Phương Pháp đổi Biến Số Tìm Nguyên Hàm - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (3 trang)

Trang chủ

Giáo Dục - Đào Tạo

Trung học cơ sở - phổ thông

phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (136.02 KB, 3 trang )

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNGFacebook: LyHung9503. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vnVIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VNDẠNG 1. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ ĐƠN GIẢNPhương pháp giải:Nếu hàm f(x) có chứang ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x) → n.t n −1 = g '( x)dxKhi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx.MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:a) I1 =∫xdx4x + 1∫b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx∫c) I 3 =x 2 dx1− xLời giải:2tdt = 4dx2a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1 →→ I1 =t 2 − 1 x=431  t31  (4 x + 1)=  −t+C = − 4 x + 1  + C.8 383∫t 2 − 1 tdt.xdx42 = 1 (t 2 − 1)dt=t84x + 1∫∫b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2 → x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt → x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt()(5)3x2 + 22 x2 + 2t5t323242Khi đó I 2 =x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C =−+C53532dx = −2tdt1 − t 2 .tdtx 2 dx22c) Đặt t = 1 − x ⇔ t = 1 − x ⇔ x = 1 − t → 2→ I3 == −22 2t1− x x = 1 − t (1 − x)5 2 (1 − x)32 t 5 2t 3= −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2  −+ t  + C = −2 −+ 1− x  + C3535∫ (∫)∫()(∫()Khi đó I 2 =∫∫(∫)∫())∫ ()x 2 + 2 .x 3 dx = t. t 2 − 2 tdt =∫ (t4− 2t 2)t5t3dt = − 2. + C =53(x2+2)5−52(x23+2)3+ C.Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:a) I 4 =∫ln x dxx 1 + ln xb) I 5 =∫ln 2 x dxx 3 2 − ln xc) I 6 =∫ln x 3 + 2ln x dxxLời giải:()ln x = t − 1t 2 − 1 .2tdtln x dx→  dx→ I4 ==a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t 2 = 1 + ln x t1 + ln x x = 2tdtx (1 + ln x)3 t32 (1 + ln x)3= 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2  − t  + C = 2 − 1 + ln x  + C → I4 =− 2 1 + ln x + C .3332∫∫Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNGFacebook: LyHung95ln x = 2 − t 3ln 2 x(2 − t 3 ) 2 .3t 2 dtdx.b) Đặt t = 3 2 − ln x ⇔ t 3 = 2 − ln x →  dx→I==523t2 − ln x x = 3t dt x 3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5 t 8 4t 5= 3∫ ( t 7 − 4t 4 + 4t ) dt = 3  −+ 2t 2  + C = 3 −+ 2 3 (2 − ln x)2  + C5858t2 − 3lnx=2c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x → 2dx = 2tdt x∫Từ đó ta có I 6 =∫∫ t2 − 3 ln x 3 + 2ln x dxdx1= ln x 3 + 2ln x .=  .t.tdt =xx2 2 ∫1  t5t5 t3=  − t3  + C = − + C =2 510 2∫( 3 + 2 ln x )510( 3 + 2ln x )3−2∫ (t4)− 3t 2 dt( 3 + 2ln x )5+ C → I6 =10( 3 + 2ln x )3−2+ C.Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:a) I 7 =dx∫b) I8 =e −1xe 2 x dx∫(ex)+1∫xc) I 9 =3dxd) I10 =x +42∫xdxx4 + 1Lời giải:e x = t 2 − 1x2e=t−1→ x←→a) Đặt t = e x − 1 ⇔ t 2 = e x − 1 2tdte dx = 2tdtdx = 2t −1dx2tdt2dt2dt(t + 1) − (t − 1)dtdtKhi đó I 7 === 2==dt =−2x(t−1)(t+1)(t−1)(t+1)t−1t+1t.(t − 1)t −1e −1∫∫∫= ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln∫t −1+ C = lnt +1ex −1 −1ex − 1 + 1∫=∫(t2)− 1 .2tdtt3=2∫ex −1 − 1+ C → I 7 = lne x = t 2 − 1b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1 → x→ I8 =e dx = 2tdt2x∫x∫ex −1 + 1e 2 x dx(ex)+13=∫∫+ C.e x .e x dx(ex)+13=∫(t2)− 1 .2tdtt3 xt2 −1dt 1  1dt=2dt−=2t++C=2e+1+ + C .t2t2  tex + 1 ∫∫ x2 = t 2 − 4 x 2 = t 2 − 4→←→  dx xdxc) Đặt t = x + 4 ⇔ t = x + 4 tdt2 xdx = 2tdt = 2 = 2xt −4xdx1dx1 tdtdt1 (t + 2) − (t − 2)1  dtdt Khi đó, I 9 === . 2= 2=dt = −22t t −44 t −2t +2t − 4 4 (t + 2)(t − 2)x x +4x +4 x2∫=22∫∫11 t−21ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = ln+ C = ln(44 t+24∫∫x2 + 4 − 2x2 + 4 + 2∫+ C → I9 =1ln4x2 + 4 − 2x2 + 4 + 2∫+ C. x4 = t 2 − 142x=t−1d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1 → 3←→  dx x3 dxtdt 4 x dx = 2tdt = 4 =x2(t 2 − 1)xdx1dx1 tdt1 dt1 (t + 1) − (t − 1)Khi đó, I10 ==. = . 2==dt244t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1)x x +1x +1 x∫∫∫∫∫Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG1  dtdt  11 t −11= −+ C = ln = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln4  t −1t +1 44 t +14∫Facebook: LyHung95x4 + 1 − 1∫x4 + 1 + 1+ C.Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:a) I11 =dx2 − 5x∫1+c) I13 = ∫b) I12 =x 3 dxd) I14 =4 + x23x dx∫1−2 + x21 + 4ln 2 x ln xdxx∫Lời giải:2tdt5dx2 t dt2 1+ t −12 1 2Khi đó, I11 ==−=−dt = − 1 − dt = − ( t − ln t + 1 ) + C5 1+ t5 1+ t5  1+ t 51 + 2 − 5x2→ I11 = −2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C .5a) Đặt t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx → dx = −∫∫∫(∫)b) Đặt t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx → xdx = tdtx dxt dt1 − (1 − t )d (1 − t ) 1Khi đó, I12 ===dt = − 1 dt = −− dt = − ln 1 − t − t + C21− t1− t1− t1− t 1− 2 + x∫∫∫∫∫∫→ I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C .x2 = t3 − 423x=t−43c) Đặt t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2 → 2←→→ x3 dx = t 3 − 4 t 2 dt3t 2 dt 2 xdx =3t dt = 2 xdx2(→ I13 = ∫323 ( t − 4 ) t dt 3 4= ∫= ∫ ( t − 4t ) dt =t24 + x2 2x 3 dx333  t52−2t+C=2 5d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ←→ 2tdt = 4.2ln x.→ I14 =∫∫(4 + x )2 510−33 ( 4 + x2 )42+ C.dxln x dx tdt→=xx4ln x dxtdt 1 2t31 + 4ln 2 x= t.=t dt = + C =x4 412∫3)(1 + 4 ln x )3212+ C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP4 − 3xdxx +11) I1 = ∫x +1dxxxdx5) I 7 = ∫1 + 2x −17) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx3) I 3 = ∫9) I 9 = ∫x 3 dx311) I11 = ∫4) I 4 =∫1+2x3 x 2 + 4e 2 x dx1+ e −1xdx1 + 3x6) I 6 = ∫ x 3 1 − x 2 dx8) I 8 = ∫ x 2 3 − 2 x dx10) I10 = ∫1+ xdx13) I13 = ∫xdx2x + 12) I 2 = ∫dxx x3 + 11 + 3ln x ln x12) I12 =dxx∫14) I14 = ∫(dxx 1+ x)2Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!