Nguyên Hàm Lnx - Tính Nguyên Hàm

Trang chủ » Nguyên Hàm Ln X Dx » Nguyên Hàm Lnx - Tính Nguyên Hàm

Có thể bạn quan tâm

Nguyên hàm ln

  • Cách tính nguyên hàm y = lnx
  • Bài tập nguyên hàm

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, GiaiToan.com xin mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo tài liệu Công thức Toán 12: Nguyên hàm lnx.Bộ tài liệu có hướng dẫn chi tiết cách tìm nguyên hàm được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Cách tính nguyên hàm y = lnx

Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x} \\ {dv = dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \dfrac{1}{x}dx} \\ {v = x} \end{array}} \right.

Ta có: \int {\ln xdx = x\ln x - \int {dx = x\ln x - x + C} }

Bài tập nguyên hàm

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số A = \int {x\ln xdx}

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x} \\ {xdx = dv} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \dfrac{1}{x}dx} \\ {v = \dfrac{{{x^2}}}{2}} \end{array}} \right.

Khi đó nguyên hàm được tính như sau:

A = \int {x\ln xdx} = \frac{{{x^2}}}{1}\ln x - \int {\frac{{{x^2}}}{2}.\frac{{dx}}{x} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x} - \frac{{{x^2}}}{4} + C

Cách 2:

\begin{matrix} A = \int {x\ln xdx} \hfill \\ = \int {\ln xd\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} = \dfrac{{{x^2}}}{1}\ln x - \int {\dfrac{{{x^2}}}{2}.d\left( {\ln x} \right)} \hfill \\ = \dfrac{{{x^2}}}{1}\ln x - \int {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{dx}}{x}} = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + C \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: B = \int {{x^2}\ln xdx}

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x} \\ {{x^2}dx = dv} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \dfrac{1}{x}dx} \\ {v = \dfrac{{{x^3}}}{3}} \end{array}} \right.

Khi đó nguyên hàm được tính như sau:

B = \int {{x^2}\ln xdx} = \frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \int {\frac{{{x^3}}}{3}.\frac{{dx}}{x} = \frac{{{x^3}}}{3}\ln x} - \frac{{{x^3}}}{9} + C

Cách 2:

\begin{matrix} B = \int {{x^2}\ln xdx} = \int {\ln xd\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \hfill \\ = \dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x - \int {\dfrac{{{x^3}}}{3}.d\left( {\ln x} \right)} \hfill \\ = \dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x - \int {\dfrac{{{x^3}}}{3}.\dfrac{{dx}}{x} = \dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ 3: Tình nguyên hàm của hàm số C = \int {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx}

Hướng dẫn giải

\begin{matrix} C = \int {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx} \hfill \\ = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \int {xd\left[ {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)} \right]} \hfill \\ = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \int {\frac{{1 + \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}.xdx} \hfill \\ = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \int {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx} \hfill \\ = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \hfill \\ = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) - \sqrt {1 + {x^2}} + C \hfill \\ \end{matrix}

----------------------------------------------------

Trên đây GiaiToan đã giới thiệu đến thầy cô và học sinh tài liệu Nguyên hàm Toán 12, hy vọng tài liệu sẽ là công cụ hữu ích giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia hiệu quả.

Một số tài liệu liên quan:

  • Nguyên hàm tan2x
  • Bài tập Thể tích hình trụ
  • Công thức tính thể tích hình nón
  • Công thức tính thể tích hình trụ

Từ khóa » Nguyên Hàm Ln X Dx