Phân Tích đa Thức Chứa Tham Số Thành Nhân Tử

Định lí về phân tích nhân tử khi biết tất cả các nghiệm của đa thức:

Đa thức $P(x)$ được viết dưới dạng: $P(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ trong đó ${{a}_{n}}\ne 0$ là một đa thức bậc $n$ ký hiệu là $\deg P=n$.

$P(x)$ có nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ thì $P(x)={{a}_{n}}\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)...\left( x-{{x}_{n}} \right).$

Ví dụ 1:Hàm số $f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt bằng $-3;-1;2.$ Tìm $f(x).$

Giải.Vì $f(x)$ là một đa thức bậc ba có ba nghiệm $-3;-1;2$ do đó $f(x)=\dfrac{1}{2}(x+3)(x+1)(x-2).$

Ví dụ 2:Đồ thị của hai hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+\dfrac{1}{2}$ và $g(x)=d{{x}^{2}}+ex+\dfrac{3}{4}$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ $-2;1;3.$ Tìm $h(x)=f(x)-g(x).$

Giải.Vì $h(x)=a{{x}^{3}}+(b-d){{x}^{2}}+(c-e)x-\frac{1}{4}$ là một đa thức bậc ba có ba nghiệm $-2;1;3$ do đó $h(x)=a(x+2)(x-1)(x-3).$

So sánh hệ số tự do của $h(x)$ ta có $-\dfrac{1}{4}=a(2)(-1)(-3)\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{24}.$ Do đó $h(x)=-\dfrac{1}{24}(x+2)(x-1)(x-3).$

Phân tích nhân tử cho đa thức bậc ba có chứa tham số

Đa thức bậc ba $P(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ tìm được một nghiệm đẹp $x={{x}_{0}}$ khi đó $P(x)=a(x-{{x}_{0}})({{x}^{2}}+rx+s)$ để tìm nhân tử ${{x}^{2}}+rx+s$ ta thực hiện bằng máy tính bỏ túi như sau:

MODE 2 (Vào môi trường số phức)

Nhập $\dfrac{P(x)}{a(x-{{x}_{0}})}-{{x}^{2}}$ và CALC với $x=i(ENG)$ và tham số $m=1000$

Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức $P(x)={{x}^{3}}+(m+1){{x}^{2}}+({{m}^{2}}+2m-1)x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1.$

Giải. Nhập phương trình bậc ba ${{x}^{3}}+(m+1){{x}^{2}}+({{m}^{2}}+2m-1)x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1=0$ ẩn $x$ với $m=1000$ ta được một nghiệm đẹp $x=999=m-1.$

Vậy khi phân tích nhân tử thì $P(x)=(x-m+1)({{x}^{2}}+rx+s)$ ta tìm $rx+s$ như sau:

MODE 2

Nhập $\dfrac{{{x}^{3}}+(m+1){{x}^{2}}+({{m}^{2}}+2m-1)x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1}{x-m+1}-{{x}^{2}}$

CALC với $x=i(ENG);m=1000$ ta được kết quả $2000i+2999999=2mx+3{{m}^{2}}-1.$

Vậy $rx+s=2mx+3{{m}^{2}}-1.$ Do đó $P(x)=(x-m+1)({{x}^{2}}+2mx+3{{m}^{2}}-1).$

Phân tích nhân tử cho đa thức bậc bốn có chứa tham số

Đa thức bậc bốn $P(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ có nghiệm kép $x={{x}_{0}}$ khi đó $P(x)=a{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}({{x}^{2}}+rx+s)$ để tìm nhân tử ${{x}^{2}}+rx+s$ ta thực hiện như sau:

MODE 2(Vào môi trường số phức)

Nhập $\dfrac{P(x)}{a{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}}-{{x}^{2}}$ và CALCvới $x=i(ENG)$ và tham số $m=1000$

Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức $P(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-(4{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+2m)x+3{{m}^{4}}-2{{m}^{3}}+{{m}^{2}}.$

Giải. Đa thức $P(x)$ có nghiệm kép $x=m$ do đó $P(x)={{(x-m)}^{2}}({{x}^{2}}+rx+s)$ ta tìm $rx+s$ như sau:

MODE 2

Nhập $\dfrac{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-(4{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+2m)x+3{{m}^{4}}-2{{m}^{3}}+{{m}^{2}}}{{{(x-m)}^{2}}}-{{x}^{2}}$

CALC với $x=i(ENG);m=1000$ ta được kết quả $1999i+2998001=(2m-1)x+3{{m}^{2}}-2m+1.$

Vậy $rx+s=(2m-1)x+3{{m}^{2}}-2m+1.$ Vậy $P(x)={{(x-m)}^{2}}({{x}^{2}}+(2m-1)x+3{{m}^{2}}-2m+1).$ 

Bài viết gợi ý:

1. Các dạng toán Lãi suất kép

2. công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp

3. Công Thức Giải Nhanh Tam Giác Cực Trị Hàm Trùng Phương

4. 50 Đề ôn Học Kì Toán Lí Hóa Sinh Anh Có Giải Chi Tiết

5. Các dạng vận dụng cao của bài toán xét tính đơn điệu của hàm số

6. Chuyên đề: Tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện.

7. Chuyên đề: Tích phân hàm ẩn.