Một Số đa Tạp Trong đại Số Tuyến Tính - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (65 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Thể loại khác
>>
3. Tài liệu khác

Một số đa tạp trong đại số tuyến tính

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (479.61 KB, 65 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THỊ TUYẾT THANHMỘT SỐ ĐA TẠPTRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCThái Nguyên - 2017ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THỊ TUYẾT THANHMỘT SỐ ĐA TẠPTRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHChuyên ngành: Toán ứng dụngMã số:62 46 01 12LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học:TS. NGUYỄN THANH SƠNThái Nguyên - 20173Mục lụcBảng ký hiệuiiMở đầu11Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân31.1Khái niệm đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.1Đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.2Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.1.3Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.1.4Hàm, ánh xạ trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.1.5Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.2.1Không gian tiếp xúc Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.2.2Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạp . . . . . . . . .121.2.3Đạo hàm của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2.4Một số ánh xạ khả vi đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . .14Phân thớ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.3.1Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . .161.3.2Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . .181.3.3Móc Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211.3.4Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.3.5Trường véc tơ bất biến trên nhóm Lie. . . . . . . . . . . . . .241.21.341.41.51.62Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241.4.1Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241.4.2Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.4.3Nhóm đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271.4.4Không gian thuần nhất Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . .271.4.5Phân thớ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301.5.1Liên thông trong Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301.5.2Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301.5.3Trường chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321.5.4Dạng cơ bản thứ hai và liên thông Levi- Civita trên đa tạp con33Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.6.1Trường véc tơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.6.2Cung trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351.6.3Ánh xạ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Một số đa tạp trong đại số tuyến tính392.1Đa tạp Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.1.1Cấu trúc tô pô của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.1.2Cấu trúc vi phân của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412.1.3Cấu trúc Riemann của đa tạp Grassmann. . . . . . . . . . . .442.1.4Đường trắc địa, ánh xạ mũ và ánh xạ logarith . . . . . . . . .45Đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương . . . . . . . . . . . .482.2.1Định nghĩa và đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .482.2.2Không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.2.3Mêtríc Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .502.2.4Không gian pháp và phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . .512.2.5Liên thông Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .522.2i2.2.6Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53Kết luận và Đề nghị56Tài liệu tham khảo57iiBảng ký hiệudimMSố chiều của đa tạp MC ∞ (M )tập tất cả các hàm trơn trên MC ∞ (E)tập các lát cắt trơn của (E, M, π)C ∞ (T M ) tập các trường vectơ trơn X : M → T MSmmặt cầu đơn vị trong RmTp Rmtập các toán tử vi phân tuyến tính tại pTp Mkhông gian tiếp xúc của M tại pGđại số Lie của G⊗tích tenxơ của các không gian vectơAphạn chế đa tuyến tính của A trên tích tenxơ Tp M ⊗ ... ⊗Tp MG(k, n)tập tất cả các không gian k chiều của RO(k, n)tập các ma trận có các cột trực chuẩn trong RnST (k, n) tập các ma trận hạng đủ n hàng, k cộtcolsp(Y ) không gian con của Rn sinh bởi các cột của YInktập tất cả các đa chỉ số J với J = (j1 , ..., jk ) ∈ Nk với1 ≤ j1 < ... < jk ≤ nAJma trận con cỡ k × k chứa các hàng j1 , ..., jk của A vớiA ∈ Rk×nACJma trận bù của AJ trong Aiii||x||chuẩn EuclidE J := [ej1 ...ejk ] các ma trận chứa các vectơ đơn vị tương ứng trong Rnvới J ∈ InkJphần bù của chỉ số J trong InkS+ (k, n)tập các ma trận thực cỡ n × n đối xứng nửa xác địnhdương có hạng cố định k , k ≤ nRn×nsymtập các ma trận đối xứng cỡ n × ntrace(A)vết của ma trận Arank(A)hạng của ma trận1Mở đầuĐa tạp là một trong những đối tượng cơ bản của hình học và giải tích. Nó là mộtcấu trúc phong phú không chỉ về tính chất mà ta còn có thể xây dựng rất nhiều kháiniệm khác trên đó. Thông thường, chúng ta được làm quen với đa tạp trong Rn haycác đa tạp trừu tượng trong không gian tôpô ở bậc đại học. Trên thực tế, nhiều vấn đềtính toán, tối ưu có ràng buộc được quy về bài toán trên các tập các đối tượng trongđại số tuyến tính có tính chất đặc biệt, chẳng hạn như tập các không gian con k chiềucủa Rn , hay tập các ma trận đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định. Ta khôngthể tính toán trên các tập đó, chẳng hạn nội suy, chiếu từ không gian lớn hơn lên đónếu không có hiểu biết đầy đủ về chúng. Hóa ra, các tập đó có những cấu trúc phongphú và lập lên những đa tạp khả vi. Luận văn này sẽ trình bày một số đa tạp mà cácphần tử của nó lại là các đối tượng trong đại số tuyến tính. Chúng tôi sẽ trình bày cấutrúc hình học của chúng, cũng như khía cạnh tính toán các đối tượng liên quan đếnđa tạp. Những kiến thức này vô cùng quan trọng và là nền tảng không thể thiếu đượccho việc tính toán trong đại số tuyến tính số cũng như ứng dụng trong những thuậttoán tối ưu trên đa tạp. Nội dung của luận văn được dự kiến như sau. Chương I trìnhbày, có phần chi tiết, lý thuyết hình học vi phân, lý thuyết đa tạp đã được nghiên cứuở bậc đại học. Tài liệu về vấn đề này bằng tiếng Việt, thậm chí cả tiếng Anh tươngđối phong phú. Tuy nhiên, chúng tôi đã không thể tìm được một cuốn sách có đầy đủnhững nguyên liệu cần cho chương sau, chẳng hạn ánh xạ mũ, liên thông Riemann,đường trắc địa và phương trình xác định nó,... Do vậy, chúng tôi đã dựa vào tập bàigiảng [7]và chọn cách trình bày lại chi tiết các khái niệm một cách hệ thống. Nội dung2chính của luận văn nằm ở chương II. Cụ thể, chúng tôi trình bày các cấu trúc hình họcphong phú của đa tạp Grassmann - tập các không gian con có số chiều cố định của Rnvà của đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương. Còn rất nhiều chủ đề hay đãkhông được trình bày tại đây do giới hạn về thời gian cũng như khuôn khổ một luậnvăn thạc sĩ. Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng luậnvăn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Kính mong sự góp ý của cácthầy cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn.Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyênvà hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thanh Sơn. Tác giả xin được bàytỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, ngườiđã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệmđể tác giả hoàn thành luận văn này.Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tácvà nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cácThầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y; Nhà trường và cácphòng chức năng của Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, ủnghộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập.Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên...Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017Tác giả luận vănNguyễn Thị Tuyết Thanh3Chương 1Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học viphânTrong chương này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết những khái niệm, tínhchất quan trọng của hình học vi phân. Trong khi phần lớn kiến thức có thể tìm thấytrong các tài liệu tiếng Việt [2–4] và nhiều tài liệu tiếng Anh kinh điển khác, một sốcông cụ cho chương II lại không được trình bày trong các tài liệu nêu trên. Vì thế, khiviết chương này, chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu [7]. Người đọc cũng có thể thamkhảo tài liệu [1].1.11.1.1Khái niệm đa tạpĐa tạp tô pôĐịnh nghĩa 1.1.1. Cho (M, τ ) là không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được.Khi đó M được gọi là một đa tạp tô pô nếu có một số nguyên không âm m sao chovới mỗi điểm p ∈ M , tồn tại một lân cận U của p và một tập con mở V ⊂ Rm và mộtphép đồng phôi x : U → V .Cặp (U, x) được gọi là một bản đồ hay một tọa độ địa phương trong M .Số nguyên m được gọi là chiều của M . Ta viết M m để thể hiện đa tạp M có mchiều.Như vậy, một không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được là một đa tạptô pô m chiều nếu về mặt địa phương, nó đồng phôi với Rm .41.1.2Đa tạp khả viTrước tiên, ta nhắc lại ký hiệu C r (U, Rn ), trong đó U là một tập mở bất kỳ củaRm là tập tất cả các ánh xạ khả vi liên tục tới cấp r từ U vào Rn ; C ω (U, Rn ) là tập tấtcả các ánh xạ giải tích.Định nghĩa 1.1.2. Cho M là một đa tạp tô pô có số chiều m. Khi đó một C r -atlas(hay atlas lớp C r ) là một họA = {(Uα , xα )|α∈I }bản đồ trên M sao cho A phủ M , tức làM=Uαα∈Ivà với mỗi cặp α, β ∈ I mà Uα ∩ Uβ = ∅, ánh xạ chuyển tiếpmmxβ x−1α |xα (uα ∩uβ ) : xα (uα ∩ uβ ) ⊂ R → Rlà khả vi liên tục r lần.Một bản đồ (U, x) trên M được gọi là tương thích với một C r - atlas A nếu hợpA ∪ {(U, x)} là một C r - atlas.Một C r - atlas Aˆ được gọi là cực đại nếu nó chứa tất cả các bản đồ tương thích vớinó. Khi đó Aˆ cũng được gọi là một C r - cấu trúc trên M .ˆ được gọi là một C r - đa tạp hay một đa tạp khả vi lớp C r trong đó MCặp (M, A)là một đa tạp tô pô và Aˆ là một C r - cấu trúc trên M .Đa tạp khả vi được gọi là trơn nếu các ánh xạ chuyển tiếp của nó thuộc lớp C ∞ ,giải tích nếu các ánh xạ chuyển tiếp là các hàm giải tích.Nhận xét 1.1.3. Một C r - atlas A trên một đa tạp tô pô M xác định duy nhất một C r cấu trúc trên M . Nó xác định bằng cách gộp tất cả các bản đồ tương thích với nó.Ví dụ 1.1.4.a) Không gian tô pô Rm với tô pô Euclide có một cấu trúc C ω - cấutrúc tầm thườngA = {(Rm , x), x : p → p}.5b) Ký hiệu S m là mặt cầu đơn vị trong Rm+1 được trang bị tô pô Euclide. Ký hiệuN , S lần lượt là cực bắc và cực nam của S m . ĐặtUN = S m \{N }, US = S m \{S}và định nghĩaxN : Un → Rm(p1 , ..., pm+1 ) →11−p1 (p1 , ..., pm+1 ),xS : U s → R m(p1 , ..., pm+1 ) →11+p1 (p1 , ..., pm+1 ).−1Do vậy, hai ánh xạ chuyển tiếp xS x−1N và xN xS được cho bởi công thứcRm \ {0} → Rm \ {0}x→xx 2Khi đó A = {(UN , xN ), (US , xS )} là một C ω - atlas trên S m . Đa tạp lớp C ∞ˆ được gọi là mặt cầu tiêu chuẩn m chiều.(S m , A)Phát biểu sau đây xây dựng tích Descartes của hai đa tạp.Mệnh đề 1.1.5. Cho (M1 , Aˆ1 ) và (M2 , Aˆ2 ) là hai đa tạp khả vi lớp C r . Cho M =M1 × M2 là tích Descartes của hai không gian tô pô. Khi đó, tồn tại một atlas A trênˆ là một đa tạp khả vi lớp C r có số chiềuM sao cho (M, A)dim M = dim M1 + dim M2 .ˆ được gọi là đa tích Descartes của hai đa tạp (M1 , Aˆ1 )Định nghĩa Đa tạp (M, A)và (M2 , Aˆ2 ).1.1.3Đa tạp conĐịnh nghĩa 1.1.6. Cho m ≤ n là các số nguyên dương và (N n , AˆN ) là một đa tạp khảvi lớp C r . Một tập con M của N được gọi là một đa tạp con của N nếu với mỗi điểm6p ∈ M , tồn tại một bản đồ (Up , xp ) ∈ AˆN sao cho p ∈ Up và xp : Up ⊂ N → Rm × Rn−mthỏa mãnxp (Up ∩ M ) = xp (Up ) ∩ (Rm × {0}).số n − m được gọi là đối chiếu của M trong N .Phát biểu sau đây cung cấp chi tiết hơn về cấu trúc khả vi trên đa tạp con.Mệnh đề 1.1.7. Cho m ≤ n là các số nguyên dương và (N n , AˆN ) là một đa tạp khảvi lớp C r . Cho M là một đa tạp con của N và được trang bị tô pô con. Ký hiệuπ : Rm × Rn−m → Rmlà phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Khi đóAM := {(Up ∩ M, π ◦ xp )|Up ∩M |p ∈ M }là một atlas lớp C r trên M . Vì thế cặp (M, AˆM ) một đa tạp khả vi m chiều lớp C r .Cấu chúc khả vi AˆM trên M xác định trong mệnh đề trên được gọi là cấu trúccảm sinh từ AˆN .Một ma trận cỡ m × n được gọi là hạng đủ nếu A = min(m, n). Định lý sau đâycho ta một nguồn dồi dào những ví dụ về đa tạp con.Định lí 1.1.8. (Ánh xạ ẩn) Cho m ≤ n là các số nguyên dương và F : U → Rm làmột ánh xạ lớp C r từ một tập mở U ⊂ Rn . Nếu p ∈ U, F (p) = q vàdF |p : Rn → Rmlà hạng đủ thì F −1 ({q}) là một đa tạp khả vi con lớp C r của Rn có số chiều m − n.Ví dụ 1.1.9. ChoF : Rm+1 → Rm+1p→i=1p2i .7Dễ thấy F thuộc lớp C ω . Khi đó, đạo hàm của F được tính bằng dFp = 2p. Có thể thấyngay u ∈ R là giá trị thỏa mãn điều kiện của định lý ánh xạ ẩn và vì thế bóS m := {p ∈ Rn+1 |||p||2 =1 } = F −1 ({1})là một đa tạp lớp C ω và có số chiều m. Đây chính là mặt cầu tiêu chuẩn đã được nêuở Ví dụ 1.1.41.1.4Hàm, ánh xạ trên đa tạpTrong mục này chúng ta sẽ mở rộng khái niệm hàm, ánh xạ trong Rk lên trong đatạpĐịnh nghĩa 1.1.10. Cho (M m , AˆM ) và (N n , AˆN ) là các đa tạp khả vi lớp C r . Ánh xạφ : M → N được gọi là khả vi lớp C r nếu với mỗi bản đồ (U, x) ∈ AˆM và (V, y) ∈ AˆN ,ánh xạyφx−1 |x(U ∩φ−1 (V )) : x(U ∩ φ−1 (V )) ⊂ Rm → Rnthuộc lớp C r .Ánh xạ khả vi γ : I → M xác định trên khoảng mở I ⊂ R được gọi là một cungkhả vi trong M .Một ánh xạ khả vi f : M → R được gọi là một hàm số khả vi trên M . Tập tất cảcác hàm trơn trên M được ký hiệu là C ∞ (M ).Có thể dễ dàng chỉ ra tích hợp của hai ánh xạ khả vi là một ánh xạ khả vi.Định nghĩa 1.1.11. Hai đa tạp lớp C r (M, AˆM ) và (N, AˆN ) được gọi là vi phôi (vớinhau) nếu tồn tại một song ánh khả vi lớp C r φ : M → N sao cho ánh xạ ngượcφ−1 : N → M cũng là một ánh xạ khả vi lớp C r . Khi đó ta cũng gọi φ là một vi phôi.Tương tự như trên, tích hợp của hai vi phôi là một vi phôi.8ˆ , tập tất cả các đa tạp vi phôiĐịnh nghĩa 1.1.12. Cho trước một đa tạp khả vi (M, A)với M được ký hiệu là D(M ). Tập (D(M ), ◦), trong đó ◦ là ký hiệu tích hợp, được gọiˆ.là nhóm vi phôi của (M, A)Với khái niệm vi phôi, ta dễ dàng định nghĩa được sự khác nhau của hai cấu trúckhả vi trên cùng một tập.Định nghĩa 1.1.13. Hai cấu trúc C r là Aˆ1 và Aˆ2 trên cùng một đa tạp tô pô M đượcgọi là khác nhau nếu ánh xạ đồng nhất IdM : (M, Aˆ1 ) → (M, Aˆ2 ) không là một viphôi.Bài toán đếm số cấu trúc khả vi trên những đa tạp số chiều thấp tự thân của nó rấtdễ hiểu nhưng đôi khi là bài toán khó. Việc giải quyết nó tạo nên những công trìnhquan trọng. Ta tổng kết chúng trong các phát biểu sau đây.Mệnh đề 1.1.14.• Đa tạp tô pô một chiều thực R có vô số cấu trúc khả vi.• Măt cầu 7 chiều S 7 có 28 cấu trúc khả vi khác nhau.• Cặp đa tạp đồng phôi với nhau, có cùng số chiều không quá 3 mà là các đa tạpkhả vi cùng lớp C r thì sẽ vi phôi với nhau.1.1.5Nhóm LieĐịnh nghĩa 1.1.15. Một nhóm Lie là một đa tạp trơn G với phép toán “ · “ sao choánh xạρ:G×G→G(p, q) → p.q −1là trơn.Một phép tịnh tiến trái bởi p, p ∈ G, là ánh xạLp : G → Gq → p · q.9Ví dụ 1.1.16. Đa tạp m chiều với cấu trúc khả vi thông thường Rm cùng với phépcộng + lập thành một nhóm Lie với ánh xạ ρ được định nghĩa bởiρ(p, q) = p − q.Mệnh đề 1.1.17. Cho G là một nhóm Lie và p ∈ G. Khi đó, phép tịnh tiến trái Lp làmột vi phôi trơn.Phát biểu sau đây khẳng định cấu trúc nhóm Lie có thể cảm sinh ra nhóm con.Mệnh đề 1.1.18. Cho (G, ·) là một nhóm Lie và K đồng thời là một nhóm con và đatạp con của G. Khi đó, (K, ·) cũng là một nhóm Lie.Định nghĩa 1.1.19. Cho (G, ·) và V lần lượt là một nhóm và một không gian vectơ.Khi đó, một biểu diễn tuyến tính của G trên V là một ánh xạ từ G vào tập các tự đẳngcấu của Vρ : G → Aut(V )thỏa mãnρ(g · h) = ρ(g)ρ(h).Ví dụ 1.1.20. Các số phức khác không cùng với phép nhân thông thường lập thànhmột nhóm Lie (C∗ , ·). Các phần tử của nó có thể biểu diễn thông qua phần tử trongAut R2 dưới dạngaρ : a + ib → b.−b aThật vậy ta có thể kiểm traρ((a + ib)(x + iy)) = ρ(ax − by) + i(ay − bx)=ax − byay − bx−(ay + bx)=ab ax − byxy −ba−y= ρ(a + ib)ρ(x + iy).x101.2Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúcTrước khi xây dựng khái niệm không gian tiếp xúc trừu tượng, ta sẽ xem xét kháiniệm đó trên không gian Rn để ta có hình dung tốt về khái niệm này.1.2.1Không gian tiếp xúc RmVới Rm là đa tạp khả vi m chiều với cấu trúc khả vi tiêu chuẩn. Nếu p là một điểmtrong Rm và γ : I → Rm là một cung trơn cấp 1 sao cho γ(0) = p thì vectơ tiếp xúcγ(t) − γ(0)t→0tγ(0)˙= limcủa cung γ tại p là một phần tử trong Rm . Ngược lại với mỗi vectơ v trong Rm , ta luôntìm được cung γ trơn cấp C 1 sao cho γ(0) = p γ(0)˙= v.(Chẳng hạn γ(t) = p + t · v ). Điều này cho thấy ta có thể đồng nhất tập tất cả các vectơtiếp xúc của Rm tại p với Rm .Tiếp theo, ta ký hiệu ε(p) là tập các hàm khả vi trong một lân cận nào đó của p.Khi đó, với v ∈ Rm , đạo hàm theo hướng ∂v f của f tại p theo hướng v xác định bởif (p + tv) − f (p).t→0t∂v f = limTa có thể dễ dàng kiểm tra toán tử ∂ có tính chất sau:• ∂v (λf + µg) = λ∂v f + µ∂v g ,• ∂v (f g) = ∂v f g(p) + f (p)∂v g ,• ∂λv+µω f = λ∂v f + µ∂ω f .Từ tính chất trên, ta có thể định nghĩa không gian tiếp xúc của Rm một cách tổngquát.11Định nghĩa 1.2.1. Cho p là một điểm trong Rm và ký hiệu Tp Rm là tập các toán tửvi phân tuyến tính tại p triệt tiêu hằng số. Tức là Tp Rm gồm các ánh xạ α : ε(p) → Rthỏa mãni) α(λf + µg) = λα(f ) + µα(g),ii) α(f g) = α(f ) · g(p) + f (p)α(g),với mọi α, µ ∈ R và f, g ∈ ε(p).Dễ dàng nhận thấy tập Tp Rm có cấu trúc của một không gian vectơ thực với haiphép toán(α + µ)(f ) := α(f ) + β(f ),(λα)(f ) := λα(f ).Định lí 1.2.2. Cho p là điểm trong Rm . Khi đó, ánh xạφ : Rm → Tp Rmv → ∂vlà một đẳng cấu giữa các không gian vectơ.Từ định lý này, ta cóChú ý 1.2.3. Cho p là một điểm trong Rp , v ∈ Tp Rm , U ⊂ Rm là một lân cận mở củap và f : U → R thuộc lớp C 1 .Cho r : I → U là một cung thỏa mãn γ(0) = p và γ(t)˙= v . Khi đó, v tác động lên ftheo cách sauv(f ) = ∂v f = dfp (γ(0))˙=d(f ◦ γ(t))|t=0 .dtRõ ràng việc chọn cung γ không ảnh hưởng đến tác động của v lên f .mHệ quả 1.2.4. Cho p là một điểm trong Rm và {ek }mk=1 là cơ sở chính tắc trong R .mKhi đó, tập {∂ek }mk=1 là một cơ sở của không gian tiếp xúc Tp R tại p.121.2.2Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạpĐịnh nghĩa 1.2.5. Cho M là một đa tạp khả vi, p ∈ M và ε(p) là tập các hàm thựcđịnh nghĩa trên một lân cận mở của p. Một vectơ tiếp xúc Xp tại p là một ánh xạXp : ε(p) → R thỏa mãni) Xp (λf + µg) = λXp (f ) + µXp (g),ii) Xp (f g) = Xp (f )g(p) + f (p)Xp (g)với mọi λ, µ ∈ R và f, g ∈ ε(p).Tập các vectơ tiếp xúc của M tại p được gọi là không gian tiếp xúc tại p và ký hiệuTp M .Phép cộng và phép nhân với vô hướng trong Tp M được định nghĩa như sau(Xp + Yp )(f ) = Xp (f ) + Yp (f ),(λXp )(f ) = λXp (f )với mọi Xp , Yp ∈ Tp M, f ∈ ε(p) và λ ∈ R.Ví dụ 1.2.6. Cho γ : I → S m là một cung trên mặt cầu đơn vị trong Rm+1 sao choγ(0)˙= X . Do nằm trên S m nênγ(t)T γ(t) = 1, ∀ t ∈ I.Đạo hàm hai vế cho taγ(t)˙ T γ(t) = γ(t)T γ(t)˙ T = 0,hayγ(t)˙ T γ(t) = 0.Từ đó, ta suy ra rằng với p ∈ S m , X là vectơ tiếp xúc p thì X T p = 0 hay ∀X ∈Tp S m , X⊥p. Do vậy, ta viếtTp S m = {X ∈ Rm+1 |X T p = 0}.131.2.3Đạo hàm của ánh xạĐịnh nghĩa 1.2.7. Cho φ : M → N là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp khả vi. Đạohàm dφp của φ tại p trong M là ánh xạdφp : Tp M → Tφ(p) Nsao cho mỗi Xp ∈ Tp M và f ∈ ε(φ(p)), ta có(dφp (Xp )) = Xp (f ◦ φ).Giả sử γ : I → M là một cung trên M sao cho γ(0) = p và γ(0)˙= Xp . Ký hiệuc : I → N là ảnh của cung γ qua φ, tức là c = φ ◦ γ với c(0)˙= φ(p) và đặt Yφ(p) = c(0)˙ .Khi đó, với f ∈ ε(φ(p)),(dφp (Xp ))(f ) = Xp (f ◦ φ)=ddt (f◦ φ ◦ γ(t))|t=0=ddt (f◦ c(t))|t=0= Yφ(p) (f ).Mệnh đề 1.2.8. Cho φ : M1 → M2 và ψ : M2 → M3 là các ánh xạ khả vi giữa các đatạp khả vi. Khi đó, với mỗi điểm p ∈ M1 , ta cói) Ánh xạ dφp : Tp M1 → Tφ(p) M2 là tuyến tính;ii) d(idM1 )p = idTp M1 ;iii) d(ψ ◦ φ)p = dψφ(p) ◦ dφp .Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là.Hệ quả 1.2.9. Cho φ : M → N là một vi phôi với ánh xạ ngược ψ : N → M . Khi đó,đạo hàm dφp : Tp M → Tφ(p) N tại p là một song ánh và (dφp )−1 = dψφ(p) .Định lý sau đây cung cấp cho ta thông tin về số chiều của không gian tiếp xúc.14Định lí 1.2.10. Cho M m là một đa tạp khả vi m chiều và p ∈ M . Khi đó, không giantiếp xúc của M tại p, Tp M , là một không gian vectơ m chiều.Cụ thể hơn, ta có thể xây dựng một cơ sở cho không gian tiếp xúc như sau.Mệnh đề 1.2.11. Cho M m là một đa tạp khả vi, (U, x) là một bản đồ trên M chứa p∂mvà {ek }mk=1 là cơ sở chính tắc trong R . Ta định nghĩa toán tử vi phôi ( ∂xk )p trongTp M như sau(∂∂f)p : f →(p) = ∂ek (f ◦ x−1 )(x(p)).∂xk∂xkKhi đó, tập{(∂)p }m∂xk k=1lập thành một cơ sở của Tp M .1.2.4Một số ánh xạ khả vi đặc biệtĐịnh nghĩa 1.2.12. Cho φ : M m → N n là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp khả vivới m ≤ n, φ được gọi là một phép ngập nếu với mỗi p ∈ M , đạo hàm của φ tại p,dφp : Tp M → Tφ(p) Nlà một đơn ánh; φ được gọi là một phép nhúng nếu nó là một phép ngập và đồng thờilà một đồng phôi lên φ(M ).Ví dụ 1.2.13. Phép nhúng thông thường từ Rm+1 vào Rn+1 là một phép ngập, đồngthời là một phép nhúng. Ngoài ra, nó cũng là một phép nhúng từ S m vào S n .Định nghĩa 1.2.14. Cho M là một đa tạp khả vi m chiều và U là một tập mở trongRm . Một phép ngập φ : U → M được gọi là một tham số hóa địa phương của M . Nếuφ đồng thời là một toàn ánh thì nó được gọi là một tham số hóa toàn cục.Kết quả sau đây mở rộng Định lý Ánh xạ ngược.15Định lí 1.2.15. Cho φ : M → N là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp cùng chiều.Nếu p ∈ M thỏa mãn dφ : Tp M → Tφ(p) N là song ánh thì tồn tại một lân cận mở Upcủa p và Uq của q = φ(p) sao cho ψ = φ|Up : Up → Uq là song ánh và ánh xạ ngượcψ −1 : Uq → Up cũng khả vi.Tiếp theo, ta sẽ mở rộng Định lý ánh xạ ẩn. Trước tiên ta sẽ bổ sung một số kháiniệm.Định nghĩa 1.2.16. Cho φ : M m → N n là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp. Mộtđiểm p ∈ M được gọi là chính quy nếu đạo hàmdφp : Tp M → Tφ(p) Nlà hạng đủ. Ngược lại, ta gọi là điểm dị thường. Một điểm q ∈ φ(M ) được gọi là mộtgiá trị chính quy nếu ∀p ∈ φ−1 {q}, p là điểm chính quy.Định lí 1.2.17. Cho φ : M m → N n là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp với m > n.Nếu q ∈ φ(M ) là một giá trị chính quy thì nghịch ảnh của nó, φ−1 ({q}) là một đa tạpcon của M m có số chiều m − n. Không gian tiếp xúc Tp φ−1 ({q}) của φ−1 ({q}) tại p lànhân của đạo hàm ánh xạ dφp, tức làTp φ−1 ({q}) = {X ∈ Tp M |dφp (X) = 0}.Định nghĩa 1.2.18. Cho φ : M m → N n là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp với m ≥ n.φ được gọi là phép tràn nếu với mỗi p ∈ M , đạo hàm của nó dφp : Tp M → Tφ(p) N làmột toàn ánh.Ví dụ 1.2.19. Phép chiếu chính tắc từ Rm+1 lên Rn+1 , m ≥ n là một phép tràn.1.3Phân thớ tiếp xúcTương tự như Mục 1.2, ta sẽ bắt đầu khái niệm trong Rm . Theo Định lý 1.2.2mỗip ∈ Rm , không gian vectơ tiếp xúc Tp Rm có thể được đồng nhất với không gian vectơ16Rm . Một cách trực quan, nếu ta đính mỗi không gian vectơ tiếp xúc Tp Rm vào Rm tạip thì ta nhận được phân thớ tiếp xúc của đa tạp RmT Rm = {(p, v)|p ∈ Rm , v ∈ Tp Rm }.Ta gọi ánh xạπ : T Rm → Rm(p, v) → plà phép chiếu tự nhiên và mỗi p ∈ M , bó π −1 ({p}) trên p chính là không gian tiếp xúcTp Rm tại p.Nhắc lại rằng một trường vectơ X trên Rm là một ánh xạX : Rm → T Rmp → (p, Xp ).Từ Mệnh đề 1.2.11 ta có thể biểu diễn hai trường vectơ X, Y : Rm → T Rm bởimX=k=1∂,Y =ak∂xkmbkk=1∂,∂xktrong đó ak , bk : Rm → R là các hàm khả vi. Giả sử f : Rm → R là một hàm khả vi,giao hoán tử [X, Y ] tác động lên f như sau[X, Y ] (f ) = X(Y (f )) − Y (X(f ))m∂∂(ak ∂x∂ k (bl ∂x) − bk ∂x∂ k (al ∂x))(f )ll=k,l=1mm{=l=1k=1∂al ∂∂bl− bk ∂x) (f )}.(ak ∂xkk ∂xlTừ đó, giao hoán tử [X, Y ] cũng là một trường véc tơ khả vi trên Rm .Ta sẽ khái quát hóa những điều trên cho đa tạp khả vi tổng quát.1.3.1Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pôĐịnh nghĩa 1.3.1. Cho E, M là các đa tạp tô pô n chiều và π : E → M là một toànánh liên tục. Bộ ba (E, M, π) được gọi là một chùm vectơ tô pô n chiều trên M nếu17i) Với mỗi p ∈ M , bó Ep = π −1 ({p}) là một không gian vectơ n chiều.ii) Với mỗi p ∈ M , tồn tại một bản đồ chùm (π −1 (U ), ψ), trong đó U là một lân cậnmở của p và ψ : π −1 (U ) → U × Rn là một đẳng cấu sao cho với mọi q ∈ U , ánhxạ ψq = ψ|Eq : Eq → {q} × Rn là một đẳng cấu tuyến tính.Một atlas chùm của (E, M, π) là một họB = {(π −1 (Uα ), ϕα )|α ∈ I}các bản đồ chùm sao cho M = ∪α Uα và với mỗi α, β ∈ I , tồn tại ánh xạAα,β : Uα ∩ Uβ → GLn (R)sao cho ánh xạ liên tục tương ứngψβ ◦ ψα−1 |(Uα ∩Uβ )×Rn (Uα ∩ Uβ ) × Rn → (Uα ∩ Uβ ) × Rnđược xác định bởi(p, v) → (p, (Aα,β (p))(v)).Các phần tử của {Aα,β |α, β ∈ I} được gọi là ánh xạ dịch chuyển của atlas chùm B.Định nghĩa 1.3.2. Cho (E, M, π) là một chùm vectơ tô pô trên M . Một ánh xạ σ :M → E được gọi là một lát cắt của chùm (E, M, π) nếu π ◦ σ(p) = p với mỗi p ∈ M .Định nghĩa 1.3.3. Chùm vectơ tô pô (E, M, π) trên M số chiều n được gọi là tầmthường nếu tồn tại một bản đồ chùm toàn cục ψ : E → M × Rn .Ví dụ 1.3.4. Cho M là đường tròn S 1 , E là một mặt trụ hai chiều E = S 1 × R1 vàπ : E → M là ánh xạ chiếu π(z, t) = z . Khi đó, chùm (E, M, π) là tầm thường do ánhxạ đồng nhất ψ : S 1 × R1 → S 1 × R1 là một bản đồ chùm toàn cục.Tổng quát hơn chùm vectơ tô pô (M × Rn , M, π) trong đó M là một đa tạp tô pôn chiều, π là ánh xạ chiếu từ M × Rn → M .18Ví dụ 1.3.5. Cho M là đường tròn S 1 trong R4 được tham số hóa bởiγ : R2 → R4s → (cos s, sin s, 0, 0) .Gọi E là dải M¨obius trong R4 tham số hóa bởiφ : R2 → R4(s, t) → (coss, sins, 0, 0) + t(0, 0, sin(s/2) cos(s/2)).Khi đó, ta có thể kiểm tra được rằng E là một mặt chính quy (tức là các điểm của nólà giá trị chính quy) và ánh xạ chiếu tự nhiênπ:E→M(x, y, z, ω) → (x, y)là liên tục và toàn ánh. Khi đó, chùm (E, M, π) là một chùm đường thẳng trên S 1 .Tuy nhiên, do dải M¨obius là một mặt không định hướng nên nó không thể đồng phôivới mặt trụ S 1 × R1 , vốn là một mặt định hướng. Do vậy, chùm (E, M, π) không tầmthường.1.3.2Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả viĐịnh nghĩa 1.3.6. Cho E, M là các đa tạp khả vi và π : E → M là một ánh xạ khả visao cho (E, M, π) là một chùm vectơ tô pô n chiều. Một atlas chùm B của (E, M, π)được gọi là khả vi nếu các ánh xạ dịch chuyển tương ứng là khả vi. Một chùm vectơkhả vi là một chùm vectơ tô pô cùng với một atlas chùm khả vi cực đại. Ta sẽ ký hiệuC ∞ (E) là tập các lát cắt trơn của (E, M, π)Từ đây trở đi, ta chỉ xét các chùm vectơ trơn. Sau đây ta sẽ trang bị phép toán cholát cắt trơn của chùm vectơ.Định nghĩa 1.3.7. Cho (E, M, π) là một chùm vectơ trên đa tạp M . Ta định nghĩaphép cộng và phép nhân trên tập C ∞ (E) như sau.

Tài liệu liên quan

• Luận văn thạc sĩ về một số biện pháp mở rộng Cung tín dụng đối với hộ SX cây trồng dài ngày tại tỉnh Gia Lai
  • 75
  • 486
  • 1
• HIỆN TRẠNG TAI BIẾN TRƯỢT LỞ ĐẤT ĐÁ TRÊN MỘT SỐ TUYẾN ĐƯỜNG GIAO THÔNG Ở TỈNH CAO BẰNG VÀ VÙNG PHỤ CẬN
  • 14
  • 732
  • 6
• Bài giảng slide phương pháp số _ bài 01 _ma trận và hệ phương trình đại số tuyến tính
  • 64
  • 936
  • 0
• PHƯƠNG PHÁP số TRONG đại số TUYẾN TÍNH
  • 65
  • 878
  • 12
• Sinh lý sinh hóa mẫu, nước tiểu và hình thái đại thể một số tuyến nội tiết ở lợn con mắc bệnh phân trắng
  • 140
  • 369
  • 0
• Tài liệu Đề luyện tập môn đại số tuyến tính 1 doc
  • 1
  • 753
  • 7
• Tài liệu Đề luyện tập môn đại số tuyến tính 9 ppt
  • 1
  • 548
  • 7
• Tài liệu Đề luyện tập môn đại số tuyến tính 10 doc
  • 1
  • 823
  • 16
• Nghiên cứu kỹ thuật FTTH và tính toán thiết kế một số tuyến FTTH tại thành phố đà nẵng
  • 26
  • 610
  • 1
• Tài liệu Tài liệu ôn tập Đại số tuyến tính pdf
  • 41
  • 1
  • 29

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(479.61 KB - 65 trang) - Một số đa tạp trong đại số tuyến tính Tải bản đầy đủ ngay ×