Một Số Phương Pháp Tính Giới Hạn Dãy Số - Toán 11

1. Trang chủ
2. Lý thuyết toán học
3. Toán 11
4. CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN
5. Một số phương pháp tính giới hạn dãy số

Một số phương pháp tính giới hạn dãy số Trang trước Mục Lục Trang sau

Dưới đây ta sẽ trình bày một số phương pháp tìm giới hạn các dãy số thường gặp:

Dạng 1: Tính giới hạn dãy đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của \(n\) ra làm nhân tử chung.

- Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân các giới hạn để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \left( {{n^3} - {n^2} + n - 1} \right)\).

Ta có: \(\lim \left( {{n^3} - {n^2} + n - 1} \right) = \lim {n^3}\left( {1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) = + \infty \)

Dạng 1: Tính giới hạn dãy số hữu tỉ

Phương pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

- Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).

Ta có: \(\lim \dfrac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{2 - \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{2}{1} = 2\)

Dạng 2: Giới hạn của dãy số chứa căn thức

Phương pháp:

- Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không.

+) Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1.

+) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:

- Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\).

Ta có:

$\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)=$ $ \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}} $ $= \lim \dfrac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}}$ $= \lim \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}}$ $= \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1}} = \dfrac{2}{{1 + 1}} = 1$

Dạng 3: Dãy số chứa lũy thừa, mũ.

Phương pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất.

- Bước 2: Sử dụng nhận xét \(\lim {q^n} = 1\) với \(\left| q \right| < 1\).

Ví dụ: \(\lim \dfrac{{{2^n} + {5^n}}}{{{{2.3}^n} + {{3.5}^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 1}}{{2.{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 3.1}} = \dfrac{{0 + 1}}{{2.0 + 3}} = \dfrac{1}{3}\)

Dạng 4: Tính giới hạn bằng chứng minh hoặc dùng định nghĩa.

Phương pháp:

Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right),\left( {{w_n}} \right)\).

Nếu \({u_n} < {v_n} < {w_n},\forall n\) và \(\lim {u_n} = \lim {w_n} = L \Rightarrow \lim {v_n} = L\).

Ví dụ: Tính \(\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n}\).

Ta có: \( - 1 \le \sin 3n \le 1 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{n} \le \dfrac{{\sin 3n}}{n} \le \dfrac{1}{n}\)

Mà \(\lim \left( { - \dfrac{1}{n}} \right) = 0;\lim \left( {\dfrac{1}{n}} \right) = 0\) nên \(\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n} = 0\).

Trang trước Mục Lục Trang sau

Có thể bạn quan tâm:

• Lý thuyết Toán 12
• Ôn tập chương III
• Hàm số mũ
• Hàm số logarit
• Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập

Tài liệu

Toán học và tuổi trẻ số 479 ra tháng 5 năm 2017

Toán 12 - Một số phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm bằng máy tính bỏ túi - Nguyễn Vũ Thụ Nhân

Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 488 tháng 2 năm 2018

Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 493 - tháng 7 2018

Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 492 - 06/2018