MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP - 123doc

Tải bản đầy đủ (.docx) (35 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (293.46 KB, 35 trang )

CHUYÊN ĐỀMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINHTỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒNMỤC LỤC1BẢNG CHỮ CÁI VIẾT TẮTSKKN: Sáng kiến kinh nghiệmSGK: Sách giáo khoaTHCS: Trung học cơ sởGV: Giáo viênHS: Học sinhGD&ĐT: Giáo dục và đào tạoTHPT: Trung học phổ thông(0): Đường tròn tâm OĐpcm: Điều phải chứng minh21. Lời giới thiệuToán học là môn học chính trong chương trình trung học, với rất nhiều giáo viêngiảng dạy thì cùng với đó cũng đã rất nhiều đề tài, sáng kiến kinh nghiệm đượcviết ra với mọi góc nhìn, với chủ đề “Một số phương pháp chứng minh tứ giácnội tiếp” thì cũng có khá nhiều tác giả đã viết, tôi với góc nhìn cá nhân mongmuốn có một chuyên đề cho riêng mình giảng dạy học sinh đại trà về vấn đề“Tứ giác nội tiếp” nên tôi đã viết chuyên đề này.2. Tên sáng kiến “Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp”3. Tác giả sáng kiến- Họ và tên:- Trường :…………………………….…………- Địa chỉ: ………………………………………..- Điện thoại:……………………………………..- Email: ……………………………….…………4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:Cá nhân tự đầu tư, nghiên cứu5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:Môn Toán lớp 96. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:Tháng 2/20147. Mô tả bản chất của sáng kiến:Sáng kiến viết về một số phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp,có tính liên hệ, mở rộng trong quá trình giảng dạy thích hợp cho học sinhtừ trung bình đến khá, giỏi3PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦUI. Lý do chọn đề tàia) Cơ sở lý luận: Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minhtứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các gócbằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh cácđiểm cùng thuộc một đường tròn, …. Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏiphải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc vàđường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, …. Đặc biệt phải biết hệ thống cáckiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 . Đây là việc làm hết sứcquan trọng của giáo viên đối với học sinh.b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rấtcơ bản thể hiện ở định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thìSGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nộitiếp. Tuy nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứngminh tứ giác nội tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểucơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứgiác nội tiếp một đường tròn.Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọnggiúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải haycách lý giải căn cứ khác .Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đưa ra một số cách để chứngminh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài “Tứ giác nội tiếp mộtđường tròn”Với tên gọi:“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPCHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN“II. Mục đích của đề tàiGiúp Giáo viên hệ thống hoá kiến thức tạo nên các phương pháp để hướng dẫnhọc sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh các điểm nằm trên một đườngtròn , chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định, chứng minh quan hệgiữa các đại lượng và các bài toán có sử dụng chiều ngược lại của tứ giác nội4tiếp. Rèn học sinh kỹ năng phân tích tự tìm lời giải bằng các cách khác nhau, kỹnăng nhận biết nhanh một tứ giác nội tiếp.Vì thời gian có hạn, năng lực của bản thân còn có hạn chế nhất định về khảnăng tư duy nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏinhững thiếu sót. Kính mong các thầy cô đồng nghiệp trong nhà trường và trongcụm đóng góp xây dựng để sáng kiến của tôi được phát huy tác dụng trong giảngdạy toán ở nhà trường.III. Nhiệm vụ nghiên cứuTạo ra một tài liệu có tính khả thi trong quá trình giảng dạy cho học sinh khối 9về Tứ giác nội tiếp và các bài toán liên quanIV. Đối tượng của đề tài:Là học sinh đại trà lớp 9 – THCS, giáo viên mới ra nghề dạy ở bậc THCS.V. Phạm vi của đề tài :Là phương pháp chứng minh hình học THCS ở phạm vi hẹp, cụ thể là chứngminh tứ giác nội tiếp một đường tròn để từ đó chứng minh các đẳng thức vềgóc, đẳng thức tích các đoạn thẳng, … Tuy nhiên về ứng dụng của nó thì cũngkhá rộng rãi .VI. Phương pháp nghiên cứu- Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bàitoán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tínhtoán của GV THCS.- Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dưỡng ôn thi học sinh đại trà lớp 9 ,những năm trước đây thấy học sinh rất ít em phát hiện được tứ giác nội tiếp mộtcách nhanh nhất, nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay được tổnghai góc đối diện của tứ giác bằng 180 o. Hay HS cứ phải đưa về tổng hai góc đốidiện bằng 1800 nên dài, nhiều khi dẫn đến sai.- Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phương phápchứng minh và tính chất của tứ giác nội tiếp . Đặc biệt là tìm cách nhận biếtnhanh tứ giác nội tiếp trước khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng180o trong các bài toán có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quảcủa tứ giác nội tiếp .5- Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là nhữngthầy cô dạy toán giỏi trong Huyện.- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, cácbuổi ôn toán thi vào lớp 10 THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi .- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đếncác định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống cácphương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp .Từ các phương pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút rađược kinh nghiệm nhỏ trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán bởi nộidung cụ thể như sau:VII. Địa điểm, thời gian nghiên cứu- Địa điểm: …………………………………………………….- Thời gian: 02/2013 – 02/20176PHẦN B: NỘI DUNGI. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ1, Về con người :- Là những GV giỏi, giáo viên lâu năm trong nghề có kinh nghiệm để họchỏi trao đổi vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên cứu.- Giáo viên mới ra nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : “Tại sao lại có cáchchứng minh tứ giác nội tiếp như thế ? Trong một bài toán cụ thể”- Là học sinh từ trung bình trở lên (học sinh đại trà) lớp 9 THCS.2, Về kiến thức:Vì thời gian có hạn và năng lực có hạn chế nên đối tượng kiến thức tôichọn ở đây chỉ là định lý và các bài toán hình học nói về tứ giác nội tiếp , quỹtích cung chứa góc . Nghiên cứu chủ yếu cách tìm phương pháp chứng minh cácđiểm cùng thuộc một đường tròn để phục vụ cho kết luận của bài toán có sửdụng tính chất của tứ giác nội tiếp .II. MỘT SỐ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI*. Kiến thức cơ bản1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếpB* Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác cóbốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.HìnhA1OC* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và(O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.D1.2.Định lý.* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o.* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o thì tứ giác đónội tiếp được một đường tròn.7Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 1800 hoặc ∠B + ∠D = 18001.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểmđó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dướimột góc α .1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứgiác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thứctrên.Với cách hệ thống hoá như trên, học sinh được ghi nhớ một cách lôgic vàtừ đó nhận biết nhanh được tứ giác nội tiếp một đường tròn và cũng từ đó sửdụng nhanh các tính chất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình học .Bài toán 2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp mộtđường tròn là AB.CD + BC.AD=AC.BD.Bài toán 3. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắtCD tại F. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp làEA.ED+FA.FB=EF2 .* Một số ví dụ minh hoạ:Trong phần ví dụ này, mỗi ví dụ được trình bày theo hướng phân tích đểtìm ra phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp . Phần trình bày lời giải trên cơsở phân tích nên cho phép tôi không trình bày ở đây .8AB'C'2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.OBCBài toán 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’.Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.Chứng minh:Cách 1:Lấy O là trung điểm của cạnh BC.Xét ∆BB’C có : ∠ BB’C = 900 (GT)OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền⇒ OB’ = OB = OC = r(1)Xét ∆BC’C có : ∠ BC’C = 900 (GT)Tương tự trên ⇒ OC’ = OB = OC = r(2)Từ (1) và (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r)⇒ ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn.Cách 2: Ta có:BB’ ⊥ AC (GT) ⇒ ∠ BB’C = 900.CC’ ⊥ AB (GT) ⇒ ∠ BC’C = 900.⇒ B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông⇒ B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BCHay ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC.Phương pháp 2: Dựa vào định lýTứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔∠A + ∠C = 1800hoặc ∠B + ∠D = 1800Bài toán 2:9Cho tam giác ABC nhọn và nộitiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’.AC'a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nộitiếp.B'IOb/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I.Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp.CBDChứng minh:a/ (Bài toán 1)b/ Từ câu a ⇒ ∠ C + ∠ BC’B’ = 180M0(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)A1 2 AB)Mà : ∠ C = ∠ D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung⇒ ∠ D + ∠ BC’I = 1800⇒ ◊ BDIC’ nội tiếp đường tròn.Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc BO1CBài toán 3:NCho ∆ ABC cân ở A nội tiếp (O). Trêntia đối của tia AB lấy điểm M, trên tiađối của tia CA lấy điểm N sao choAM=CN.Chứng minh ◊ AMNO nội tiếp.Chứng minh:Ta có: ∆ ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC⇒ ∠ A1 = ∠ A210∆AOC cân tại O (vì OA = OC)⇒ ∠A2 = ∠C1 nên ∠A1 = ∠A2 = ∠C1Mà ∠A1 + ∠OAM = 1800 và ∠C1+ ∠OCN= 1800.⇒ ∠AOM = ∠OCNXét ∆OAM và ∆OCN có : OA = OC; ∠AOM = ∠OCN; AM = CN⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c)⇒ ∠AMO = ∠CNO hay ∠AMO = ∠ANO⇒ ◊ AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M vàMN cùng nhìn cạnhOA dưới cùng một góc).APBEOPhương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong củaDđỉnh đối diện.Bài toán 4:CCho tứ giác ABCD nội tiếp (O),M là điểm chính giữa của cung AB.Nối M với D, M với C cắt AB lần lượtở E và P.Chứng minh tứ giác PEDC nộitiếp được đường tròn.Chứng minh:Ta có : ∠ MEP làgóccóMBnằm bên trong (O)» +¼đỉnhs®(AD)·⇒ MEP=MàHay2¼·DCP = s®DM2(góc» nội¼tiếp)·DCP = s®(AD + MA)2Lại có :¼ = MB¼AMNên :··MEP= DCPNghĩa là: ◊ PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C11Vậy ◊ PEDC nội tiếp được đường tròn.Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)Cho hình vẽ:BBiết AC ⊥ BD tại O, OE⊥AB tại E; OF ⊥ BC tại F; OG ⊥DC tại G; OH ⊥AD tại H.EFAHãy tìm các tứ giác nội tiếptrong hình vẽ bên.COHGDChứng minh:* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:AEOH; BFOE; CGOF; DHOG* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong củađỉnh đối diệnAEFC; AHGC; BEHD; BFGDThật vậy:Xét tứ giác AEFCTa có: ∠EAC = ∠ EOB (cùng phụ với ∠ ABO)∠ BFE = ∠EOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)⇒ ∠EAC = ∠ BFE.Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự.* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 1800Thật vậy: Ta có : ∠ OEH = ∠OAH ( vì cùng chắn cung OH)∠OAH = ∠HOD (vì cùng phụ với ∠AOH)∠HOD = ∠HGD ( vì cùng chắn cung HD)⇒ ∠ OEH =∠HGDChứng minh tương tự ta được : ∠OEF = ∠FGC12Từ đó : ∠ OEH + ∠OEF =∠HGD + ∠FGC⇒ ∠ FEH =∠HGD + ∠FGCMặt khác: ∠HGD + ∠FGC+ ∠HGF = 1800⇒ ∠ FEH + ∠HGF = 1800 ( điều phải chứng minh)2.2. Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.a. Phương pháp:Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đườngtròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suyra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Haiđường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác địnhđường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùngnằm trên một đường tròn.b. Ví dụ 1: (Bài toán về đường tròn Euler)AChứng minh rằng, trongmột tam giác bất kì, ba trungđiểm của các cạnh, ba chân củacác đường cao, ba trung điểm củacác đoạn thẳng nối trực tâm vớiđỉnh đều ở trên một đường tròn.KMLFlEHONBPIDCChứng minh:Ta có: ME là đường trung bình của ∆AHCND là đường trung bình của ∆BHC⇒ ME = ND = HC/2⇒ tứ giác MNDE là hình bình hành (1)Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của ∆HAB)13Mà CH ⊥ AB (GT)⇒ ME ⊥ MN (2)Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNDE là hình chữ nhậtGọi O là trung điểm của MD ⇒ O cũng là trung điểm của NENên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)Vì ∠ MID = 900 ⇒ I ∈ (O; OM)Vì ∠ FLP = 900 ; ∠ NKE = 900 ⇒ L; K ∈ (O; OM)Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ∈ (O; OM)(Điều phải chứng minh)c.Bài tập:1. Cho hình bình hành ABCD có ∠ A nhọn. Đường tròn tâm A bán kínhAB cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đường tròn tâm C bán kính CB cắtđường thẳng AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:a. DE = DKb. năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chungngoài AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E ∈ (O); B,B’, D, F ∈ (O’)). Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD vàA’B’. H là giao điểm của MN là OO’. Chứng minh rằng:a. MN ⊥ OO’b. năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đường trònc. năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đường trònBài toán 2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.a. Phương pháp:Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định,Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứgiác ABCD nội tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.14EM (ABC) sau đó ta điCách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường trònchứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.Fb. Ví dụ 1:Cho đường tròn tâm O đườngkính AB, điểm C cố định trênđường kính ấy (C khác O).Điểm M chuyển động trênđường tròn. Đường vuông gócvới AB tại C cắt MA, MB theothứ tự ở E và F. Chứng minhrằng đường tròn ngoại tiếp tamgiác AEF luôn đi qua một điểmcố định khác A.1 2OK CABChứng minh:Gọi K là giao điểm của đường tròn đi qua ba điểm A, E, F với AB.Nối K với FTa có ∠ F1 = ∠ A ( cùng bằng nửa số đo cung KE)B∠ F2 = ∠ A ( cùng phụ với ∠ MBA)E⇒ ∠ F1 = ∠ F2O⇒ K đối xứng với BAqua CDDo B và C là hai điểm cố định nên suy ra K cố địnhVậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm K cố định.CVí dụ 2:FTừ một điểm A ởngoài đường tròn (O) ta vẽhai tiếp tuyến AB, AC vớiđường tròn. Lấy điểm Dnằm giữa B và C. Qua D vẽmột đường thẳng vuông gócvới OD cắt AB, AC lần lượttại E và F.15Khi điểm D di động trênBC, chứng minh rằng đườngtròn (AEF) luôn đi qua mộtđiểm cố định khác A.Chứng minh:Ta có :∠ EBO = 900 (AB là tiếp tuyến với (O) tại B)∠ EDO = 900 (GT)⇒ hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.⇒ ◊ EBOD nội tiếp đường tròn⇒ ∠ BEO = ∠ BDO (1) (cùng chắn cung OB)Chứng minh tương tự ta có : ◊ ODCF nội tiếp đường tròn⇒ ∠ OFC = ∠ BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đốidiện)Từ (1) và (2) ⇒ ∠ OFC = ∠ BEO⇒ ◊ AEOF nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằnggóc ngoài tại đỉnh đối diện)Vậy đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định.c. Bài tập:1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BCkhông chứa A. Vẽ (O1) đi qua I và tiếp xúc với AB tại B, vẽ (O2) đi qua Ivà tiếp xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn(O1) và (O2).a/ Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng.b/ Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA saocho BD = CE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luônđi qua một điểm cố định khác A.Bài toán3. Chứng minh quan hệ về đại lượng.Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lượng như:- Chứng minh các hệ thức hình học.16B- Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng bằng nhau,Ađoạn này gấp đôi đoạn kia….) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc làCkhông đổi....E O* Định lý Ptô - lê – mê.Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằngtổng các tích của hai cặp cạnh đối.DChứng minh:Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O)Ta phải chứng minh: AC. BD =AB. DC + AD. BCThật vậy.Lấy E ∈ BD sao cho ∠ BAC =∠ EAD⇒ ∆ DAE ∆ CAB (g. g)AD DE=⇒ AC BC⇒ AD. BC = AC. DE (1)Tương tự: ∆ BAE ∆ CAD (g. g)BE AB=⇒ CD AC⇒ BE. AC = CD. AB (2)Từ (1) và (2) ⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DB (ĐPCM)c. Bài tập1.Sử dụng Định lý Ptô - lê – mê để chứng minh ( Định lý Các – nô)Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếpmột tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính củađường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đó.172. Cho ∆ ABC nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đườngthẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại E.a.Chứng minh các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.b.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC , chứng minh:∠ BAE = ∠ OAC và BE = CD.c. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứngminh G là trọng tâm của ∆ ABC.Bài toán4.Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.a. Các bước giải bài toán quỹ tích:Bước1: Chứng minh phần thuậnChứng minh rằng những điểm M có các tính chất đã cho thuộc hình H+ Giới hạn quỹ tíchBước 2: chứng minh phần đảoChứng minh mỗi điểm của hình H đề có tính chất đã cho.Bước 3: Kết luậnb. Ví dụ 1 :Cho hình vuông ABCD, tâm O. Mộtđường thẳng xy quay quanh O cắthai cạnh AD và BC lần lượt tại M vàN. Trên CD lấy điểm K sao cho DK= DM. Gọi H là hình chiếu của Ktrên xy. Tìm quỹ tích điểm H.BANO2Hl12M1DKCChứng minh:Phần thuận:Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)Vì DK = DM (GT) nên CK = AM⇒ CK = CN18Lại có ◊ MHKD và ◊ NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông)⇒ ∠ M1 = ∠ H1 = 450 và ∠ N2 = ∠ H2 = 450⇒ ∠ DHC = 900Vậy H nằm trên đường tròn đường kính DCGiới hạn:Vì đường thẳng xy quay quanh O nhưng phải cắt hai cạnh AD và BC lầnlượt tại M và N nên điểm H chỉ nằm trên một nửa đường tròn đường kínhCD nằm trong hình vuông.Phần đảo:Lấy điểm H bất kì trên nửa đường tròn đường kính CD.Vẽ đường thẳng HO cắt AD và BC lần lượt tại M và N.Lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM.Ta phải chứng minh H là hình chiếu của K trên MN.Thật vậy,Vì ∠ DHC =900 ; ∠ DOC = 900 nên ◊ HOCD nội tiếp⇒ ∠ DHM = ∠ DCO = 450Mặt khác ∠ DKM = 450 nên ∠ DHM = ∠ DKM⇒ ◊ HKDM nội tiếp ⇒ ∠ KHM = 900⇒ KH ⊥ NM⇒ H là hình chiếu của K trên MN.Kết luận:Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đườngtròn này nằm trong hình vuông.Bài toán 5 . Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.a. Ví dụ:Cho tam giác ABC nhọn (AB IM = MB = AN (2)và IN = AM = NC (3)Từ (2) và (3) => ∠IMA = 2∠B1 (4)và ∠ANI = 2∠C1 (5) (góc ngoài của tam giác )Mặt khác ∠IMA = ∠ANI (6)vì ANMI là hình thang cân )Vậy từ (4), (5) và (6) ta có thể suy ra điều gì ?(suy ra ∠B1 = ∠C1(7)). Và từ (7) => (1) đpcm (cách 4)Vậy để giải toán ở ví dụ 5 ta đã dùng cách 4Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, G, Klà các tiết điểm của đường tròn (I) trên AB, AC. Gọi M, N là giao điểm của IB,IC với GK. Chứng minh BNMC là tứ giác nội tiếp.ABMKGNCI11Phân tích:C/m BNMC nội tiếp (1). Sử dụng cách 5:(1) ⇔ ∠BNC = ∠BMC = 90o (2)Ta thấy ∠BGI = 90o nên phải chứng minh :Tứ giác BNGI và tứ giác IKMC nội tiếp (3)⇔ ∠MIC = ∠MKC (4) với chú ýI là giao 3 phân giác trong tam giác ABC21Ta có ∠MIC = ∠B1 + ∠C1 =∠B + ∠C 180 − ∠A=22Mặt khác: ∠MKC = ∠AKG = ∠AGK =0180 0 − ∠A2(5)(6)Từ (5) và (6) suy ra (4) => (3) => ∠BMC = ∠BNC = ∠BGI = ∠IKC = 90o =>(2) =>(1) đpcmVí dụ 7: Cho tam giác ABC kẻ đường cao AH . Gọi I, K Là hình chiếuvuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp được .Phân tích:C/m Tứ giác BIKC nội tiếp (1) ta có thể dùng một trong hai cách sau đây :Cách 1: Theo giả thiết dễ thấy tứ giác AIHK nội tiếpNên ∠I1 = ∠H1nhưng ∠H1 = ∠C1 (cùng phụ với ∠H2)do đó ∠I1 = C1 ta có cách chứng minh thứ nhấtC/m (1) theo cách 2.b.ABCHIK111Cách 2: Chứng minh (1) ta có thể sử dụng cách 6 được không?22(1) ⇔ AI . AB = AK . AC (2)Để chứng minh (2) ta có thể sử dụng hệ thức lượng giác trong tam gíac vuôngAHC và AHB : AI . AB = AH2và AK . AC = AH2suy ra (2) được c/m => (1) được c/mTrong mỗi bài toán nêu trên còn có những cách giải khác nữa nhưng có thểnói vẫn là một trong 6 cách tôi đã nêu. Nhưng ở đây với mỗi bài tôi chỉ trình bàytừ một đến hai cách vì mục đích làm sáng tỏ việc phân tích theo định hướngthích hợp để chứng minh tứ giác nội tiếp .IV. HIỆU QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀITrong quá trình nghiên cứu, tổng hợp và viết hoàn thiện đề tài này tôi thuđược kết quả khá khả quan .Tự mình nhận biết nhanh được một tứ giác nội tiếp, để từ đó định hướngphương pháp hướng dẫn học sinh tìm lời giải. Giúp cho việc giải các bài toánhình học có sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp nhanh nhạy.Bổ xung thêm cho mình phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, cácđiểm cùng thuộc một đường tròn, để không bị bế tắc với các bài khó, bản thân tựtin hơn, tư duy thêm nhanh và sáng tạo hơn .Đặc biệt là giúp cho giáo viên thêm phương pháp hướng dẫn học sinhchứng minh hình học, giải toán và hướng dẫn học sinh đọc tài liệu tham khảovới các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp.V. GIẢI PHÁP MỚI VÀ SÁNG TẠO:Trong đề tài này giải pháp mới và sáng tạo là phân tích để tìm ra cáchchứng minh tứ giác nội tiếp theo trực giác hình vẽ của bài toán (định lý) hoặcđịnh hướng phương pháp theo giả sử các bước sau :Hướng thứ nhất: ( phân tích đi lên )Bước 1: Giả sử để chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn ta chọnphương pháp A nào đó ( phương pháp A là cách 1, cách 2 …, cách 6 ) thế thì taphải chứng minh điều gì ? ( điều gì ở đây là một trong các hệ thức ở 6 cách ).Bước 2: Sau đó dựa vào giả thiết, kiến thức đã học để chứng minh.Bước 3: Trình bày lại lời giải bài toán theo hướng phân tích trên.23Hướng thứ hai: (Tổng hợp )Bước 1: Phân tích giả thiết, nhận biết nhanh các tứ giác nội tiếp ( bằng mộttrong 6 cách ).Bước 2: Dùng tính chất của tứ giác nội tiếp, các kiến thức toán học để cómột trong sáu hệ thức của 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp.Bước 3: Tổng hợp, phân tích, kiểm tra lại để tránh sai lầm và cuối cùngtrình bày lời giải.Cái sáng tạo ở đây là sự hệ thống, liên kết chặt chẽ giữa các phương phápđể có thể nhận biết một cách nhanh nhất tứ giác nội tiếp một đường tròn. Tự tinhơn trong học toán .B. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TẾ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY.- Về tâm lý HS khi học không thụ động là cứ phải tìm tổng hai góc đối diệncủa một tứ giác bằng 180o mới nội tiếp . Phát huy được tính độc lập, nhanh nhẹnsáng tạo tìm lời giải bởi hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đãđược hình thành và dễ ghi nhớ, tạo điều kiện tìm các cách giải khác nhau chomột bài toán hình học.- Ngoài kết quả là học sinh biết cách chứng minh tứ giác nội tiếp và nhậnbiết nhanh tứ giác nội tiếp thì ta có thể dùng tính chất của nó để ứng dụng chứngminh hình học có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp:Ứng dụng 1:Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh các góc bằngnhau , các đẳng thức tích các đoạn thẳng , bất đẳng thức về diện tích các hình,…Ví dụ : Từ kết quả của 3 ví dụ ta có thể dùng tứ giác HCNK nội tiếp để giảibài toán tiếp theo :Giữ nguyên giả thiết và bổ xung thêm M là giao điểm của IK với AB.Kết luận chứng minh SAMN ≤ SABC (với SAMN, SABC thứ tự là ký hiệu diện1tích tam giác AMN và tam giác ABC ).2Ta có thể phân tích giải tiếp như sau (hình vẽ ở ví dụ 3)Tứ giác HCNK nội tiếp => ∠ANM = ∠KHC = 45o => ∆AMN là tam giácvuông cân tại A => AM = AN (1)24Lại chứng minh được ∆AKN = ∆AKH (g.c.g) => AN = AH (2)Từ (1) và (2) => AM = AN =AHDo đó SAMN =12AM . AN =12AH2 còn SABC =12AB . ACXét ∆ABC vuông tại A có :111AB 2 + AC 2 2. AB. AC21=+=≥==2222222AHABACAB . ACAB . ACAB. AC S ABCHay:11≥2.S AMN S ABC⇔ SAMN ≤12SABC ( đpcm)Ứng dụng 2:Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đường thẳng song song, cặp đườngthẳng vuông góc:Ví dụ: (lấy ví dụ 2)Giữ nguyên giả thiết, kết luận chứng minh PQ//ACThật vậy ( hình vẽ ở ví dụ 2) Tứ giác AQBP nội tiếp => ∠ACB = ∠PAB( cùng chắn cung AB ) mà ∠PAB = ∠PQB (cùng chắn cung BP của đường trònngoại tiếp tứ giác AQBP ) => ∠ACB = ∠PQB => PQ //AC (đồng vị )Ứng dụng 3:Dùng các cách chứng minh tứ giác nội tiếp để chứng minh nhiều A 1, A2, A3, …An cùng thuộc một đường tròn :Bước 1: Chọn ra bốn điểm, ví dụ A1, A2, A3, A4 tạo thành một tứ gíac nộitiếp (sử dụng một trong 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp ).Bước 2: Lại chọn ra bốn điểm khác nhau : A1, A2, A3, A5 chẳng hạn tạothành một tứ giác nội tiếp.Cứ tiếp tục chứng minh như trên, cuối cùng nhận xét các đường tròn ngoạitiếp các tứ giác trên đều chung nhau 3 điểm A 1, A2, A3. Do đó các đường tròn đóphải trùng nhau => A1, A2, A3,…,An cùng thuộc một đường tròn.BKA25

Tài liệu liên quan

• Chuyên đề: Một số phương pháp chứng minh đa giác nội tiếp
  • 5
  • 2
  • 25
• Bài giảng Phuong phap chung minh tu giac noi tiep
  • 13
  • 3
  • 27
• Tài liệu Mot so phuong phap chung minh bat dang thuc
  • 6
  • 808
  • 6
• skkn- một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn đồng thời sử dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh một số bài toán hay và khó
  • 20
  • 8
  • 32
• phuong phap chung minh tu giac noi tiep
  • 2
  • 1
  • 10
• Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức SKKN toán 10
  • 34
  • 3
  • 2
• skkn một số biện pháp rèn kỹ năng giải các dạng toán về phép đo đại lượng trong chương trình toán lớp 5
  • 18
  • 989
  • 0
• SKKN: Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng
  • 30
  • 885
  • 3
• Một số phương pháp chứng minh tính đúng của thuật toán và ứng dụng
  • 68
  • 1
  • 1
• MỘT số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG của THUẬT TOÁN và ỨNG DỤNG (tóm tắt)
  • 27
  • 409
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(234.02 KB - 35 trang) - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Tải bản đầy đủ ngay ×