2 tích phân cùng hội tụ (hoặc cùng phân kỳ), chứ không phải chỉ 2 tích phân có giá trị gần bằng nhau.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 06/01/2011, 13:01 Reply to this comment
thầy ơi,mai em thi rùi nhưng e thấy phần tích phân mơ hồ lắm.e học lí nên không được biết nhiều về toán như các bạn.thầy có thể nói cho em biết kinh nghiệm khi nhìn thấy một câu tích phân không thầy.mong thầy hồi âm sớm

ThíchThích
Posted by hien | 04/01/2011, 18:12 Reply to this comment
em cảm ơn ạ.em hỏi chút nữa $\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{ln(x)}{1+x^2} dx$ khi tách thành 2 tích phân. $\int\limits_1^{+\infty} f(x) dx$ tại sao cách so sánh ln(x) < x suy ra tích phân đó nhỏ hơn tích phân $\int\limits_1^{+\infty} \dfrac{x}{x^2} dx$ lại sai vậy ạ.

ThíchThích
Posted by hien | 03/01/2011, 19:58 Reply to this comment
- Nếu em so sánh: $\int\limits_1^{+\infty} \dfrac{lnx}{1+x^2} dx \le \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{xdx}{x^2}$ thì không sai, nhưng vì tích phân $\int\limits_1^{+\infty} \dfrac{xdx}{x^2} = \int\limits_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x}$ là tích phân phân kỳ nên không thể kết luận được sự hội tụ của tích phân $\int\limits_1^{+\infty} \dfrac{lnx}{1+x^2} dx$ (do một tích phân nhỏ hơn tích phân phân kỳ có thể là tích phân phân kỳ, nhưng cũng có thể là tích phân hội tụ).
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 03/01/2011, 22:01 Reply to this comment
giải giúp e bài này với P(x) la một đa thức bậc lớn hơn 2 c/m rằng tích phân từ 1 đến dương vô cùng của (P(x)/P(x bình phương) dx hội tụ

ThíchThích
Posted by hien | 01/01/2011, 08:56 Reply to this comment
- Giả sử P(x) là đa thức bậc n (n > 2). Thì $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$ Khi đó, xét tích phân: $\int\limits_1^{\infty} \dfrac{P(x)}{P(x^2)} dx$ Để tích phân này là tích phân suy rộng loại 1 thì P(x), P(x^2) phải là hàm khả vi trên mọi đoạn [1; A] (A > 1). Như vậy, P(x^2) phải không có nghiệm trên mọi đoạn [1;A] (nếu không thì tích phân sẽ vừa là tp suy rộng loại 1, vừa là tp suy rộng loại 2). (*) Ví dụ: $\int\limits_{1}^{+\infty} \dfrac{x^3-64}{x^6-64} dx$ sẽ gián đoạn tại x = 2. Nếu thỏa mãn điều kiện (*) thì, khi $x \to \infty$ $P(x) \sim a_nx^n , P(x^2) \sim a_nx^{2n} \Rightarrow \dfrac{P(x)}{P(x^2)} \sim \dfrac{1}{x^n}$ Từ đó theo tiêu chuẩn so sánh, em sẽ kết luận được tích phân hội tụ.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 02/01/2011, 21:36 Reply to this comment