Một Số định Lý Và Tính Chất Về Hàm, Chuỗi Hàm, Chuỗi Số - WordPress ...

Có thể bạn quan tâm

Sắp thi nên viết lại mấy cái quan trọng cho nhớ :v

I. Chuỗi trong không gian Banach:

Tiêu chuẩn Cauchy
Định lý Dirichlet: Giả sử chuỗi ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}$ trong không gian Banach có dãy tổng riêng bị chặn và ${\{\alpha_n\}}$ là dãy đơn điệu giảm tới 0, thì chuỗi ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_n.u_n}$ hội tụ.
Định lý Abel: Giả sử chuỗi ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}$ trong không gian Banach hội tụ và ${\{\alpha_n\}}$ là dãy đơn điệu bị chặn, thì chuỗi ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_n.u_n}$ hội tụ.
(Hội tụ tuyệt đối) Tổng ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}$ httd trong kg Banach thì tổng đó hội tụ và nhận giá trị không phụ thuộc vào thứ tự các phần tử trong tổng.
Dấu hiệu Cauchy: Giả sử ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}$ là chuỗi trong không gian Banach. Đặt: ${q=\lim\limits_{n\to\infty}\sup\sqrt[n]{||u_n||}}$ . Khi đó: nếu ${q<1}$ thì ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}$ httd còn nếu ${q>1}$ thì ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}$ phân kì.
Dấu hiệu tích phân: Giả sử ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}$ là chuỗi trong kh Banach và $\latex {f}$ liên tục không âm đơn điệu giảm trên ${[1,\infty\}}$ sao cho: ${||u_n||=f(n)}$ với mọi ${n}$ . Khi đó: ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}$ httd nếu và chỉ nếu ${\int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx}$ hội tụ, tức là ${\sup\limits_{n\geq1}\int\limits_{1}^{n}f(x)dx<\infty}$
Dấu hiệu Leibnitz: Chuỗi đan dấu ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n}$ với ${u_n\geq0}$ hội tụ nếu dãy ${u_n}$ đơn điệu giảm tới 0.

II. Chuỗi hàm:

Dấu hiệu Weierstrass: Nếu ${||f_n(x)||\leq a_n\forall n\geq1,\forall x\in A}$ và ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n}$ hội tụ thì ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n}$ ht đều trên A
Dấu hiệu Dirichlet: Giả sử các tổng riêng của chuỗi hàm ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}$ bị chặn đều trên A, tức là ${\sup\limits_{n}\sup\limits{x\in A}||\sum\limits_{k=1}^{n}u_k(x)||<\infty}$ , và dãy hàm ${v_n}$ đơn điệu giảm tới 0 trên A thì chuỗi ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n.v_n}$ htd trên A
Tiêu chuẩn Abel: Giả sử chuỗi hàm ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}$ trong kg Banach htd trên A và dãy hàm số ${v_n}$ đơn điệu giảm và bị chặn đều trên A. Khi đó: chuỗi ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n.v_n}$ htd trên A
( Bảo toàn tính liên tục) Nếu ${f_n}$ liên tục trên kg metric X với giá trị trong kg Banach và nếu ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n}$ htd trên A tới ${f}$ thì ${f}$ liên tục trên A.
( Bảo toán tính khả vi) Nếu ${f_n}$ là ánh xạ khả vi trên tập mở ${\mho}$ trong kg đch E với gía trị trong kg Banach F. Giả sử ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n^{(j)}}$ hôi tụ với ${\forall 0\leq j\leq p-1}$ và ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n^{(p)}}$ htđ trên mọi compact của ${\mho}$ tới ${g:\mho \to \mathcal{L}_p(E,F)}$ . Khi đó: ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n}$ htđ trên mọi compact của ${\mho}$ tới ${f}$ . Hơn nữa ${f}$ khả vi p-lần và ${f^{(p)}=g}$ .
( Bảo toàn tính khả tích) Nếu ${f_n}$ là ánh xạ khả tích trên tập đo được Jordan ${X\subset\mathbb{R}^n}$ với giá trị trong kg Banach và ${\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n}$ htđ trên ${X}$ tới ${f}$ thì ${f}$ khả tích và ${\int\limits_{X}f=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int\limits_{X}f_ndx}$ .
Định lý Dini: Nếu ${\{f_n\}}$ là dãy hàm đơn điệu giảm ( t.ư tăng) các hàm nửa liên tục trên ( t.ư nửa liên tục dưới) hội tụ điểm tới hàm liên tục ${f}$ trên kg compact X thì dãy ${\{f_n\}}$ hội tụ đều tới ${f}$ trên X.ư

III. Chuỗi lũy thừa:

Xét chuỗi ${\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n.x^n}, x\in\mathbb{R},a_n\in F$ _kg Banach (*)

Bổ đề Abel: Nếu chuỗi (*) hội tụ tại ${x_0\neq0}$ thì httd tại mọi ${|x|<|x_0|}$ và nếu chuỗi (*) phân kì tại ${x_0}$ thì phân kì tại mọi ${|x|>|x_0|}$ (số ${x_0}$ lớn nhất thỏa mãn 2 điều trên (nếu có, nếu ko có thì ${x_0=0}$ đgl bán kính hội tụ của chuỗi.
Công thức Cauchy – Hadamard: Bán kính hội tụ của chuỗi (*) là ${R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{||a_n||}}}$
( Tính liên tục ) Nếu chuỗi (*) có bk hội tụ là ${R>0}$ thì nó htđều trên mọi compact trong ${(-R,R)}$ , do đó ${S(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n.x^n}$ liên tục trên ${(-R,R)}$
( Tính khả tích) Nếu chuỗi (*) có bkht ${R\geq0}$ thì ${S(x)}$ khả tích trên mọi đoạn hữu hạn ${[a,b]\subset(-R,R)}$ và ${\int\limits_{a}^{b}S(x)dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int\limits_{a}^{b}{a_n.x^ndx}}$
( Tính khả vi) Nếu chuỗi (*) có bkht là ${R>0}$ thì ${\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n.x^n}$ khả vi vô hạn trên ${(-R,R)}$ và ${(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n.x^n)^{(k)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_n.x^n)^{(k)}}$
( Tính hội tụ đều) Nếu chuỗi (*) hội tụ tại ${R}$ ( t.ư ${-R}$ ) với ${R>0}$ là bkht, thì nó htđều trên ${[0,R]}$ ( t.ư trên ${[-R,0]}$ )
Giả sử ${f}$ khả vi vô hạn trên ${[x_0-R,x_0+R], R>0}$ với giá trị trong kg Banach sao cho: ${||f^{(n)}(x)||\leq M\forall x\in[x_0-R,x_0+R]}\forall n\geq0$ . Khi đó chuỗi ${\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}$ htđều tới ${f}$ trên ${[x_0-R,x_0+R]}$