Nguyên Lý Fermat Và Phép Tính Biến Phân - My Notebook
Có thể bạn quan tâm
Chuyển đến nội dung chính Chia sẻ Nhãn 
Từ (1) ta viết lại biểu thức của delta có dạng sau \[\Delta = {n_1}{s_1} + {n_2}{s_2}\] hay \[\Delta = {n_1}\sqrt {x_A^2 + y_A^2} + {n_2}\sqrt {x_B^2 + y_B^2} \] Ta lấy biến phân hàm delta \[\delta \Delta = {n_1}\left( {\frac{{{x_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2} }}\delta {x_A} + \frac{{{y_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2} }}\delta {y_A}} \right) + {n_2}\left( {\frac{{{x_B}}}{{\sqrt {x_B^2 + y_B^2} }}\delta {x_B} + \frac{{{y_B}}}{{\sqrt {x_B^2 + y_B^2} }}\delta {y_B}} \right)\] Theo 1/ thì ánh sáng truyền trong môi trường đồng nhất theo đường thẳng nên ta suy ra rằng ở môi trường n1, ánh sáng đi theo đường thẳng cho tới khi chạm vào mặt phân cách ( tương tự với n2) suy ra yA và yB là hằng số hay \[\delta {y_A} = \delta {y_B} = 0\]. Giả sử góc tới ở n1 là i và góc khúc xạ ở n2 là t ta có: \[\delta \Delta = {n_1}\frac{{{x_A}\delta {x_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2} }} + {n_2}\frac{{{x_B}\delta {x_B}}}{{\sqrt {x_B^2 + y_B^2} }}\] Mặt khác \[\delta {x_A} = \delta {x_B}\] Nên \[\delta \Delta = 0\] khi \[{n_1}\frac{{{x_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2} }} + {n_2}\frac{{{x_B}}}{{\sqrt {x_B^2 + y_B^2} }} = 0\] hay \[{n_1}\sin i = {n_2}\sin t\] rõ ràng n1 khác n2 thì góc tới i và góc khúc xạ t sẽ khác nhau hay tia sáng bị gãy khúc khi truyền qua mặt phân cách giữa hai môi trường có chiết suất khác nhau. 3/ Định luật phản xạ ánh sáng Các phương trình Fresnel cho chúng ta thấy rằng sóng điện từ tại mặt phân cách giữa hai môi trường luôn bị khúc xạ và phản xạ, đôi khi là phản xạ toàn phần 
Như trên hình ta sẽ tìm quỹ đạo tia sáng từ S đến S' trong trường hợp phản xạ sao cho đường truyền là ngắn nhất. Gọi S'' đối xứng với S' qua gương, Khi đó MS'=MS'' suy ra SM+MS'=SM+MS'' ngắn nhất khi S, M, S'' thẳng hàng hay M trùng vào I. Suy ra rằng ^S'IM=^S''IM=180-^SIM. *** Ví dụ: 1/ n=n(y) Theo (1) hàm delta có dạng \[\Delta = \int {n(y)\sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{d\sigma }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{d\sigma }}} \right)}^2}} d\sigma } \] Viết lại thành \[\Delta = \int {n(y)\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} dx} \] Khi đó \[L = L(x,y,\dot y)\] với \[\dot y = \frac{{dy}}{{dx}}\] Áp dụng (6) ta được \[\frac{{dL}}{{dx}}\left( {L - \dot y\frac{{\partial L}}{{\partial \dot y}}} \right) = \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = 0\] suy ra \[L - \dot y\frac{{\partial L}}{{\partial \dot y}} = \alpha \] với alpha là hằng số xác định từ điều kiện ban đầu. Giả sử tia sáng đi qua điểm (x0,y0) với góc hợp với trục Ox là theta0, dễ dàng xác định được \[\alpha = n({y_0})cos{\theta _0}\] Từ đó rút ra được \[{{\dot y}^2} = 1 - \frac{{{n^2}(y)}}{{{\alpha ^2}}}\] hay \[{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = 1 - \frac{{{n^2}(y)}}{{{\alpha ^2}}}\] là phương trình chuyển động của ánh sáng. 2/ n=n(r) Cũng tương tự như 1/ nhưng ta sẽ viết L trong tọa độ cực, từ đó hàm delta cũng được viết bằng các biến số trong tọa độ cực như sau: \[L = n(r)\sqrt {{{\left( {\frac{{dr}}{{d\sigma }}} \right)}^2} + {{\left( {r\frac{{d\varphi }}{{d\sigma }}} \right)}^2}} \] \[\Delta = \int {n(r)\sqrt {{{\left( {\frac{{dr}}{{d\sigma }}} \right)}^2} + {{\left( {r\frac{{d\varphi }}{{d\sigma }}} \right)}^2}} d} \sigma = \int {n(r)\sqrt {{{\left( {\frac{{dr}}{{d\varphi }}} \right)}^2} + {r^2}} } d\varphi \] Tương tự như 1/ ta được: \[{\left( {\frac{{dr}}{{d\varphi }}} \right)^2} = {r^2}\left( {1 - \frac{{{n^2}(r)}}{{{\alpha ^2}}}} \right)\] là phương trình chuyển động trong tọa độ cực. Chia sẻ 
Bài đăng 
Atom Bài đăng Nhận xét Atom Nhận xét 
Notebook Truy cập hồ sơ 
Kết quả tìm kiếm
- Quang hình học
Nguyên lý Fermat và phép tính biến phân
Trong lĩnh vực quang hình ta có rất nhiều các định luật xác định quỹ đạo của ánh sáng, ví dụ như định luật truyền thẳng, định luật phản xạ, định luật khúc xạ...nhưng gốc rễ của các định luật được rút ra từ một tiên đề duy nhất của quang hình học, đó là nguyên lý Fermat, được phát biểu như sau( đại ý là: ) ánh sáng luôn chọn quỹ đạo khả dĩ có thời gian truyền đạt giá trị dừng. Trạng thái dừng ở đây được hiểu là hàm thời gian T đạt cực trị hoặc điểm yên ngựa với các biến số của nó. Ta xét cho môi trường có chiết suất n=n(x,y,z)* Tổng thời gian truyền giữa hai điểm A, B là \[T = \sum\limits_i {\frac{{{s_i}}}{{{v_i}}}} = (\sum\limits_i {{n_i}{s_i})*} {c^{ - 1}}\](1), ở đây \[{v_i} = \frac{c}{{{n_i}}}\] Giả sử môi trường là liên tục, ta viết lại (1) dưới dạng \[\Delta = T*c = \int\limits_A^B {n(x,y,z)ds} = \int\limits_A^B {n(x,y,z)\sqrt {{{(\frac{{dx}}{{d\sigma }})}^2} + {{(\frac{{dy}}{{d\sigma }})}^2} + {{(\frac{{dz}}{{d\sigma }})}^2}} } d\sigma \](2) Ở đây \[ds = \sqrt {{{(\frac{{dx}}{{d\sigma }})}^2} + {{(\frac{{dy}}{{d\sigma }})}^2} + {{(\frac{{dz}}{{d\sigma }})}^2}} d\sigma \] và xichma là tham số. Mục đích là tìm sự phụ thuộc của x, y, z vào xichma sao cho hàm delta đạt cực trị hoặc điểm yên ngựa. *** Sau đây phần lý thuyết trình bày lại phép tính biến phân cho phiếm hàm delta nhằm giải quyết vấn đề nêu trên: Cho hàm \[\Delta = \int {L(t,x,\dot x)dt} \] với \[\dot x = \frac{{dx}}{{dt}}\] Lấy biến phân hàm delta \[\delta \Delta = \int {(\frac{{\partial L}}{{\partial x}}\delta x + \frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}\delta \dot x)dt} \] Với \[\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}\delta \dot x = \frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}*\frac{d}{{dt}}(\delta x) = \frac{d}{{dt}}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}\delta x) - \frac{d}{{dt}}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}})\delta x\] Suy ra \[\delta \Delta = \left. {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}\delta x} \right|_A^B + \int {{\text{[}}\frac{{\partial L}}{{\partial x}} - \frac{d}{{dt}}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}){\text{]}}} \delta xdt\] Điều kiện biên \[\delta x(A) = \delta x(B) = 0\] Suy ra \[\delta \Delta = \int {{\text{[}}\frac{{\partial L}}{{\partial x}} - \frac{d}{{dt}}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}){\text{]}}} \delta xdt\] Để delta đạt giá trị dừng khi và chỉ khi \[\delta \Delta = 0\] Tương đương với \[\frac{{\partial L}}{{\partial x}} - \frac{d}{{dt}}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}) = 0\](3) (3) được gọi là phương trình Euler-Lagarange loại 1 Để ý rằng \[\frac{{dL}}{{dt}} = \frac{{\partial L}}{{\partial t}} + \frac{{\partial L}}{{\partial x}}\dot x + \frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}\ddot x\] (4) và \[\frac{d}{{dt}}\left( {\dot x\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}} \right) = \ddot x\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}} + \dot x\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}} \right)\] (5) Lấy (4)-(5) ta được: \[\frac{d}{{dt}}\left( {L - \dot x\frac{{\partial L}}{{\partial \dot x}}} \right) = \frac{{\partial L}}{{\partial t}}\] (6) được gọi là phương trình Euler-Lagrange loại 2. Loại này hữu ích cho trường hợp L không phụ thuộc tường minh vào t. *** Từ (2) và (3) ta xác định được hệ phương trình chuyển động cho tia sáng trong môi trường chiết xuất n=n(x,y,z) là \[\frac{{\partial L}}{{\partial q}} - \frac{d}{{dt}}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q}}) = 0\] (7) với \[L = n(x,y,z)\sqrt {{{(\frac{{dx}}{{d\sigma }})}^2} + {{(\frac{{dy}}{{d\sigma }})}^2} + {{(\frac{{dz}}{{d\sigma }})}^2}} \] và \[\frac{{dq}}{{d\sigma }} = \dot q\] với q={x,y,z}. Việc giải chính xác hệ (7) trên là "no hope". Dưới đây ta sẽ thử tìm nghiệm chính xác của (7) qua các trường hợp đặc biệt như n=n(y), n=n(r), ...v.v... *** Trước khi đi vào khảo sát các t/h đặc biệt ta sẽ khảo sát hệ quả của nguyên lý này 1/Ánh sáng truyền theo đường thẳng trong các môi trường đồng nhất( định luật truyền thẳng) Từ (1) ta viết lại biểu thức của delta có dạng sau \[\Delta = \sum\limits_{A - > B} {{n_i}{s_i}} \] là tổng độ dài các đoạn thẳng nối từ điểm A tới điểm B nhân với n với ni=n=const, \[\Delta = n\sum\limits_{A - > B} {{s_i}} \] Khi đó delta có giá trị cực tiểu khi và chỉ khi các đoạn Si tạo thành đoạn thẳng. 2/ Ánh sáng bị gãy khúc ở mặt phân cách giữa hai môi trường chiết suất n1 và n2 ứng với góc tới i và góc khúc xạ t( định luật khúc xạ) Từ (1) ta viết lại biểu thức của delta có dạng sau \[\Delta = {n_1}{s_1} + {n_2}{s_2}\] hay \[\Delta = {n_1}\sqrt {x_A^2 + y_A^2} + {n_2}\sqrt {x_B^2 + y_B^2} \] Ta lấy biến phân hàm delta \[\delta \Delta = {n_1}\left( {\frac{{{x_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2} }}\delta {x_A} + \frac{{{y_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2} }}\delta {y_A}} \right) + {n_2}\left( {\frac{{{x_B}}}{{\sqrt {x_B^2 + y_B^2} }}\delta {x_B} + \frac{{{y_B}}}{{\sqrt {x_B^2 + y_B^2} }}\delta {y_B}} \right)\] Theo 1/ thì ánh sáng truyền trong môi trường đồng nhất theo đường thẳng nên ta suy ra rằng ở môi trường n1, ánh sáng đi theo đường thẳng cho tới khi chạm vào mặt phân cách ( tương tự với n2) suy ra yA và yB là hằng số hay \[\delta {y_A} = \delta {y_B} = 0\]. Giả sử góc tới ở n1 là i và góc khúc xạ ở n2 là t ta có: \[\delta \Delta = {n_1}\frac{{{x_A}\delta {x_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2} }} + {n_2}\frac{{{x_B}\delta {x_B}}}{{\sqrt {x_B^2 + y_B^2} }}\] Mặt khác \[\delta {x_A} = \delta {x_B}\] Nên \[\delta \Delta = 0\] khi \[{n_1}\frac{{{x_A}}}{{\sqrt {x_A^2 + y_A^2} }} + {n_2}\frac{{{x_B}}}{{\sqrt {x_B^2 + y_B^2} }} = 0\] hay \[{n_1}\sin i = {n_2}\sin t\] rõ ràng n1 khác n2 thì góc tới i và góc khúc xạ t sẽ khác nhau hay tia sáng bị gãy khúc khi truyền qua mặt phân cách giữa hai môi trường có chiết suất khác nhau. 3/ Định luật phản xạ ánh sáng Các phương trình Fresnel cho chúng ta thấy rằng sóng điện từ tại mặt phân cách giữa hai môi trường luôn bị khúc xạ và phản xạ, đôi khi là phản xạ toàn phần Như trên hình ta sẽ tìm quỹ đạo tia sáng từ S đến S' trong trường hợp phản xạ sao cho đường truyền là ngắn nhất. Gọi S'' đối xứng với S' qua gương, Khi đó MS'=MS'' suy ra SM+MS'=SM+MS'' ngắn nhất khi S, M, S'' thẳng hàng hay M trùng vào I. Suy ra rằng ^S'IM=^S''IM=180-^SIM. *** Ví dụ: 1/ n=n(y) Theo (1) hàm delta có dạng \[\Delta = \int {n(y)\sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{d\sigma }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{d\sigma }}} \right)}^2}} d\sigma } \] Viết lại thành \[\Delta = \int {n(y)\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} dx} \] Khi đó \[L = L(x,y,\dot y)\] với \[\dot y = \frac{{dy}}{{dx}}\] Áp dụng (6) ta được \[\frac{{dL}}{{dx}}\left( {L - \dot y\frac{{\partial L}}{{\partial \dot y}}} \right) = \frac{{\partial L}}{{\partial x}} = 0\] suy ra \[L - \dot y\frac{{\partial L}}{{\partial \dot y}} = \alpha \] với alpha là hằng số xác định từ điều kiện ban đầu. Giả sử tia sáng đi qua điểm (x0,y0) với góc hợp với trục Ox là theta0, dễ dàng xác định được \[\alpha = n({y_0})cos{\theta _0}\] Từ đó rút ra được \[{{\dot y}^2} = 1 - \frac{{{n^2}(y)}}{{{\alpha ^2}}}\] hay \[{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = 1 - \frac{{{n^2}(y)}}{{{\alpha ^2}}}\] là phương trình chuyển động của ánh sáng. 2/ n=n(r) Cũng tương tự như 1/ nhưng ta sẽ viết L trong tọa độ cực, từ đó hàm delta cũng được viết bằng các biến số trong tọa độ cực như sau: \[L = n(r)\sqrt {{{\left( {\frac{{dr}}{{d\sigma }}} \right)}^2} + {{\left( {r\frac{{d\varphi }}{{d\sigma }}} \right)}^2}} \] \[\Delta = \int {n(r)\sqrt {{{\left( {\frac{{dr}}{{d\sigma }}} \right)}^2} + {{\left( {r\frac{{d\varphi }}{{d\sigma }}} \right)}^2}} d} \sigma = \int {n(r)\sqrt {{{\left( {\frac{{dr}}{{d\varphi }}} \right)}^2} + {r^2}} } d\varphi \] Tương tự như 1/ ta được: \[{\left( {\frac{{dr}}{{d\varphi }}} \right)^2} = {r^2}\left( {1 - \frac{{{n^2}(r)}}{{{\alpha ^2}}}} \right)\] là phương trình chuyển động trong tọa độ cực. Chia sẻ Nhận xét
Đăng nhận xét
Bài đăng phổ biến
Phương trình Euler cho chất lỏng lý tưởng*
Chia sẻ Định lý Virial và bài toán ước tính nhiệt độ Mặt Trời
Chia sẻNgười theo dõi
Bài đăng Atom Bài đăng Nhận xét Atom Nhận xét Translate
Tìm kiếm Blog này
Notebook Truy cập hồ sơ Lưu trữ
- 2021 2
- tháng 4 2
- 2020 7
- tháng 8 2
- tháng 4 2
- Định lý Virial và bài toán ước tính nhiệt độ Mặt Trời
- Nguyên lý Fermat và phép tính biến phân
- tháng 3 3
Nhãn
- Cơ học Newton5
- Thủy động lực2
- Cơ học lượng tử1
- Quang hình học1
- Điện động lực1
Sách và tài liệu tham khảo
Wikipedia
Kết quả tìm kiếm Báo cáo vi phạm
Từ khóa » Nguyên Lý Fermat
-
Nguyên Tắc Của Fermat - Mimir Bách Khoa Toàn Thư
-
Nguyên Lý Fermat Và định Luật Khúc Xạ Snell-Descartes - My Notebook
-
Chủ đề: Nguyên Lí Fermat - 123doc
-
Nguyên Lý Fermat
-
Định Lý Fermat – Wikipedia Tiếng Việt
-
Nguyên Lí Fermat - Trường THPT Chuyên Lào Cai
-
Fermat Và Nguyên Lý Tiết Kiệm Của Tự Nhiên - Báo Tuổi Trẻ
-
Nguyên Lý Fermat | Quang Học - Páginas De Delphi
-
[PDF] Các Nguyên Lý Và ứng Dụng (Quang Học Và Vật Lí Lượng Tử).
-
Nguyên Lý Fermat - Bài Viết Sưu Tầm
-
Nguyên Lý Fermat - Giáo Án, Bài Giảng
-
Quang Hình Học, định Luật Cơ Bản, Quang Lộ, Nguyên Lý Fermat - Scribd
-
Từ Nguyên Lý Fermat đến Định Luật Snell
-
[PDF] Chương II. Quang Hình Học