Phương Pháp Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp đường Tròn

Số lượt đọc bài viết: 15.913

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất tứ giác nội tiếp? Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn như nào? Các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp? Trong phạm vi bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu cụ thể về chủ đề này nhé!

MỤC LỤC

• Lý thuyết tứ giác nội tiếp đường tròn
  • Định nghĩa tứ giác nội tiếp đường tròn
  • Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn
• Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
  • Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
  • Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180^{\circ}
  • Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh của tứ giác, cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau
  • Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn
  • Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó
  • Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
• Các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp
  • Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
  • Ví dụ 2: Chứng minh bốn điểm E, F,O, D cùng nằm trên một đường tròn

Lý thuyết tứ giác nội tiếp đường tròn

Định nghĩa tứ giác nội tiếp đường tròn

Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn

• Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì tứ giác đó nội tiếp trong một đường tròn.
• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc\(\alpha\) thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

Định lý

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng \(180^{\circ}\)

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O):

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{A}+\widehat{B} &= &180^{\circ} \\ \widehat{B}+\widehat{D} & =& 180^{\circ} \end{matrix}\right.\)

Định lý đảo

Từ đinh lý tứ giác nội tiếp trên, ta suy ra được định lý đảo như sau: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180^{\circ} thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó

Nếu cho một đường tròn tâm O, bán kính R thì bất kỳ điểm nào nằm trên đường tròn(O) cũng cách đều tâm O một khoảng bằng R. Từ đó có thể suy ra một cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

Cụ thể: Cho một điểm I cố định và tứ giác ABCD. Nếu chứng minh được 4 điểm A, B, C, D cách đều điểm I, tức là \(IA=IB=IC=ID\), thì I chính là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A,B, C, D. Hay tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA.

Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180^{\circ}

Cho tứ giác ABCD, dựa vào dấu hiệu nhận biết thứ hai, nếu chứng minh được \widehat{A}+\widehat{B} &= &180^{\circ} hoặc \widehat{C}+\widehat{D} &= &180^{\circ}, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh của tứ giác, cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được rằng từ hai đỉnh A và B cùng kề một cạnh AB của tứ giác, có \(\widehat{DAC}=\widehat{DBC}\) và cùng nhìn cạnh DC thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn

Ví dụ: Cho tam giác ABCD. Nếu chứng minh được\(\widehat{A}+\widehat{C}=\widehat{B}+\widehat{D}\)  thì tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn.

Đây có thể nói là một trường hợp đặc biệt của trường hợp 2.

Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong tại đỉnh C (tức là góc C của tứ giác đó) thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Có thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt sau: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.

Các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

Chứng minh rằng:

1. Tứ giác BECF là tứ giác nội tiếp
2. HA.HD = HB.HE = HC.HF

Cách giải

a) Ta có: \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^{\circ}\)

Suy ra các điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BECF nội tiếp.

b) Vẽ đường tròn đường kính BC. Xét tam giác BHF và CHE có:

\(\widehat{EBF}=\widehat{ECF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn)

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\bigtriangleup BHF \sim \bigtriangleup CHE\) (g.g)

\(\frac{BC}{CH}=\frac{HF}{HE}\) hay \(HB.HE=HC.HF (1)\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(HA.HD=HB.HE (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF

Ví dụ 2: Chứng minh bốn điểm E, F,O, D cùng nằm trên một đường tròn

Cách giải

Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC(AB=AC)\) nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AG, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp.

b) AF.AC = AH.AG

Cách giải

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại \(A(AB<AC)\) nội tiếp đường tròn tâm I, bán kính r. Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh:

a) Tứ giác APIH nội tiếp được trong đường tròn tâm K. Xác định tâm K của đường tròn này.

b) Hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc nhau.

Cách giải:

a) Dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh APIH nội tiếp được trong một đường tròn:

• Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Do P nhìn đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính AI.
• Chứng minh tương tự đối với điểm H. Từ đó xác định được tâm K ( là trung điểm đoạn AI ).
• Cần nắm vững kết luận: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB (SGK lớp 9/ tập 2 trang 85).

b) Nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc nhau:

• Hai đường tròn cùng đi qua 1 điểm duy nhất thì chúng tiếp xúc với nhau; hoặc tiếp xúc  trong, hoặc tiếp xúc ngoài.
• Tiếp xúc ngoài nếu khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính. \(OO’=R+r\)
• Tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính: \(OO’=R-r>0\)

Tính IK để kết luận 2 đường tròn (I) và ( K ) tiếp xúc trong tại A.

Trên đây là những kiến thức về chủ đề cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cũng như các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp. Hy vọng bạn sẽ tìm thấy những kiến thức hữu ích. Chúc bạn luôn học tốt!.

2.3/5 - (7 bình chọn) Please follow and like us: