Phương Trình Bậc Hai Với Nghiệm Nguyên - Giáo Án Điện Tử

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Liên hệ

Giáo Án Điện Tử

Tổng hợp giáo án điện tử mẫu cho học sinh và giáo viên tham khảo

Phương trình bậc hai với nghiệm nguyên

A.Lý thuyết

I. Các kiến thức liên quan:

1) Tính chất chia hết của số nguyên.

2) Tính chất của số chính phương.

3) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

4) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có 2 nghiệm x1; x2 thì :

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).

II.Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên:

- Phương pháp đánh giá

+Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến.

+Đưa về tổng các bình phương để đánh giá

- Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.

- Đổi vai trò của ẩn

- Đưa về phương trình ước số.

- Tham số hóa để đưa về phương trình ước số.

- Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên.

- Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét.

4 trang | Chia sẻ: baoan21 | Lượt xem: 50059 | Lượt tải: 2

Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương trình bậc hai với nghiệm nguyên, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI NGHIỆM NGUYÊN A.Lý thuyết I. Các kiến thức liên quan: 1) Tính chất chia hết của số nguyên. 2) Tính chất của số chính phương. 3) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 4) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có 2 nghiệm x1; x2 thì : ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). II.Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên: - Phương pháp đánh giá +Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến. +Đưa về tổng các bình phương để đánh giá - Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương. - Đổi vai trò của ẩn - Đưa về phương trình ước số. - Tham số hóa để đưa về phương trình ước số. - Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên. - Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - xy + y2 = 2x - 3y - 2 ( 1) Giải: Coi (1) là phương trình bậc 2 đối với ẩn y ta được: y2 + ( 3 - x)y + ( x2 - 2x +2 ) = 0 (2) ∆ = - 3x2 + 2x + 1 Để phương trình (2) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 Û - 3x2 + 2x + 1 ≥ 0 Û -1/3 ≤ x ≤ 1 mà x là số nguyên suy ra x Î{0; 1} +) Với x = 0 thay vào (2) ta được y2 + 3y + 2 = 0 ta có y1 = - 1; y2 = -2 +) Với x = 1 thay vào (2) ta được y2 + 2y + 1 = 0 ta có y3 = - 1 Kết luận: Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là : (0; -1); (0; -2); (1; -1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 3xy - x -y + 3 = 0 (1) Giải: Viết phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với ẩn x ta được x2 + ( 3y - 1)x + ( 2y2 - y + 3) = 0 (2) Có ∆ = y2 - 2y -11 Xét điều kiện cần để phương trình 2 có nghiệm nguyên : ∆ là số chính phương Û y2 - 2y -11 = k2 ( k ÎN) Û (y - 1)2 - k2 = 12 Û ( y - 1 +k)(y - 1 - k) = 12 Do y - 1 + k và y - 1 - k cùng tính chẵn lẻ và y - 1 + k > y - 1 - k nên ta có bảng sau: y - 1 + k 6 -2 y - 1 - k 2 -6 y - 1 4 -4 y 5 -3 +) Với y = 5 thay vào phương trình (2) ta được x2 + 14x + 48 = 0 ta có x1 = -8; x2 = - 6 +) Với y = - 3 thay vào phương trình (2) ta được x2 - 10x + 24 = 0 ta có x3 = 6; x4 = 4 Kết luận: Nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là: ( -8;5); (-6;5); (6;-3); (4;-3). Ví dụ 3:Cho phương trình: ( p là tham số) Tìm các số hữu tỉ p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên. Giải: Phân tích: nếu ta coi là phương trình bậc 2 với ẩn x thì ∆ = -8p2-68p -131 đến đây ta chặn được p nhưng không thể tìm được p. Do đó ta cần đổi vai trò của ẩn Coi phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn p ta có: ∆’ = -2x2 + 5x -2.... Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - 2x - 11 = y2Û (x2 - 2x -1) - y2 = 12 Û (x - 1- y)(x - 1+y) = 12.... Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x - 3y = 2xy -11Û (2x+3)y = 5x + 11 do x nguyên 2x + 3 ≠ 0 Þ y = 2+(x+5)/(2x+3) .... Ví dụ : Giải phương trình nghiệm nguyên (1) ( HSG Bắc Ninh 2012 – 2013) Coi là phương trình bậc 2 ẩn x ta được (x2)2 – x2 (y2 + 4) – 2y4 – 7y2 – 5 = 0 có D = (y2 + 4)2 - 4(– 2y4 – 7y2 – 5 ) = 9y4 + 36y2 +36 = (3y2 + 6)2 nên (1) Û.. NX: Nếu vế phải của (1) là số nguyên khác 0 ta được phương trình ước số. Ví dụ: Tìm các số nguyên dương thoả mãn (1) Nhận xét: Nếu coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x ta được: 2x2 – x(y + 7) – y2 + 2y – 7 = 0 Có: D= (y +7)2 – 4.2(– y2 + 2y – 7 ) = 9y2 +2y + 105 Không thuận lợi. Do đó ta coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn y ta được: y2 + y(x – 2) – 2x2 – 7x + 7= 0 Có: D = (x – 2)2 – 4(– 2x2 – 7x + 7) = 9x2 +24x -24 D không là một bình phương vậy xử lý thế nào? Ví dụ 6:Cho phương trình : (m – 1 )x2 - ( 2m + 1 )x + m2 – 2m + 4 = 0 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên . Ví dụ 6: Tìm tất cả các số tự nhiên a sao cho phương trình : x2 - a2 x + a +1 = 0 có nghiệm nguyên . ( Bắc Ninh, ngày 14/7/2001) Giải: Với a = 0 phương trình đã cho vô nghiệm suy ra a Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của PT đã cho. Theo Vi-ét ta có: Với a nếu phương trình có 1 nghiệm nguyên thì nghiệm còn lại cũng là số nguyên Trừ từng vế của (1) và (2) ta được : Vì và nên: ≥ 1 và - 10; - 10(- 1)(- 1) 00 Mà a + 1 > 0 2 - a 0a , do a 0 < a a +) Với a = 1 pt đã cho trở thành x2 - x + 2 = 0 (PT này vô nghiệm) +) Với a = 2 pt đã cho trở thành x2 - 4x + 3 = 0 PT này có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 3 nguyên. Vậy với a = 2 thì PT đã cho có nghiệm nguyên. Bài tập: Bài 1:Tìm tất cả các giá trị nguyên của a sao cho với các giá trị đó phương trình : x2 + ax + a = 0 có nghiệm nguyên . Bài 2:Cho phương trình : (m – 1 )x2 - ( 2m + 1 )x + m2 – 2m + 4 = 0 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên . Bài 3:Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình: x 2 – ( 3 + 2a ) x + 40 – a = 0 có nghiệm nguyên. (Vào 10 Bắc Ninh năm học 2001 - 2002) Bài 4: Tìm x, y nguyên thoả mãn: 7x2 + 13y2 = 1820 Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2x6 – 2x3y + y2 = 64 Chuyên ngữ Hà Nội năm 2002 Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau: a) 2xy – 4x – y = 1 b) 2xy –x – y + 1 = 0 c)6x2 + 7y2 = 229 d) 8x2 – 5y2 + 10x + 4 = 0 Bài 7: Tìm các số hữu tỉ x để x2 + x + 6 là số chính phương. Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho: 2(x +y) + xy = x2 + y2 Sư phạm Hà Nội năm học 2007 - 2008

File đính kèm:

Phuong trinh bac hai voi nghiem nguyen.doc

Giáo án liên quan

Bài kiểm tra cuối năm năm học: 2013 – 2014 môn: Toán lớp 9
7 trang | Lượt xem: 1117 | Lượt tải: 0
Bài giảng Luyện tập vị trí tương đối của 2 đường tròn
2 trang | Lượt xem: 1560 | Lượt tải: 1
Các nội dung ôn tập Toán lớp 9
14 trang | Lượt xem: 1737 | Lượt tải: 0
Bài giảng môn Hình học 9 - Tuần 29 - Tiết 54: Luyện tập
3 trang | Lượt xem: 1101 | Lượt tải: 0
Giáo án môn Hình hoc 9 - Tiết 20: Luyện tập
2 trang | Lượt xem: 1039 | Lượt tải: 0
Giáo án Hình học 9 - Tiết 18: Ôn tập chương 1
3 trang | Lượt xem: 1333 | Lượt tải: 0
Đề thi thử tuyển sinh vào lớp 10 lần 2 năm học 2014 - 2015
8 trang | Lượt xem: 1551 | Lượt tải: 1
Giáo án Toán học 9 - Tiết 37, 38
4 trang | Lượt xem: 1132 | Lượt tải: 0
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2014 - 2015 môn: Toán
1 trang | Lượt xem: 1389 | Lượt tải: 2
Giáo án Toán học 9 - Trường THCS Tân Hiệp - Tiết 28: Ôn tập chương 2
4 trang | Lượt xem: 1446 | Lượt tải: 1