Một Số Phương Pháp Tính Lũy Thừa Của Ma Trận Vuông - 123doc

Được sự gợi ý của GVHD em đã chọn đề tài “ Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông”.. Nội dung nghiên cứu Luận văn gồm hai chương:  Chương 1: Một số phương pháp tính lũy th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện

MSSV: 1110007 Lớp: SP Toán K37

Cần Thơ, 2015

LỜI CẢM ƠN

Trong cuộc sống không có sự thành công nào mà không dựa trên sự nỗ lực, quyết tâm của cá nhân cùng với sự giúp đỡ hỗ trợ của mọi người Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi đến quý Thầy Cô Bộ môn Toán nói riêng, Khoa Sư phạm nói chung lời cảm ơn chân thành vì đã tạo điều kiện để em được học tập, nghiên cứu, mở rộng kiến thức cũng như tạo cơ hội để em có thể thực hiện và hoàn thành luận này

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hoàng Xinh đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện và hoàn thành luận văn

Mặc dù đã cố gắng hết sức mình để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Song cũng không thể tránh khỏi thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu

từ quý Thầy cô và bạn đọc để luận văn của em hoàn thiện hơn

Cuối lời, em xin kính chúc quý Thầy Cô dồi dào sức khỏe, thành công trong công tác giảng dạy và cuộc sống

Cần Thơ, ngày 20 tháng 04 năm 2015

Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Mỹ Cầm

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông……….5

1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp

tính trực tiếp…… 5 1.2 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp

quy nạp toán học……….10 1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp

sử dụng nhị thức Newton………20 1.4 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp

chéo hóa ma trận……….27 1.5 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp

đưa về dạng chuẩn Jordan……… 35 1.6 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số tuyến tính là môn học quan trọng đối với sinh viên ngành Toán cũng như sinh viên ngành Kỹ thuật khác, là học phần tạo cho em nhiều hứng thú khi học Đại số tuyến tính gồm nhiều vấn đề nhưng em đặc biệt quan tâm các vấn đề liên quan đến

ma trận Được sự gợi ý của GVHD em đã chọn đề tài “ Một số phương pháp tính lũy

thừa của ma trận vuông”

2 Mục đích nghiên cứu

 Thực hiện đề tài này em hướng đến mục đích nghiên cứu là rèn luyện kỹ

năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề toán học

 Việc nghiên cứu này cũng giúp em có nhiều kiến thức chuẩn bị cho các kỳ

thi sau này

3 Phương pháp nghiên cứu

 Thu thập tài liệu từ giáo trình, sách, vở, các trang web

 Phân tích, tổng hợp và sắp xếp lại một cách thích hợp

 Trao đổi với GVHD

4 Nội dung nghiên cứu

Luận văn gồm hai chương:

 Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông

Trong chương này gồm 6 phương pháp tính: tính trực tiếp, sử dụng công thức Newton, quy nạp, chéo hóa ma trận, đưa về dạng chuẩn tắc Jordan, sử dụng định lý

Cayley – Hamilton

 Chương 2: Bài tập và lời giải

PHẦN NỘI DUNG Chương 1

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA

  

  với a b c, , i) Chứng minh rằng A2014 0thì A2 0

ii) Tìm ma trận A để  n :A n I2

Giải

i) Ta có

2014 2014

Từ  4 ta có c = a+d thay vào phương trình trên ta được:

a A

Bước 1: Tính các lũy thừa 2 3 4

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả

Giả sử n = 100, theo cách giải trên thì:

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả

Giả sử n = 1993, theo cách giải trên thì: 1993

 Với n cụ thể ta có thể sử dụng Maple để kiểm tra kết quả

Giả sử n2014, n2015 theo cách giải trên thì:

cos cos sin sin cos sin sin cos

sin cos cos sin cos cos sin sin

  với mọi n nguyên dương

Khi đó, 2014 cos 2014 sin 2014

n k



  

aI a

Theo cách giải trên thì Tr A 3

Bây giờ ta sử dụng Maple để giải

Cho ma trận AM n( ) Để chéo hóa ma trận A (nếu có thể) ta có thuật toán

chéo hóa như sau:

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng AI n 0 và giải phương trình để tìm các giá trị riêng

+ Nếu A không có giá trị riêng nào thì A không chéo hóa được

+ Giải sử A có r giá trị riêng đôi một phân biệt  1, 2, ,r tương ứng với số bội là n n1, 2, ,n Chuyển sang bước 2 r

Bước 2: Nếu n1  n2 n r n thì A không chéo hóa được, còn nếu

n   n n n thì ta chuyển sang bước 3

Bước 3: Với mỗi giá trị riêng i ta tính được r A( I n)r i (lúc đó dim ( )E i  n r i với mọi i1, 2, ,r)

+ Nếu tồn tại ít nhất i mà dim ( )E i n i thì A không chéo hóa được

+ Nếu dim ( )E i n i với mọi i1, 2, ,r thì A chéo hóa được

Với mọi i, tìm một cơ sở của không gian con riêng E( )i , với i1, 2, ,r Sau

đó lập ma trận T mà các cột lần lượt là các vectơ cơ sở của không gian con riêng

Giả sử AM n( ) và A chéo hóa được

Bước 1: Chéo hóa ma trận A Khi đó, 1

Hệ vectơ riêng {y1(1,0,3),y2   ( 3, 2,1),y3  ( 3,5,1)} độc lập tuyến tính

b) Ví dụ 2:

Cho ma trận

1

1 12

1

31

n n A

2.3 1 2.3 2 3.3 32.3 2 2.3 1 3.3 32.3 2 2.3 2 3.3 4

Vậy u n 3 ,n v n 3 ,n w n  3n với mọi số tự nhiên n

ii) Ta có: u n 3n u n chia hết cho 3n với mọi số tự nhiên n

i i

trong đóp1, ,p r 1và g1, ,g là những đa thức bất khả quy khác nhau Khi đó, f r

có ma trận biểu diễn là ma trận Jordan Hơn nữa, mọi ma trận vuông A đều có dạng chuẩn tắc Jordan và dạng chuẩn tắc Jordan xác định duy nhất, nếu không kể thứ tự các khối Jordan Cụ thể nếu kí hiệu S là số các khối Jordan của đa thức ik

1.5.3 Thuật toán tìm dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận vuông A

Bước 1: Tính đa thức đặc trưng và phân tích ra các nhân tử bất khả qui

khối Đó chính là dạng chuẩn tắc Jordan cần tìm

 Trong một số trường hợp, không cần thực hiện bước 3 mà chỉ cần dựa vào

hai chú ý sau là ta có thể tìm được số các khối Jordan

i) Với mỗi i = 1, 2,…,r có ít nhất một khối Jordan liên kết với p i

V là không gian vec tơ hữu hạn chiều trên trường

Giả sử AM n( ), f End V( ),S' là cơ sở chính tắc của V và  f S'  A

Bước 1: Tìm ma trận J là dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận A

Bước 2: Tìm cơ sở S của V sao cho  f S  J

Bước 3: Gọi P là ma trận chuyển từ cơ sở ' S sang S Suy ra các cột trong

ma trận P là các vectơ trong cơ sở S

Giả sử S là cơ sở chính tắc của ' 3, f End( 3) và  f S'  A

Khi đó, dạng chuẩn tắc Jordan của A là:

Gọi P là ma trận chuyển từ cơ sở ' S sang cơ sở S

g   S  rank A I  rank A I rank A I 

Khi đó dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận A là:

1,5, 251,3,90,1, 6

u u u

5 0 0: 0 3 1

Thay  * , ** vào  1 ta được:

11

n n n n

11

n n n

Bước 1: Lập đa thức đặc trưng của A và tìm các giá trị riêng của A Giả sử A

có i giá trị riêng tương ứng với bội i,i1,r

Bước 2: Lấy f  chia cho P A  giả sử được thương Q  dư R 

Khi đó:

A A

Khi đó, f x P x Q x A   R x 

Đa thức đặc trưng của A:   2   2  

Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp công thức trên

Theo giả thiết   1

Chương 2

BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI

Bài 1 Giải các phương trình sau với XM2 

Hệ phương trình  2.1 vô nghiệm

Ta thấy: a2cb ad d23a3d 0 thì hệ phương trình vô nghiệm Nên ta có các trường hợp sau:

a b

a b

a b

Theo định lý Cayley – Hamilton ta có:

Thì ma trận X có một giá trị riêng là 3 Ta sẽ tìm giá trị riêng còn lại

Cộng hai vế phương trình  2.3 với 4I ta có:

Vậy tồn tại ma trận A thỏa yêu cầu đề bài

Bài 7 Tìm ma trận vuông thực A biết:

Theo giả thiết:

0 3

a a d

b a d A

2

00

A  I A  Trường hợp 1: det A  1

+ a d hệ phương trình  2.6 vô nghiệm

Thử lại các ma trận ở các trường hợp đều thỏa yêu cầu đề bài

  giao hoán với mọi ma trận vuông cấp 2 C

Bài 9 Trong M2 3 cho ma trận

a a A

i D

f  

Lấy f   chia cho P A  giả sử được thương Q  dư R 

k k

j

pj n

x n A

x n

11

cos sin1

sin cos

x n

2 2

cos sin1

n

n

x n

sinx cos 1

n n

Bài 18 Cho ma trận

19991998

02000

x A

3

0

b a c a

n

b a c a

k

b a c a

1

0

k k

1998 2000lim lim1999

32

13

Suy ra:  

 

22 32

13

Bài 21 Cho ma trận AM n , A2 0, đặt B I n A

a) Tính B theo k I A n,

Vậy không tồn tại ma trận thỏa yêu cầu đề bài

Bài 29 Cho ba dãy     x n , y n , z xác định như sau: n

Suy ra B2011 AB2010  A B2 2009   A2011B0

Ma trận A có các giá tri riêng 1 1,2  1,3 2 ứng với các véc tơ riêng

3 3

2 2

1 1.2

2 4.2

3 32011: 2 2

1 1.2

Theo giả thiết ta có: X n1  AX n,  n *

, hãy tìm một ma trận B có giá trị riêng không

âm sao cho 4

Bài 36 Cho A là ma trận vuông cấp 2

a) Nếu A có hai giá trị riêng phân biệt a và b Chứng minh rằng:

Trường hợp 1: c0

2 2

011

1

a b

n n

n

u X

u X

01

u X

B  

  

 Theo giả thiết ta có: X n1 AX nB

Đa thức đặc trưng của A: P A    13

Suy ra A có hai giá trị riêng  1,3

Theo bài.36a ta tính được: 1 1 1 3 1 1

n n

2011 2011 2011

n n

Vậy u2011v2011 1 chia hết cho 2011

Bài 40 Cho ma trận AM2014  thỏa A2015 0 Chứng minh rằng: A2014 0

Mặt khác g là ước của đa thức đặc trưng của A

Do đó, g là ước chung của f và đa thức đặc trưng

Suy ra đa thức cực tiểu của A có dạng: k

Suy ra A có hai giá trị riêng  0 (bội 2), 1

Lấy f  chia cho P A  giả sử được thương Q  , dưR 

Theo giả thiết ta có: 2 4 2 2

> “Suy ra B kha nghich”

“Suy ra B kha nghich”

> map(ifactor,evalm( 2014 1

(B ) ));

Gọi ,  là giá trị riêng của A

Suy ra đa thức đặc trưng của A: P A          

Lấy f  chia cho P A  giả sử được thương Q  dư R 

Gọi P x là đa thức đặc trưng của A A 

Theo định lý Cayley – Hamilton thìP A A 0

Lấy f x chia cho   P x giả sử được thương A  Q x dư   R x  

+ Trường hợp 1: , ,   phân biệt

22

f x x thì A n aA2bA cI 3 với a b c cách xác định như trên , ,

Bài 47 Cho A B là các ma trận vuông thực cấp 2 thỏa , A0,B0,ABBA,

f End sao cho  f S'  A

Đa thức đặc trưng của A    4

1 rank A I  rank A I rank A I 

Vì A là ma trận vuông cấp 4 và số khối Jordan là 2 nên cấp của khối Jordan là 2

Dạng chuẩn tắc Jordan của A là:

Suy ra

1

34

b) Giả sử S là cơ sở chính tắc của ' 4

,  4

f End sao cho  f S'  A

Đa thức đặc trưng của A     2 2

1 rank AI  rank AI rank AI 

Số khối Jordan liên kết với đa thức  2

1 rank AI  rank AI rank AI 

Vì A là ma trận vuông cấp 4 và số khối Jordan là 2 nên cấp của khối Jordan là 2

Dạng chuẩn tắc Jordan của A là:

12

PHẦN KẾT LUẬN

Luận văn đã nêu được:

 Các phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông và bài tập liên quan đến

lũy thừa của ma trận vuông

 Cách tính lũy thừa ma trận, chéo hóa ma trận, tìm dạng chuẩn tắc Jordan của

ma trận bằng phần mền Maple Ngoài ra, một số bài toán trong đại số tuyến tính có thể quy về giải trong số phức và ngược lại Đây là hai điều mà em

tâm đắc nhất trong luận văn

Bên cạnh những điều đã đạt được luận văn vẫn còn một số hạn chế: tính lũy thừa của

ma trận cấp cao, trong phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp đưa về dạng chuẩn tắc Jordan luận văn chưa nêu được cách giải trên trường số

phức

Qua luận văn này em học hỏi được nhiều kinh nghiệm và kiến thức mới về Đại số tuyến tính đây cũng là nền tảng cho quá trình học sau này của em Nếu điều kiện cho phép em sẽ nghiên cứu sâu về ma trận vuông nhằm cung cấp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên đặc biệt là những bạn thi Olympic Toán học sinh viên Tuy đã cố gắng rất nhiều và được sự chỉ bảo tận tình của GVHD nhưng do hạn chế về mặt kiến thức, thời gian nên luận văn còn nhiều thiếu sót mong nhận được những ý kiến quý báu từ

quý thầy cô và bạn đọc

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Thanh Bình – Nguyễn Hoàng Xinh (2006), Giáo trình Đại số

tuyến tính, Đại học Cần thơ

[2] Trần Lưu Cường (2000), Toán Olympic cho sinh viên tập II, Nhà xuất bản

giáo dục

[3] Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, Nhà xuất bản Đại

học quốc gia Hà Nội, Hà Nội

[4] Hội toán học Việt Nam (2012), Các đề dự tuyển và đáp án Olympic toán học sinh viên lần thứ XX – 2012, Hà Nội

[5] Hội toán học Việt Nam (2013), Kỷ yếu kỳ thi Olympic toán sinh viên lần thứ XXI,

Đại học Duy Tân, Đà Nẵng

[6] Hoàng Việt Long (2013), Chuyên đề một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông, Đại học giao thông vận tải

[7] Nguyễn Văn Mậu (2006), Các đề thi Olympic toán sinh viên toàn quốc, Nhà xuất

bản giáo dục, Hà Nội

[8] Ngô Việt Trung (2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học quốc

gia Hà Nội, Hà Nội

[9] Nguyễn Hoàng Xinh (2005), Tài liệu bồi dưỡng Toán Olympic sinh viên phần Đại

số, Đại học Cần thơ, Cần Thơ

[10] Nguyễn Hoàng Xinh (2005), Bài giảng Maple, Đại học Cần Thơ, Cần Thơ [11] Jean – Marie Monier (2006), Giáo trình toán – tập 6 Đại số 2, Nhà xuất bản

giáo dục