Phép Tịnh Tiến - Phép Dời Hình - O₂ Education

Phép tịnh tiến – Phép dời hình

1. Phép tịnh tiến

1.1. Phép tịnh tiến là gì?

Trong mặt phẳng, cho vector $ \vec{v}, $ phép tịnh tiến theo vector $ \vec{v} $ là một phép biến hình biến mỗi điểm $ M $ thành điểm $ M’ $ thỏa mãn \[ \overrightarrow{MM’} = \vec{v}. \]

Ví dụ. Cho tam giác ABC, dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ $\overrightarrow{BC}$.

• Giả sử qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{BC}$, điểm $A$ biến thành điểm $D$ thì điểm $D$ phải thỏa mãn: $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$$ Nghĩa là điểm $D$ phải ở vị trí như trong hình vẽ (chính là đỉnh của hình bình hành $ABCD$).

• Tương tự ta dựng được điểm $E$ là ảnh của $C$ qua phép tịnh tiến đó ($E$ thuộc đường thẳng $BC$ sao cho $C$ là trung điểm $BE$).
• Hiển nhiên ảnh của $B$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{BC}$ là $C$.

Tóm lại, ảnh của tam giác $ABC$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\overrightarrow{BC}$ là tam giác $DCE$ như trên hình vẽ.

1.2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

Điểm $M'(x’,y’)$ được gọi là ảnh của điểm $ M(x,y) $ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}=(a,b)$ khi và chỉ khi $$ \overrightarrow{MM’}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=x+a \\ y’=y+b \end{array} \right.$$

Kí hiệu: $ M’={\text{T}_{\vec{v}}}(M). $

1.3. Tính chất của phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến có tính chất:

• Biến hai điểm $ M,N $ thành $ M’,N’ $ thì $ M’N’=MN. $

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự giữa các điểm.

Do đó, phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

2. Phép dời hình

Định nghĩa. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Ví dụ. Phép tịnh tiến lầ một phép dời hình.

Tính chất của phép dời hình

Phép dời hình biến:

• Đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, tia thành tia.
• Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự giữa các điểm.
• Đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
• Góc thành góc bằng nó.
• Tam giác thành tam giác bằng nó.

3. Các dạng toán phép tịnh tiến, phép dời hình

3.1. Xác định toạ độ ảnh của phép tịnh tiến

Phương pháp. Chúng ta sử dụng biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

Cho vectơ $\vec{v}=(a,b)$ thì $ M’={\text{T}_{\vec{v}}}(M) $ khi và chỉ khi $$ \overrightarrow{MM’}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=x+a \\ y’=y+b \end{array} \right.$$

Ví dụ 1. 

1. Cho các điểm $ A(-1,2),B(0,1),C(3,-1) $ và vector $ \vec{v}=(-2,3). $ Tìm ảnh của các điểm trên qua phép tịnh tiến theo $ \vec{v}.$
2. Viết phương trình đường thẳng $ d’ $, là ảnh của đường thẳng $d : 2x + 3y – 1 = 0 $ qua phép tịnh tiến theo vector $\vec{a}=(3,1)$.

Hướng dẫn. 

1. Gọi $ A'(x’;y’)$ là ảnh của $A$ qua $\text{T}_{\vec{v}} $ thì ta có $$ \overrightarrow{AA’}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=-1-2 \\ y’=2+3 \end{array} \right.$$ hay $ A'(-3;5)$. Làm tương tự được đáp số $B'(-2,4),C'(1,2)$.
2. Gọi $d’$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}$.
   • Theo tính chất thì $d’$ song song hoặc trùng với $d$ nên có phương trình dạng $d’: 2x+3y+c=0$.
   • Tiếp theo, ta lấy một điểm bất kì thuộc $d$, giả sử là $M(2;-1)$ thì ảnh của nó là $M’$ phải thuộc vào đường thẳng $d’$. Dễ dàng tìm được $M'(5;0)$. Thay toạ độ $M’$ vào phương trình $d’$ tìm được $c= -10$.
   • Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là $d’:2x+3y-10=0$.

Cách khác. Có $d’$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}$. Với điểm $M(x;y)$ điểm bất kì thuộc đường thẳng $d$, qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}$ biến thành điểm $M'(x’;y’)$ thì điểm \( M’ \) phải thỏa mãn hai điều kiện:

• Điểm \( M’ \) thuộc đường thẳng $d’$;
• Toạ độ của \( M’ (x’;y’)\) thỏa mãn \( x’=x+ 3, y’=y+1\).

Từ \( x’=x+ 3, y’=y+1\) suy ra \( x=x’-3, y=y’-1 \) hay toạ độ điểm $M(x’-3;y’-1)$. Mà $M$ thuộc đường thẳng $d$ có phương trình $2x + 3y – 1 = 0$ nên thay vào ta được $$ 2(x’-3)+3(y’-1)-1=0 $$ $$\Leftrightarrow 2x’+3y’-10=0 $$ hay phương trình đường thẳng $d’$ cần tìm chính là $2x+3y-10=0$.

Lưu ý: Khi tính toán ta dùng kí hiệu $ x’,y’ $ để tìm mối quan hệ giữa các thành phần tọa độ $ x’,y’ $ của một điểm $ M’, $ còn kết luận về tập hợp các điểm $ M’ $ thì phải dùng kí hiệu $ x,y. $

Ví dụ 2. Viết phương trình ảnh $ (C’) $ của đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}=(-2;1)$.

Đáp số. $(C’):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-7=0.$

Ví dụ 3. Cho đường thẳng $ d:2x-3y+1=0 $ và đường tròn $ (C):(x-3)^2+(y+2)^2=1.$ Tìm ảnh của đường thẳng $ d$ và đường tròn $ (C) $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \vec{v}(-2,4). $

Đáp số.  $ d’: 2x-3y+17=0$, $(C’):(x-1)^2+(y-2)^2=1. $

Ví dụ 4. Cho đường thẳng $ \Delta $ cắt hai trục $ Ox,Oy $ tại $ A(-1,0) $ và $ B(0,2). $ Hãy tìm ảnh $ \Delta’ $ của $ \Delta $ qua phép tịnh tiến theo $ \vec{u}(2,-1). $

Đáp số.  $ \Delta’:2x-y-3=0. $

Ví dụ 5. Cho hàm số $ y=\cos x $ có đồ thị là $ (C) $. Viết phương trình ảnh $ (C’) $ của $ (C) $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \vec{v}(\frac{\pi}{2},0) $.

Hướng dẫn. Điểm $ M(x,y)\in (C) $ qua phép tịnh tiến theo $\vec{v} $ biến thành $ M'(x’,y’) $ khi và chỉ khi $$ \begin{cases} x’=x+\frac{\pi}{2} \\y’=y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x’-\frac{\pi}{2} \\y=y’ \end{cases} $$ Suy ra toạ độ điểm $M\left(x’-\frac{\pi}{2};y’\right)$. Ta có $ M$ thuộc đồ thị $ (C):y=\cos x $ khi và chỉ khi $y’=\cos(x’-\frac{\pi}{2}) \Leftrightarrow y’=\sin x’$.

Như vậy, ta luôn có $y’=\sin x’$ hay $ M’ $ thuộc đồ thị hàm số $ y=\sin x $. Vậy đồ thị của hàm số $ y=\cos x $ qua phép tịnh tiến theo $ \vec{v} $ thì biến thành đồ thị của hàm số $ y=\sin x. $

Ví dụ 6. Qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \vec{v}(-1,3) $ thì đường thẳng $ \Delta $ biến thành đường thẳng $ \Delta’:2x-5y+6=0. $ Hãy tìm phương trình của đường thẳng $\Delta$.

Đáp số $ \Delta: 2x-5y-11=0. $

3.2. Xác định phép tịnh tiến

Phương pháp. Chúng ta cần chỉ ra được véc-tơ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm \( A(1;2) \) và điểm \( B(5;3) \). Xác định phép tịnh tiến biến điểm \( A \) thành điểm \( B \). Hướng dẫn. Chính là phép tịnh tiến theo véc-tơ \( \overrightarrow{AB}(4;1) \).

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm \( A(1;2) \) và điểm \( B(5;3) \). Xác định phép tịnh tiến biến điểm \( B \) thành điểm \( A \). Hướng dẫn. Phép tịnh tiến theo véc-tơ \( \overrightarrow{BA}(-4;-1) \).

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai parabol \( (P): y=x^2 \) và \( (Q):=x^2+2x+2 \). Tìm phép tịnh tiến biến \( (P) \) thành \( (Q) \).

Hướng dẫn. Gọi véc-tơ tịnh tiến là \( \vec{v}(a;b) \). Lấy điểm \( M(x;y) \) bất kì thuộc parabol \( (P) \).

Qua phép tịnh tiến cần tìm, \( M \) biến thành \( M'(x’;y’) \) thuộc parabol \( (Q) \) thì ta có $$ \begin{cases} x’=x+a\\y’=y+b \end{cases} $$ mà \( M’ \) thuộc \( (Q) \) nên suy ra $$y+b (x+a)^2+2(x+a)+2 $$ Thu gọn phương trình này ta được $$ y=x^2+2(a+1)x+a^2+2a+2-b $$ Phương trình này phải trùng với phương trình của parabol \( (P) \) nên ta có $$ \begin{cases} 2(a+1)=0\\ a^2+2a+2-b=0 \end{cases} $$ Giải hệ này tìm được \( a=-1;b=-1 \). Kết luận. Phép tịnh tiến cần tìm là phép tịnh tiến theo véc-tơ \( \vec{v}(-1;-1) \).

3.3. Các bài toán dựng hình, chứng minh tính chất hình học

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $ có trọng tâm $ G. $ Hãy dựng ảnh của điểm $ A, $ đoạn thẳng $ AB $ qua phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{GB}} $; ảnh của tam giác $ ABC $ qua phép tịnh tiến $ \text{T}_{2\overrightarrow{GA}}? $

Ví dụ 2.  Cho hình bình hành $ ABCD$ có hai điểm $ A,B $ cố định, tâm $ I $ của hình bình hành di động trên đường tròn $(C)$. Tìm quỹ tích trung điểm $ M $ của cạnh $BC$.

Hướng dẫn. Gọi $ J $ là trung điểm cạnh $AB$ thì $ J $ cố định và $ \overrightarrow{JB}=\overrightarrow{IM}. $ Do đó $ M $ là ảnh của điểm $ I $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \overrightarrow{JB}. $ Suy ra quỹ tích trung điểm $ M $ của cạnh $BC$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \overrightarrow{JB}. $

Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ABCD$ có đỉnh hai $ A, B $ cố định và độ dài đoạn $ AC=a $ không đổi. Tìm quỹ tích đỉnh $ D $ khi $ C $ di động.

Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{BA}} $ biến điểm $ B\mapsto A, C\mapsto D,A\mapsto A’. $ Mà $ C $ thuộc đường tròn $ (A,a) $ nên $ D $ sẽ thuộc đường tròn $ (A’,a) $ trong đó $ A’ $ là ảnh của $ A $ qua $ \text{T}_{\overrightarrow{BA}} $.

Ví dụ 4. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng đường thẳng $ d$ song song với $ BC $ và cắt $ AB $ ở $ D, $ cắt $ AC $ ở $ E $ sao cho $ AD=CE. $

Hướng dẫn.

• Phân tích. Giả sử dựng được đường thẳng $ d$ thỏa mãn yêu cầu. Xét phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{ED}} $ biến điểm $ C $ thành điểm $ H. $ Suy ra $ DH=EC=AD $ hay tam giác $ ADH $ cân tại $ D. $ Như vậy, $ \widehat{DHA}=\widehat{DAH} $ mà $ \widehat{DHA}=\widehat{HAC} $. Dẫn tới $ \widehat{DAH}=\widehat{HAC} $ hay $ AD $ là phân giác góc $ \widehat{BAC} .$
• Cách dựng.
  • Dựng tia phân giác $ Ax $ của $ \widehat{BAC} $ cắt $ BC $ tại $ H. $
  • Qua $ H $ dựng đường thẳng song song với $ AC $ cắt $ AB $ tại $ D $.
  • Qua $ D $ dựng đường thẳng $ d $ song song với $ BC $ cắt $ AC $ tại $ E. $
  • Đường thẳng $ d $ là đường thẳng cần dựng.
• Chứng minh.
• Biện luận. Bài toán có một nghiệm hình.

Ví dụ 5. Cho hai đường thẳng $ a,b $ và đoạn thẳng $ MN $ cố định. Hãy xác định điểm $ H $ trên đường thẳng $ a, $ điểm $ K $ trên đường thẳng $ b $ sao cho tứ giác $ MNHK $ là một hình bình hành.

Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{MN}} $ biến đường thẳng $ b $ thành $ b’ $. Khi đó, ta có ba khả năng:

• Nếu $ b’ $ và $ a $ cắt nhau thì giao điểm chính là điểm $ H $ cần tìm. Từ đó dựng được hình bình hành $ MNHK $. Bài toán có một nghiệm hình.
• Nếu $ b’ $ và $ a $ trùng nhau thì có thể lấy $ H $ là một điểm bất kì trên đường thẳng $ a $. Từ đó dựng được hình bình hành $ MNHK $. Bài toán có vô số nghiệm hình.
• Nếu $ b’ $ và $ a $ song song thì không thể dựng được hình bình hành $ MNHK $ thỏa mãn yêu cầu. Bài toán không có nghiệm hình.

Ví dụ 6. Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ C. $ Hai điểm $ M,N $ thay đổi $ M\in CA,N\in CB $ sao cho $ CM+CN=CA $. Chứng minh trung điểm $ I $ của $ MN $ chạy trên một đường thẳng cố định.

Hướng dẫn. Chúng ta sẽ đặc biệt hóa để phát hiện ra quỹ tích của điểm $ I $. Khi $ M $ trùng $ C $ thì $ N $ sẽ trùng $ B $ và $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tương tự, khi $ M $ trùng $ A $ thì $ N $ trùng $ C $ và $ I $ là trung điểm của $ AC $. Do đó, ta dự đoán quỹ tích sẽ là đường trung bình của tam giác $CAB$. Để chứng minh điều trên, ta phải chỉ ra $ I $ là trung điểm của đoạn thẳng $ CE $ trong đó $ E $ là một điểm bất kì trong đoạn $ AB $. Thật vậy, xét phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \overrightarrow{CM} $ có $ C\mapsto M, N\mapsto E $ sao cho $ CMEN $ là hình bình hành. Chứng minh được điểm $ E $ nằm trong đoạn $ AB $ và $ I $ là trung điểm của $ CE $. Như vậy $ I $ sẽ di động trên đoạn thẳng trung bình của tam giác $ CAB. $

Ví dụ 7. Hai thành phố $ A $ và $ B $ nằm ở hai phía của một dòng sông. Hãy chọn một địa điểm để xây cầu bắc qua sông sao cho quãng đường đi giữa hai thành phố là nhỏ nhất. Giả sử hai bờ sông song song với nhau và cầu nằm vuông góc với các bờ sông.

Hướng dẫn. Tịnh tiến điểm $ B $ theo một véc-tơ có hướng vuông góc với bờ sông và độ dài bằng chiều rộng của sông.

Ví dụ 8. Cho hình vuông $ ABCD, $ lấy $ E $ là điểm trong hình vuông sao cho tam giác $ CDE $ cân tại $ E $ và góc ở đáy là $ 15^\circ $. Chứng minh tam giác $ ABE $ đều.

Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến theo $ \overrightarrow{AD} $ biến điểm $ E $ thành điểm $ F. $ Ta đi chứng minh $ \Delta CDF $ đều.