Một Số Dạng Toán Về Phương Trình Bậc Hai Cơ Bản - Đào Trung Kiên

Có thể bạn quan tâm

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai

Phương pháp: Cho phương trình $ax^2+bx+c=0$

1) $a=0$ .

2) $a\neq 0$ :

+ $\Delta >0:$ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\dfrac{-b \pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

+ $\Delta=0:$ phương trình có nghiệm kép $x=\dfrac{-b}{2a}$ \\

+ $\Delta < 0:$ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a) $x^2-2x-5=0$
b) $(2x-1)(x-1)=0$ .
c) $x^4-5x^2-6=0$

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:

a) $(m-1)x^2-2mx+m-5=0$
b) $[(k+1)-1](x-1)=0$ .
c) $\dfrac{2x}{x+m}+\dfrac{x}{x-m}=\dfrac{m^2}{4(x^2-m^2}$
d) $\dfrac{x}{m(x+1)}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{3-m^2}{m(x+1)(x+2)}$

Dạng 2: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm}

Phương pháp: Cho phương trình: $ax^2+bx+c=0$ . Tìm điều kiện của tham số sao cho:

Loại 1:Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b = 0,c \ne 0 \\ a \ne 0,\Delta < 0 \\ \end{array} \right.$

Loại 2: Phương trình nhận mọi x làm nghiệm $\Leftrightarrow a=b=c=0$ \\

Loại 3: Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b =c= 0 \\ a \ne 0,\Delta \geq 0 \\ \end{array} \right.$

Loại 4: Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0, b\ne 0 \\ a \ne 0,\Delta = 0 \\ \end{array} \right.$

Loại 5: Phương trình có nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0 \\ \Delta = 0 \\ \end{array} \right.$

Loại 6: Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0 \\ \Delta > 0 \\ \end{array} \right.$

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất $mx^2+2(m-1)x-2=0$

Ví dụ 3: Cho phương trình $mx^2-2(m-2)x+m-3=0$

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác thì phương trình $a^2x^2+(a^2+b^2-c^2)x+b^2=0$ vô nghiệm.

Dạng 3: Định lý Viet và ứng dụng

Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì ta có $\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\\ x_1x_2=\dfrac{c}{a} \end{array}\right.$

Bài toán 1: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.}

Phương pháp: Nếu hai số $u,v$ có $\left\{\begin{array}{l} u+v=S\\ u.v=P \end{array}\right.$ thì $u,v$ là nghiệm của phương trình

$t^2-St+P=0 (1)$

Chú ý: Nếu (1) có hai nghiệm $t_1,t_2$ thì ta được

$\left[\begin{array}{l} u=t_1 \& v=t_2\\ u=t_2 \& v=t_1 \end{array}\right.$

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} x+y=5\\ x.y=6 \end{array}\right.$

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} x+y=2\\ x^2+y^2=10 \end{array}\right.$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=4\\ xy=27 \end{array}\right.$

Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm

Ví dụ 4: Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^2-x-6=0$ . Tính giá trị của các biểu thức:

a) $A=\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}$
b) $B=|x_1-x_2|$ latex
c) $C=(x_1-2x_2)(x_2-2x_1)$

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình $x^2-2mx+4=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1^4+x_2^4=4$ .

Bài toán 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số}

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đk của m để pt có nghiệm.

Bước 2: Áp dụng định lý Viet tính $\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=f(m)\\ x_1.x_2=g(m) \end{array}\right.$

Bước 3: Khử m từ hệ trên được hệ thức cần tìm.

Ví dụ 6: Cho phương trình $(m+2)x^2-(m+4)x+2-m=0$ .

a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
b) Với m tìm được ở câu a), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1,x_2$ không phụ thuộc vào $m$ .

Ví dụ 7: Cho phương trình $(1+m^2)x^2-2mx+1-m^2=0 (1)$ .

a) Chứng minh rằng với mọi $m>1$ phương trình luôn có nghiệm.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.

Bài toán 4: Xác định dấu các nghiệm của phương trình

Phương pháp:

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: $a.c<0$ \\
b) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu: $\begin{cases} \Delta \geq 0\\ P>0 \end{cases}$ .\\
c) Phương trình có hai nghiệm dương: $\begin{cases} \Delta \geq 0\\ P>0 \\S>0 \end{cases}$ .\\
d) Phương trình có hai nghiệm âm: $\begin{cases} \Delta \geq 0\\ P>0 \\S<0 \end{cases}$ .