Một Vài Bài Toán Về Số Nguyên Tố

Trang chủ » định Lý Goldbach » Một Vài Bài Toán Về Số Nguyên Tố

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Một vài bài toán về số nguyên tố

Kỳ trước, chúng ta đã học về số nguyên tố, và Định lý Euclid cho chúng ta biết rằng tồn tại vô hạn các số nguyên tố. Kỳ này, chúng ta tiếp tục xem xét về số nguyên tố. Các nhà toán học nổi tiếng như Fermat, Euler, Gauss rất thích thú tìm hiểu về các số nguyên tố. Có nhiều bài toán về số nguyên tố, phát biểu thì rất đơn giản, nhưng đến nay vẫn chưa ai tìm ra được lời giải. Giả thuyết Goldbach Đây có lẽ là bài toán nổi tiếng nhất về số nguyên tố. Giả thuyết Goldbach dự đoán rằng mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết được thành tổng của hai số nguyên tố. Ví dụ như
  • $4 = 2 + 2$
  • $6 = 3 + 3$
  • $8 = 3 + 5$
  • $10 = 3 + 7 = 5 + 5$
  • $12 = 5 + 7$
  • $14 = 3 + 11 = 7 + 7$
  • ...
Nhà toán học Goldbach đã nêu lên giả thuyết này trong một lá thơ gởi cho nhà toán học Euler vào năm 1742. Hiện tại với công cụ máy vi tính hiện đại, các nhà toán học đã kiểm tra thấy giả thuyết Goldbach đúng đến số hàng tỉ tỉ, tuy nhiên lời giải tổng quát cho mọi số chẵn thì đến nay vẫn chưa ai chứng minh được. Có một số tổ chức đã đưa ra giải thưởng lên đến cả triệu đô la cho người nào giải được bài toán này, nhưng chưa có ai là người may mắn thắng được những giải thưởng này.
Bài toán chưa có lời giải. Có đúng hay không rằng mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết được thành tổng của hai số nguyên tố.
Định lý Chebyshev Định lý Chebyshev là một kết quả rất đẹp, đó là với mọi $n > 1$, luôn tồn tại một số nguyên tố nằm giữa hai số $n$ và $2n$. Ví dụ như,
  • ở giữa 2 và 4 có số nguyên tố 3,
  • ở giữa 3 và 6 có số nguyên tố 5,
  • ở giữa 4 và 8 có số nguyên tố 5 và 7, v.v...
Định lý Chebyshev. Với mọi số tự nhiên $n > 1$, luôn tồn tại một số nguyên tố $p$ thoã mãn $n < p < 2n$.
Bertrand phát biểu định lý này vào năm 1845 nhưng ông không chứng minh được, sau đó định lý này được Chebyshev chứng minh vào năm 1850, vì thế định lý này còn được gọi là định đề Bertrand. Nhà toán học Erdos, vào năm ông 19 tuổi, đã chứng minh được định lý này bằng một phương pháp sơ cấp. Chúng ta sẽ đọc cách chứng minh sơ cấp của Erdos vào một kỳ sau. Định lý Chebyshev cho ta hệ quả sau. Giả sử như $p_i$ là số nguyên tố thứ $i$. Theo định lý Chebyshev thì sẽ tồn tại số nguyên tố $p$ thoã mãn $p_i < p < 2 p_i$. Như vậy thì $p_i < p_{i+1} < 2p_i$, và chúng ta có
Định lý. Nếu $p_i$ và $p_{i+1}$ là hai số nguyên tố liên tiếp nhau thì $$\frac{p_{i+1}}{p_i} < 2.$$
Chúng ta thấy rằng với mọi cặp số nguyên tố đứng cạnh nhau $(p_i, p_{i+1})$ thì tỉ lệ $\frac{p_{i+1}}{p_i}$ bị chặn trên bởi $2$. Câu hỏi tương tự được đặt ra là liệu $p_{i+1} - p_i$ có bị chặn trên hay không. Hay nói cách khác, có tồn tại hay không một hằng số $c$ để cho mọi cặp số nguyên tố đứng cạnh nhau $(p_i, p_{i+1})$ thì chúng ta có $p_{i+1} - p_i < c$? Câu trả lời là không tồn tại. Chúng ta sẽ chứng minh rằng $p_{i+1} - p_i$ có thể lớn đến vô cùng. Để chứng minh, trước hết xin giới thiệu với các bạn một ký hiệu $n!$, đọc là $n$ giai thừa, công thức của nó là như sau $$n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n.$$ Rõ ràng rằng số $100! + 2$ chia hết cho 2, số $100! + 3$ chia hết cho 3, số $100! + 4$ chia hết cho 4, v.v... Tóm lại, tất cả các số từ $100! + 2$ cho đến $100! + 100$ đều là hợp số. Vậy nếu $p_i$ là số nguyên tố đứng ngay đàng trước số $100! + 2$, thì số nguyên tố tiếp theo $p_{i+1}$ phải ở đàng sau số $100! + 100$. Tức là chúng ta có $$p_i < 100! + 2 < \dots < 100! + 100 < p_{i+1}.$$ Do đó chúng ta đã tìm ra hai số nguyên tố đứng cạnh nhau mà $p_{i+1} - p_i \geq 100$. Rõ ràng chúng ta có thể thay con số $100$ bằng con số 1 tỉ, hay bất kỳ một con số nào khác, thì chúng ta cũng chứng minh được điều tương tự. Có nghĩa là $p_{i+1} - p_i$ có thể lớn đến vô cùng. Cặp số nguyên tố sinh đôi Nếu viết các số nguyên tố ra thành một dãy số $$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$$ chúng ta sẽ thấy có khá nhiều các cặp số nguyên tố đứng cạnh nhau là hai số lẻ liên tiếp, ví dụ như 3 và 5, 5 và 7, 11 và 13, 17 và 19. Các cặp số này gọi là các cặp số nguyên tố sinh đôi. Đến nay các nhà toán học vẫn không biết có vô hạn hay hữu hạn các cặp số nguyên tố sinh đôi.
Bài toán chưa có lời giải. Tồn tại vô hạn hay không các cặp số nguyên tố $(p_i, p_{i+1})$ sao cho $p_{i+1} - p_i = 2$.
Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ sau chúng ta sẽ tiếp tục câu chuyện về số nguyên tố. Bài tập về nhà. 1. Với mọi $n > 0$ chứng minh rằng nếu $2^n + 1$ là số nguyên tố thì $n$ phải có dạng $n = 2^m$. Tức là nếu $2^n + 1$ là số nguyên tố thì nó phải có dạng $2^{2^m} + 1$. 2. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức $P(x)$ sao cho $P(1) = 2$, $P(2) = 3$, $P(3) = 5$, $P(4) = 7$, $P(5) = 11$,..., $P(100)=$ số nguyên tố thứ $100$. Labels: Bertrand postulate, Chebyshev theorem, Goldbach conjecture, number theory, prime number, số học, số nguyên tố, twin prime Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2012 (36)
    • ▼  tháng 8 (5)
      • Bộ số Pitago
      • Định lý Wilson
      • Một vài bài toán về số nguyên tố
      • Định lý Euclid về số nguyên tố
      • Số nguyên tố

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » định Lý Goldbach