Nhập Môn Lượng Giác/Đẳng Thức Lượng Giác – Wikibooks Tiếng Việt

Đẳng Thức Lượng Giác

[sửa]

Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa các hàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số. Các đẳng thức này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác. Ví dụ trong việc tính tích phân với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính.

Đẳng thức lượng giác cơ bản

[sửa] Xem thêm các hàm lượng giác tan ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) cotg ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( x ) = 1 tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\qquad \operatorname {cotg} (x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}={\frac {1}{\tan(x)}}}

Đẳng thức lượng giác Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

[sửa]

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

nguyên)	Đối xứng	Tịnh tiến
sin ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x + 2 k π ) {\displaystyle \sin(x)=\sin(x+2k\pi )\,}	sin ⁡ ( − x ) = − sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)\,}	sin ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( π 2 − x ) {\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
cos ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x + 2 k π ) {\displaystyle \cos(x)=\cos(x+2k\pi )\,}	cos ⁡ ( − x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(-x)=\;\cos(x)\,}	cos ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( π 2 − x ) {\displaystyle \cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
tan ⁡ ( x ) = tan ⁡ ( x + k π ) {\displaystyle \tan(x)=\tan(x+k\pi )\,}	tan ⁡ ( − x ) = − tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)\,}	tan ⁡ ( x ) = cot ⁡ ( π 2 − x ) {\displaystyle \tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
cot ⁡ ( − x ) = − cot ⁡ ( x ) {\displaystyle \cot(-x)=-\cot(x)\,}

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

a sin ⁡ x + b cos ⁡ x = a 2 + b 2 ⋅ sin ⁡ ( x + φ ) {\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )}

với

φ = { a r c t a n ( b / a ) , n e ^ ´ u   a ≥ 0 ; π + a r c t a n ( b / a ) , n e ^ ´ u   a < 0. {\displaystyle \varphi =\left\{{\begin{matrix}{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0;\;\\\pi +{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\;\end{matrix}}\right.\;}

Đẳng thức Pytago

[sửa]

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

nguyên)	Đối xứng	Tịnh tiến
sin ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x + 2 k π ) {\displaystyle \sin(x)=\sin(x+2k\pi )\,}	sin ⁡ ( − x ) = − sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)\,}	sin ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( π 2 − x ) {\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
cos ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x + 2 k π ) {\displaystyle \cos(x)=\cos(x+2k\pi )\,}	cos ⁡ ( − x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(-x)=\;\cos(x)\,}	cos ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( π 2 − x ) {\displaystyle \cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
tan ⁡ ( x ) = tan ⁡ ( x + k π ) {\displaystyle \tan(x)=\tan(x+k\pi )\,}	tan ⁡ ( − x ) = − tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)\,}	tan ⁡ ( x ) = cot ⁡ ( π 2 − x ) {\displaystyle \tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
cot ⁡ ( − x ) = − cot ⁡ ( x ) {\displaystyle \cot(-x)=-\cot(x)\,}

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

a sin ⁡ x + b cos ⁡ x = a 2 + b 2 ⋅ sin ⁡ ( x + φ ) {\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )}

với

φ = { a r c t a n ( b / a ) , n e ^ ´ u   a ≥ 0 ; π + a r c t a n ( b / a ) , n e ^ ´ u   a < 0. {\displaystyle \varphi =\left\{{\begin{matrix}{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0;\;\\\pi +{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\;\end{matrix}}\right.\;}

Đẳng thức Tổng và hiệu của góc

[sửa] Xem thêm Định lý Ptolemaios

Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.

sin ⁡ ( x ± y ) = sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) ± cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) {\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,} cos ⁡ ( x ± y ) = cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) ∓ sin ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) {\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,} tan ⁡ ( x ± y ) = tan ⁡ ( x ) ± tan ⁡ ( y ) 1 ∓ tan ⁡ ( x ) tan ⁡ ( y ) {\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}} c ı s ( x + y ) = c ı s ( x ) c ı s ( y ) {\displaystyle {\rm {c\imath s}}(x+y)={\rm {c\imath s}}(x)\,{\rm {c\imath s}}(y)} c ı s ( x − y ) = c ı s ( x ) c ı s ( y ) {\displaystyle {\rm {c\imath s}}(x-y)={{\rm {c\imath s}}(x) \over {\rm {c\imath s}}(y)}}

với

c ı s ( x ) = e ı x = cos ⁡ ( x ) + ı sin ⁡ ( x ) {\displaystyle {\rm {c\imath s}}(x)=e^{\imath x}=\cos(x)+\imath \sin(x)\,}

và

ı = − 1 . {\displaystyle \imath ={\sqrt {-1}}.\,}

Công thức hạ bậc

[sửa]

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được:

cos 2 ⁡ ( x ) = 1 + cos ⁡ ( 2 x ) 2 {\displaystyle \cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}} sin 2 ⁡ ( x ) = 1 − cos ⁡ ( 2 x ) 2 {\displaystyle \sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}} sin 2 ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ 2 ( x ) = 1 − cos ⁡ ( 4 x ) 4 {\displaystyle \sin ^{2}(x)\cos ^{2}2(x)={1-\cos(4x) \over 4}} sin 3 ⁡ ( x ) = 23 sin ⁡ 2 ( x ) − sin ⁡ ( 3 x ) 4 {\displaystyle \sin ^{3}(x)={\frac {23\sin 2(x)-\sin(3x)}{4}}} cos 3 ⁡ ( x ) = 32 cos ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( 3 x ) 4 {\displaystyle \cos ^{3}(x)={\frac {32\cos(x)+\cos(3x)}{4}}}

Cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x) Sin(3x) = -4sin^3(x) + 3sin(x)

Đẳng thức Biến tích thành tổng

[sửa]

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.

cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) = cos ⁡ ( x + y ) + cos ⁡ ( x − y ) 2 {\displaystyle \cos \left(x\right)\cos \left(y\right)={\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right) \over 2}\;} sin ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) = cos ⁡ ( x − y ) − cos ⁡ ( x + y ) 2 {\displaystyle \sin \left(x\right)\sin \left(y\right)={\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right) \over 2}\;} sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) = sin ⁡ ( x − y ) + sin ⁡ ( x + y ) 2 {\displaystyle \sin \left(x\right)\cos \left(y\right)={\sin \left(x-y\right)+\sin \left(x+y\right) \over 2}\;}

1. Đẳng thức Biển tổng thành tích

Đẳng thức lượng giác nghịch đảo

[sửa] arcsin ⁡ ( x ) + arccos ⁡ ( x ) = π / 2 {\displaystyle \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;} arctan ⁡ ( x ) + arccot ⁡ ( x ) = π / 2. {\displaystyle \arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;} arctan ⁡ ( x ) + arctan ⁡ ( 1 / x ) = { π / 2 , n e ^ ´ u   x > 0 − π / 2 , n e ^ ´ u   x < 0 . {\displaystyle \arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ x>0\\-\pi /2,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ x<0\end{matrix}}\right..} arctan ⁡ ( x ) + arctan ⁡ ( y ) = arctan ⁡ ( x + y 1 − x y ) {\displaystyle \arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)\;} arctan ⁡ ( x ) − arctan ⁡ ( y ) = arctan ⁡ ( x − y 1 + x y ) {\displaystyle \arctan(x)-\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)\;} sin ⁡ ( arccos ⁡ ( x ) ) = 1 − x 2 {\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,} cos ⁡ ( arcsin ⁡ ( x ) ) = 1 − x 2 {\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,} sin ⁡ ( arctan ⁡ ( x ) ) = x 1 + x 2 {\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} cos ⁡ ( arctan ⁡ ( x ) ) = 1 1 + x 2 {\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} tan ⁡ ( arcsin ⁡ ( x ) ) = x 1 − x 2 {\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} tan ⁡ ( arccos ⁡ ( x ) ) = 1 − x 2 x {\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}

Đẳng thức Dạng số phức

[sửa] cos ⁡ ( x ) = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;} sin ⁡ ( x ) = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;}

với i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.\,}

Đẳng thức Tích vô hạn

[sửa]

Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:

sin ⁡ x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 n 2 ) {\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)} sinh ⁡ x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x 2 π 2 n 2 ) {\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)} cos ⁡ x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 π 2 ( n − 1 2 ) 2 ) {\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)} cosh ⁡ x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x 2 π 2 ( n − 1 2 ) 2 ) {\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)} sin ⁡ x x = ∏ n = 1 ∞ cos ⁡ ( x 2 n ) {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}

1. Đẳng thức số

Đẳng thức Giải tích

[sửa]

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

lim x → 0 sin ⁡ ( x ) x = 1 , {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,} lim x → 0 1 − cos ⁡ ( x ) x = 0 , {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0,} d d x sin ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\sin(x)=\cos(x)}

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:

d d x cos ⁡ ( x ) = − sin ⁡ ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\cos(x)=-\sin(x)} d d x tan ⁡ ( x ) = sec 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\tan(x)=\sec ^{2}(x)} d d x cot ⁡ ( x ) = − csc 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)} d d x sec ⁡ ( x ) = sec ⁡ ( x ) tan ⁡ ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} d d x csc ⁡ ( x ) = − csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)} d d x arcsin ⁡ ( x ) = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} d d x arctan ⁡ ( x ) = 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.

Đẳng thức Thường Dùng

[sửa] sin ⁡ ( x + y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y} sin ⁡ ( x − y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y − cos ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y} cos ⁡ ( x + y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y} cos ⁡ ( x − y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y} sin ⁡ x + sin ⁡ y = 2 sin ⁡ ( x + y 2 ) cos ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)} sin ⁡ x − sin ⁡ y = 2 cos ⁡ ( x + y 2 ) sin ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)} cos ⁡ x + cos ⁡ y = 2 cos ⁡ ( x + y 2 ) cos ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)} cos ⁡ x − cos ⁡ y = − 2 sin ⁡ ( x + y 2 ) sin ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)} tan ⁡ x + tan ⁡ y = sin ⁡ ( x + y ) cos ⁡ x cos ⁡ y {\displaystyle \tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}} tan ⁡ x − tan ⁡ y = sin ⁡ ( x − y ) cos ⁡ x cos ⁡ y {\displaystyle \tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}} cot ⁡ x + cot ⁡ y = sin ⁡ ( x + y ) sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}} cot ⁡ x − cot ⁡ y = − sin ⁡ ( x − y ) sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}}

Đẳng thức góc bội

[sửa]

Bội hai

[sửa]

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

sin ⁡ ( 2 x ) = 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,} cos ⁡ ( 2 x ) = cos 2 ⁡ ( x ) − sin 2 ⁡ ( x ) = 2 cos 2 ⁡ ( x ) − 1 = 1 − 2 sin 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,} tan ⁡ ( 2 x ) = 2 tan ⁡ ( x ) 1 − tan 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}}

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

Tổng quát

[sửa]

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

cos ⁡ ( n x ) = T n ( cos ⁡ ( x ) ) . {\displaystyle \cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).\,}

công thức de Moivre:

cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) = ( cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) ) n {\displaystyle \cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}\,}

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

1 + 2 cos ⁡ ( x ) + 2 cos ⁡ ( 2 x ) + 2 cos ⁡ ( 3 x ) + ⋯ + 2 cos ⁡ ( n x ) {\displaystyle 1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)\;} = sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) x ) sin ⁡ ( x / 2 ) {\displaystyle ={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}\;}

Hay theo công thức hồi quy:

sin ⁡ ( n x ) = 2 sin ⁡ ( ( n − 1 ) x ) cos ⁡ ( x ) − sin ⁡ ( ( n − 2 ) x ) {\displaystyle \sin(nx)=2\sin((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-2)x)} cos ⁡ ( n x ) = 2 cos ⁡ ( ( n − 1 ) x ) cos ⁡ ( x ) − cos ⁡ ( ( n − 2 ) x ) {\displaystyle \cos(nx)=2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)}

Bội ba

[sửa]

Ví dụ của trường hợp n = 3:

sin ⁡ ( 3 x ) = 3 sin ⁡ ( x ) − 4 sin 3 ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(3x)=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)} cos ⁡ ( 3 x ) = 4 cos 3 ⁡ ( x ) − 3 cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(3x)=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)}

Các Hàm lượng giác nghịch đảo

[sửa]

Chuổi Số

[sửa]

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

arcsin ⁡ z = z + ( 1 2 ) z 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\arcsin z&=&z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1} arccos ⁡ z = π 2 − arcsin ⁡ z = π 2 − ( z + ( 1 2 ) z 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 7 7 + ⋯ ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\arccos z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1} arctan ⁡ z = z − z 3 3 + z 5 5 − z 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 2 n + 1 | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\arctan z&=&z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1} arccsc ⁡ z = arcsin ⁡ ( z − 1 ) = z − 1 + ( 1 2 ) z − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z − 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z − 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z − ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 | z | > 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arccsc} z&=&\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&=&z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1} arcsec ⁡ z = arccos ⁡ ( z − 1 ) = π 2 − ( z − 1 + ( 1 2 ) z − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z − 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z − 7 7 + ⋯ ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) | z | > 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arcsec} z&=&\arccos \left(z^{-1}\right)\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1} arccot ⁡ z = π 2 − arctan ⁡ z = π 2 − ( z − z 3 3 + z 5 5 − z 7 7 + ⋯ ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 2 n + 1 | z | < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arccot} z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1}

Tích Phân

[sửa]

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

arcsin ⁡ ( x ) = ∫ 0 x 1 1 − z 2 d z , | x | < 1 {\displaystyle \arcsin \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1} arccos ⁡ ( x ) = ∫ x 1 1 1 − z 2 d z , | x | < 1 {\displaystyle \arccos \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1} arctan ⁡ ( x ) = ∫ 0 x 1 1 + z 2 d z , ∀ x ∈ R {\displaystyle \arctan \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,\mathrm {d} z,\quad \forall x\in \mathbb {R} } arccot ⁡ ( x ) = ∫ x ∞ 1 z 2 + 1 d z , z > 0 {\displaystyle \operatorname {arccot} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z,\quad z>0} arcsec ⁡ ( x ) = ∫ x 1 1 | z | z 2 − 1 d z , x > 1 {\displaystyle \operatorname {arcsec} \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1} arccsc ⁡ ( x ) = ∫ x ∞ − 1 | z | z 2 − 1 d z , x > 1 {\displaystyle \operatorname {arccsc} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {-1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1}

Số Phức

[sửa]

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến số phức|phức:

arcsin ⁡ ( z ) = − i log ⁡ ( i ( z + 1 − z 2 ) ) {\displaystyle \arcsin(z)=-i\log \left(i\left(z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\right)} arccos ⁡ ( z ) = − i log ⁡ ( z + z 2 − 1 ) {\displaystyle \arccos(z)=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)} arctan ⁡ ( z ) = i 2 log ⁡ ( 1 − i z 1 + i z ) {\displaystyle \arctan(z)={\frac {i}{2}}\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)}

Thể loại:Lượng giác