Phương Pháp Quy Nạp Toán Học Ví Dụ Về Phương Pháp ... - KhoiA.Vn

Bài viết này, các em sẽ được giới thiệu với về phương pháp quy nạp toán học với các bước giải cụ thể và chi tiết, các ví dụ minh họa về phương pháp quy nạp để các em dễ hiểu hơn.

I. Phương pháp quy nạp toán học

* Bài toán:

Gọi P(n) là một mệnh đề chứa biến n (n ∈ N*). Chứng minh P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ∈ N*.

* Phương pháp quy nạp toán học

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = 1.

- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k ≥ 1, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k + 1.

> Chú ý:

Đối với bài toán chứng minh P(n) đúng với mọi n ≥ p với p là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n = p.

- Bước 2: Với k ≥ p là một số nguyên dương tùy ý, giả sử P(n) đúng với n = k, chứng minh P(n) cũng đúng khi n = k + 1.

II. Ví dụ về phương pháp quy nạp

* Ví dụ 1 (Câu hỏi 1 trang 80 SGK Toán 11 Đại số): Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3n < n + 100” và Q(n): "2n > n" với n ∈ N*.

a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

> Lời giải:

a) Xét P(n) : “3n < n + 100”:

- Với n = 1, P(1) trở thành: "31 < 1 + 100".

 Mệnh đề đúng vì 31 = 3 < 1 + 100 = 101.

- Với n = 2, P(2) trở thành: "32 < 2 + 100".

 Mệnh đề đúng vì 32 = 9 < 2 + 100 = 102.

- Với n = 3, P(3) trở thành: "33 < 3 + 100".

 Mệnh đề đúng vì 33 = 27 < 3 + 100 = 103.

- Với n = 4, P(4) trở thành: "34 < 4 + 100".

 Mệnh đề đúng vì 34 = 81 < 4 + 100 = 104.

- Với n = 5, P(5) trở thành: "35 < 5 + 100".

 Mệnh đề sai vì 35 = 243 > 5 + 100 = 105.

• Xét Q(n): "2n > n".

- Với n = 1, Q(1) trở thành: "21 > 1".

 Mệnh đề đúng vì 21 = 2 > 1.

- Với n = 2, Q(2) trở thành: "22 > 2".

 Mệnh đề đúng vì 22 = 4 > 2.

- Với n = 3, Q(3) trở thành: "23 > 3".

 Mệnh đề đúng vì 23 = 8 > 3.

- Với n = 4, Q(4) trở thành: "24 > 4".

 Mệnh đề đúng vì 24 = 16 > 4.

- Với n = 5, Q(5) trở thành: "25 > 5".

 Mệnh đề đúng vì 25 = 32 > 5.

b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) thì nhận thấy

- P(n) không đúng với mọi n ∈ N* (sai với n = 5).

- Q(n) luôn đúng với mọi n ∈ N*.

* Ví dụ 2 (Câu hỏi 2 trang 81 SGK Toán 11 Đại số): Chứng minh rằng với n ∈ N* thì:

 

> Lời giải:

- Khi n = 1 thi ta có: VT = 1.

 

⇒ VT = VP , do đó đẳng thức đúng với n = 1.

- Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:

  

- Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

 

 - Từ giả thiết quy nạp ta có:

 

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*