Nguyên Hàm Và Tích Phân Hàm Lượng Giác - 123doc

Qua 4 ví dụ trên ta đã phần nào nắm được dạng toán này, riêng ở ví dụ 4 ta đã sửdụng tới công thức khai triển hệ số Newton để khai trên biểu thức trong dấu nguyên hàm vàcác bước còn lại

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

HÀM LƯỢNG GIÁC

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN

Nguyễn Minh Tuấn ft Phạm Việt Anh

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

Z(cos x)ndx

Nếu n lẻ và lớn hơn 3 thì ta sẽ sử dụng phép biến đổi sau

Z(sin x)2psin xdx = −

I2 =

Z

(cos x)ndx =

Z(cos x)2p+1dx =

Z(cos x)2pcos xdx =

Z

1 − sin2x
pd (sin x)

Zcos2x
3dx =

Z(1 + cos 2x)3dx = 1

4

Z

1 + 3 cos 2x + 3cos22x + cos32x
dx

= 14

= 116

Z(7 + 12 cos 2x + 12 cos 4x + cos 3x + 3 cos x) dx

= 116

7x + 6 sin 2x + 3 sin 4x +1

3sin 3x + 3 sin x

+ C

2 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(sin 5x)9dx =

Z(sin 5x)8(sin 5x) dx = −1

5

Z

1 − cos25x
4d (cos 5x)

= −15Z

1 − 4cos25x + 6cos45x − 4cos65x + cos85x
d (cos 5x)

= −15

cos 5x − 4

3 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(cos 2x)13dx =

Z(cos 2x)12cos 2xdx = 1

4 Biến đổi nguyên hàm ta có



1 + 2 cos 2x + 1 + cos 4x

2

+ cos5x

dx

1557x + 1890 sin x + 300 sin 2x + 30 sin 3x + 15

Tóm lại Qua 4 ví dụ trên ta đã phần nào nắm được dạng toán này, riêng ở ví dụ 4 ta đã sửdụng tới công thức khai triển hệ số Newton để khai trên biểu thức trong dấu nguyên hàm vàcác bước còn lại chỉ là biến đổi thông thường

Dạng 2

Đôi khi trong khi làm các bài tính tích phân ta bắt gặp các bài toán liên tuan tới tíchcác biểu thức sin x, cos x khi đó ta sẽ sử dụng các công thức biến tích thành tổng để giảiquyết các bài toán này Sau đây là các công thức cần nhớ

I =

Z(cos mx) (cos nx) dx = 1

2

Z(cos (m − n) x + cos (m + n) x) dx

I =

Z(sin mx) (sin nx) dx = 1

2

Z(cos(m − n)x − cos (m + n) x) dx

I =

Z(sin mx) (cos nx) dx = 1

2

Z(sin (m + n) x + sin (m − n) x) dx

I =

Z(cos mx) (sin nx) dx = 1

2

Z(sin (m + n) x − sin (m − n) x) dx

Nhìn chung đây là một dạng toán cơ bản, sau đây ta sẽ cùng tìm hiểu các bài toán về nó

Lời giải

1 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(cos x)3sin 8xdx =

Z (3 cos x + cos 3x)

4 sin 8xdx

= 14

Z(3 cos x sin 8x + cos 3x sin 8x) dx

= 14

Z(3 cos x sin 8x + cos 3x sin 8x) dx

= 14

= −18

2 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(sin x)4(sin 3x) (cos 10x) dx = 1

8Z(1 − cos 2x)2(sin 13x + sin 7x) dx

= 18

Z

1 − 2 cos 2x + cos22x
(sin 13x + sin 7x) dx

= 18

Z 

1 − 2 cos 2x + 1 + cos 4x

2

(sin 13x + sin 7x) dx

= 116

Z(3 − 4 cos 2x + cos 4x) (sin 13x + sin 7x) dx

Dạng 3

Tính tích phân tổng quátI =

Zsinmxcosnxdx

Phương pháp

Trường hợp 1 Nếu m, n là các số nguyên

Nếu m và n chẵn thì dùng công thức hạ bậc biến tích thành tổng

Nếu m chẵn và n lẻ thì ta biến đổi

I =

Z

(sin x)m(cos x)2p+1dx =

Z(sin x)n(cos x)2pcos xdx =

Z(sin x)m 1 − sin2x
pd (sin x)

Nếu m lẻ và n lẻ thì dùng ta sẽ tách ra 1 biểu thức sin x hoặc cos x để đưa vào trong dấu viphân

Trường hợp 2 Nếu m, n là các số hữu tỷ

Trong trường hợp này ta sẽ đặt u = sin x và tùy theo trường hợp ta sẽ biến đổi nó để đưa vềbài toán cơ bản Ta sẽ tìm hiểu kỹ thuật này qua các bài toán dưới

Lời giải

1 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(sin x)2(cos x)4dx = 1

4

Z(sin 2x)2(cos x)2dx

= 116

Z 

1 + cos 2x − cos 4x − 1

2(cos 6x + cos 2x)

dx

2 − sin 4x

2 − sin 6x

6

+ C

2 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(sin 3x)10(cos 3x)5dx =

Z(sin 3x)10(cos 3x)4cos 3xdx

= 13

Z 1 0

(sin 3x)10− 2(sin 3x)12+ (sin 3x)14
d (sin 3x)

= 13

!+ C

3 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(sin 5x)9(cos 5x)111dx =

Z(cos 5x)111(sin 5x)8sin 5xdx

= −15Z(cos 5x)111 1 − cos25x
4d (cos 5x)

= −1

5

Z(cos 5x)111 1 − 4cos25x + 6cos45x − 4cos65x + cos85x
d (cos 5x)

!+ C

4 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z (sin 3x)75

√cos43xdx =

Z(cos 3x)−15 (sin 3x)6sin 3xdx

= −13

Z(cos 3x)−45 1 − cos23x
3

d (cos 3x)

= −13

Z(cos 3x)−45 1 − 3cos23x + 3cos43x − cos63x
d (cos 3x)

= −1

3

5(cos 3x)1 −15

+ C

Dạng 4

Tính tích phân tổng quát

I1 =

Z(tan x)ndx; I2 =

Z(cot x)ndx (n ∈ N)

Phương pháp

Trong các bài toán như thế này ta cần chú ý tới các công thức sau

Ztanxdx =

Zsin xcos xdx = −

Z

d (cos x)cos x = − ln |cos x| + C;

Zcotxdx =

Zcos xsin xdx =

Z

d (sin x)sin x = ln |sin x| + c;

Z

1 + tan2x
dx =

Zdxcos2x =

Z

d (cot x) = − cot x + C

Để làm các bài toán tính

Z(tan x)ndx ta sẽ cần cố gắng tách về dạng tanmx (tan2x + 1) đếncuối cùng để đưa về bài toán cơ bản

Sau đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các ví dụ minh họa để hiểu rõ hơn các bài toán này

Lời giải

1 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(tan x)8dx =Z

(tan x)6 1 + tan2x
− (tan x)4

=

Z(cot x)10 1 + cot2x
− (cot x)8

3 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(tan 2x)13dx

−(tan 2x)5 1 + tan22x
+ (tan 2x)3

1 + tan22x
− tan 2x 1 + tan22x
+ tan 2x

4 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(cot 4x)9dx =

Zcot 4xdx

4ln |sin 4x| + C

5 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(tan x + cot x)5dx =

Z

(tan x)5

+ 5(tan x)4cot x + 10(tan x)3(cot x)2

+10(tan x)2(cot x)3+ 5tgx(cot x)4+ (cot x)5

+

Z(cot x)3 1 + cot2x
+ 4 cot x 1 + cot2x
+ 6 cot x
dx

=

Z

(tan x)3+ 4 tan x
d (tan x) + 6

Ztanxdx −

Z(cot x)3+ 4 cot x
d (cot x) + 6

Zcotxdx

Dạng 5

Tính tích phân tổng quát

I =

Z (tan x)m(cos x)ndx, I =

Z (cot x)m(sin x)ndx

Phương pháp

Ta sẽ xét dạng I =

Z(tan x)m(cos x)ndx vì đây là 2 dạng tương tự nhau.

Trường hợp 1 Nếu m, n chẵn ta biến đổi như sau

1cos2x

k−1

dxcos2x =

Z(tan x)m 1 + tan2x
k−1d (tan x)

(tan x)m+3

m + 3 + + C

p k−1

(tan x)m+2p+1

m + 2p + 1 + + C

k−1 k−1

(tan x)m+2k−1

m + 2k − 1 + CTrường hợp 2 Nếu m và n đều lẻ thì ta biến đổi như sau

I =

Z (tan x)2k+1

(cos x)2h+1dx =

Z(tan x)2k

1cos x

2h

tan xcos xdx =

Ztan2x
k 1

cos x

2h

sin xcos2xdx

=

Z 

1cos2x − 1

k1cos x

2h

d

1cos x

I =

Z(tan x)2k(cos x)2h+1dx =

Z(sin x)2kcos x(cos x)2(k+h+1)dx =

Z u2k−2du(1 − u2)k+h

Hệ thức trên là hệ thức truy hồi các bạn có thể tham khảo ở phần sau, do đó tính được I Nhìnchung các bài toán trên mang tính tổng quát và có lẽ nhìn vào các lời giải tổng quát đó ta sẽthấy nó thật lằng nhằng và phức tạp, nhưng khi vào các ví dụ cụ thể ta sẽ thấy cách làm cácdạng toán này khá dễ Sau đây ta sẽ đi vào các bài minh họa

• I =

Z

(tan 3x)7(cos 3x)6dxBài 5

Lời giải

1 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(cot 5x)10(sin 5x)8 dx =

Z(cot 5x)10

1(sin 5x)2

3

dx(sin 5x)2

= −15

Z(cot 5x)101 + cot25x3d (cot 5x)

= −15

Z(cot 5x)10 1 + 3(cot 5x)2+ 3(cot 5x)4+ (cot 5x)6
d (cot 5x)

= −15

#+ C

2 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z(tan 4x)7(cos 4x)95dx =

Z(tan 4x)6

1cos 4x

94

tan 4xcos 4xdx

= 1

4

Z 

1(cos 4x)2 − 1

31cos 4x

94

d

1cos 4x



= 14

3 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z (cot 3x)9(sin 3x)41dx =

Z(cot 3x)8

1sin 3x

40

cot 3xsin 3xdx

= −1

3

Z 

1sin2x − 1

4

1sin 3x

40

d

1sin 3x



= −13

Z

u40 u2− 1
4

du

4 Biến đổi nguyên hàm ta có

I =

Z

(tan 3x)7

1(cos 3x)2

2

dx(cos 3x)2 =

13

Z(tan 3x)7 1 + tan23x
2d (tan 3x)

= 13

Z(tan 3x)71 + 2(tan 3x)2

+ (tan 3x)4 d (tan 3x)

= 13

#+ CTóm lại Qua 4 ví dụ trên ta thấy đó, mấu chốt chỉ là công thức lượng giác và phân tích hợp

lý, cái này ở phần hướng dẫn đã có đầy đủ rồi Tương tự mấy phần trước bài tập tự luyện có lẽkhông cần vì các bạn có thể tự nghĩ ra một câu để mình làm Ta cùng chuyển tiếp sang phầnsau!

Các bài toán nguyên hàm tích phân lượng giác rất phong phú và do đó sẽ không dừng lại cácdạng toán bên trên Ở phần này ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng toán nâng cao hơn, với nhữngphép biến đổi phức tạp hơn Sau đây chúng ta sẽ cùng đi vào từng dạng toán cụ thể!

sin (x + a)

dx

sin (a − b)[ln |sin (x + b)| − ln |sin (x + a)|] + CChú ý Với cách này, ta có thể tìm được các nguyên hàm

• J =

Z

dxcos (x + a) cos (x + b) bằng cách dùng đồng nhất thức 1 =

sin (a − b)sin (a − b)

• K =

Z

dxsin (x + a) cos (x + b) bằng cách dùng đồng nhất thức 1 =

cos (a − b)cos (a − b)Sau đây là các ví dụ minh họa cho các bài toán này

Lời giải

1 Ta có

1 =

sinπ6sinπ6

= 2

hsin



x + π6

cos x − cos



x +π6

sin xi

⇒ I = 2

Z

hsinx + π

6

cos x − cos x +π6
sin xisin x sinx + π

sin xsinx +π

6



+ C

2 Ta có

1 =

sinπ

6sinπ

2

= 2hsin3x + π

6

cos 3x − cos3x + π

6

sin 3xi

⇒ I = 2

Z

hsin3x + π

6

cos 3x − cos3x + π

6

sin 3xicos 3x cos 3x + π6
dx

 + 2

3

Z

d (cos 3x)cos 3x =

2

3ln

+ C

3 Ta có

1 = cos

π 4

cosπ4

=√

2hcosx + π

3

cosx + π

12

+ sinx + π

3

sinx + π

12

+ sinx +π

3

sinx + π

12

=√2

Dạng 2

Tính tích phân tổng quát I =

Ztan (x + a) tan (x + b) dx

Phương pháp

Ta có

tan (x + a) tan (x + b) = sin (x + a) sin (x + b)

cos (x + a) cos (x + b)

= sin (x + a) sin (x + b) + cos (x + a) cos (x + b)

cos (x + a) cos (x + b) − 1 = cos (a − b)

cos (x + a) cos (x + b) − 1

Từ đó suy ra I = cos (a − b)

Z

dxcos (x + a) cos (x + b) − 1

Đến đây ta gặp bài toán tìm nguyên hàm ở Dạng 1

Chú ý Với cách này, ta có thể tính được các nguyên hàm

Sau đây là các ví dụ minh họa cho các bài toán này.

6

dx

cot



x +π6

dxBài 2

6

+ sinx + π

3

sinx + π

sin



x +π6

 − 1 =

√3

2 .

1sin



x + π3

sin



x + π6

 − 1

Từ đó ta tính được

I =

√32

Z

1sinx + π

3

sinx + π

2 I1− x + C

Bây giờ ta sẽ đi tính I1 =

Z

dxsinx + π

3

sinx +π

= 2

hsin



x + π3

cos



x + π6



− cosx +π

3

sin



x +π6

cos



x +π6



− cosx +π

3

sin



x + π6



sin



x + π3

sin



x + π6

Như vậy thì

I =

√3

2 .2 ln

− x + C =√3 ln

6

 + 1 = 1

2.

1cosx +π

3

sinx +π

6

 + 1

Như vậy ta được

K = 12

cosx +π

3

sinx + π

3

sinx + π

⇒ K =

√3

3 ln