Thế Nào Là Chứng Minh Quy Nạp Toán Học?

Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay, vì nó hay nên nó khó là một chuyện hiển nhiên. Đây là dạng toán mà các bạn học sinh lớp 11 gặp khá nhiều khó khăn khi mới tiếp xúc với chúng. Vì vậy trong bài viết này thầy sẽ làm rõ cho chúng ta thấy thế nào là chứng minh quy nạp toán học? và việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện ra sao?

1. Bài toán chứng minh quy nạp

Giả sử có 1 mệnh đề chứa biến $P_{(n)}$ với n là số tự nhiên. Ta cần phải chứng minh mệnh đề chứa biến $P_{(n)}$ là một mệnh đề đúng. .

Tại sao phải dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh? Để trả lời câu hỏi này, ta xét các ví dụ sau:

Xem thêm bài giảng:

• Bài tập chứng minh chia hết bằng qua nạp có lời giải
• Bài tập chứng minh đẳng thức bằng quy nạp có lời giải

Ví dụ 1:

Giả sử có một con Mèo A (bị nói lắp) đến tán một em Mèo B và bị một vài anh mèo hàng xóm thấy được. Mấy anh mèo hàng xóm cãi nhau và đưa ra kết luận “Thằng này nói lắp chắc chắn bố mẹ nó cũng bị nói lắp”.

Các bạn thấy mấy chú mèo hàng xóm kết luận như vậy có đúng không? Nếu không đúng thì làm thế nào để có thể kết luận đúng?

Phân tích:

Mấy chú Mèo hàng xóm kết luận như vậy là chưa hợp lý vì đã kiểm tra đâu mà biết được bố mẹ chú mèo A này bị nói lắp

Muốn có kết luận đúng chúng ta cần phải kiếm tra bằng cách tới tận nhà và nói chuyện với bố mẹ chú mèo A. Việc kiểm tra này hoàn toàn có thể thực hiện được vì số lượng bố mẹ của mèo A này chỉ là 2 con.

Ví dụ 2:

Người ta kiểm tra một quần thể Kiến và thấy thế hệ đầu tiên bị bệnh ung thư. Họ kết luận rằng: Tất cả các con kiến ở mọi thế hệ đều bị ung thư.

Kết luận như vậy có đúng không? Để có kết luận đúng thì ta phải làm thế nào?

Phân tích:

Kết luận như vậy là không thể chính xác được vì chúng ta chưa kiểm tra các con kiến ở thế hệ sau xem có mắc bệnh không.

Nhưng việc kiểm tra các con kiến ở những thế hệ sau có thực hiện được không? Thưa các bạn là không thể kiểm tra được vì quần thể kiến là vô số, do đó chúng ta không thể kiếm tra từng con kiến như kiểm tra 2 con mèo trong ví dụ 1 được.

Vậy để có một kết luận đúng ta làm như sau:

• Kiểm tra thế hệ thứ nhất (đời F1) với n=1
• Chứng minh sự di truyền của bệnh ung thư. Tức là chứng minh rằng nếu bố mẹ bị bệnh thì đời con ($n=k \geq 1$) cũng bị bệnh. Từ đó suy ra rằng mọi thế hệ sau của quần thể kiến ($n=k+1$) cũng bị bệnh vì do có tính di truyền ta đã chứng minh ở trên.

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

$1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n^2$  (1)

Phân tích:

• Với ví dụ 1 ta có thể đem từng con mèo bố và mèo mẹ đi thử (đi xét nghiệm) được. Nếu áp dụng cách làm như ví dụ 1 tức là đem từng số nguyên dương n và thay thế vào đẳng thức (1) xem có thỏa mãn không? Nếu thỏa mãn hết thì ta có kết luận đúng. Nhưng các bạn thấy tập số nguyên dương n là vô hạn, do đó ta không thể thay từng giá trị n vào được. Việc này là không thể nên không áp dụng cách làm theo ví dụ 1 được.
• Xét với ví dụ 2 ta thấy có sự giống nhau, quần thể kiến là vô hạn cũng tương đương với tập số nguyên dương n cũng có vô hạn phần tử. Vậy ta có thể làm như sau:

Các bước thực hiện:

Giả sử coi mệnh đề (1) là một tính trạng (tính chất) của quần thể (tập hợp) số nguyên dương. Để chứng minh quần thể số nguyên dương đều có tính chất (1) ta làm như sau:

1. Kiểm tra tính trạng (tính chất) (1) với thế hệ thứ nhất (đời F1) với n=1
2. Chúng minh có tính chất di truyền. Tức là nếu tính trạng (tính chất) (1) đúng với n=k ($k\geq 1$) thì cũng sẽ đúng với $n=k+1$

Phương pháp chứng minh như vây gọi là chứng minh quy nạp.

Có những bài toán có thể kết luận được thông qua xét vài trường hợp cụ thể (phần tử hữu hạn), nhưng có những bài toán không thể từ vài trường hợp cụ thể mà ta có thể kết luận đúng cho cả bài toán (phần tử vô hạn). Do đó qua 3 ví dụ trên đã giải thích cho các bạn hiểu tại sao phải dùng phương pháp chứng minh quy nạp.

Cũng từ những ví dụ trên các bạn đã rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học rồi. Vâng, nếu đã hiểu rồi thì chúng ta sẽ tiến hành giải những bài toán áp dụng quy nạp toán học ra sao? Và ta có cách chứng minh tổng quát như sau:

2. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

a. Để chứng minh một mệnh đề $P_{(n)}$ đúng với mọi $n\in N^*$ thì ta thực hiện các bước sau đây:

• Kiểm tra mệnh đề đúng với $n=1$
• Giả sử mệnh đề đúng với $n=k (k\geq 1)$. Khi đó ta đưa ra được biểu thức $P_{(k)}$, đây gọi là giả thiết quy nạp.
• Với giả thiết $P_{(k)}$ đã đúng ở trên, ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$.

b. Để chứng minh một mệnh đề $P_{(n)}$ đúng với mọi $n \geq p $(p là số tự nhiên) thì ta thực hiện các bước sau đây:

• Kiểm tra mệnh đề đúng với $n=p$
• Giả sử mệnh đề đúng với $n=k (k\geq p)$. Khi đó ta đưa ra được biểu thức $P_{(k)}$, đây gọi là giả thiết quy nạp.
• Với giả thiết $P_{(k)}$ đã đúng ở trên, ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$.

Với phương pháp chứng minh ở trên thầy trò mình cùng nhau đi giải ví dụ 3 ở trên và làm thêm 1 vài ví dụ nữa ngay sau đây.

3. Bài tập áp dụng

Bài tập 1:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

$1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n^2$              (1)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xét với n=1 ta có: $VT = 1; VP = 1 \Rightarrow VT = VP$. Vậy (1) đúng với n=1.

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k, khi đó ta có:

$1 + 3 + 5 +…+ (2k-1) = k^2$            (2)            (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1. Tức là phải chứng minh:

$1 + 3 + 5 +…+ (2k-1) + [2(k+1)-1] = (k + 1)^2 $

$\Leftrightarrow 1 + 3 + 5 +…+ (2k-1) + (2k + 1) = (k + 1)^2$                    (3)

Ta có:                VT(3) =$1 + 3 + 5 +…+ (2k-1) + (2k + 1)$

= $k^2 + (2k + 1)$                  (theo (2))

= $k^2 + 2k + 1$

=$(k + 1)^2$

= VP(3)     (đfcm)

Vậy biểu thức (1) luôn đúng với n=k+1.

Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dương n ta luôn có: $1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) = n^2$

Bài tập 2:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + …+ n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$            (1)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xét với n=1 ta có: VT = 1^2 = 1; VP = $\frac{1(1 + 1)(2.1 + 1)}{6} =\frac{6}{6} = 1$

$\Rightarrow VT = VP$. Vậy (1) đúng với n =1.

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k ($k\geq 1$), khi đó ta có:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + …+ k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$       (2)     ( giả thiết quy nạp)

Bước 3: Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1. Tức là phải chứng minh:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + …+ k^2 + (k+1)^2= \frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$           (3)

Ta có:        VT(3) =$1^2 + 2^2 + 3^2 + …+ k^2 + (k+1)^2$

= $\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k+1)^2$            (theo (2))

= $\frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k+1)^2}{6}$

= $\frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k+1)^2}{6}$

= $\frac{(k + 1)[k(2k + 1) + 6(k+1)]}{6}$

= $\frac{(k + 1)(2k^2+7k+6)}{6}$

= $\frac{(k + 1)(k+2)(2k+3)}{6}$

= VP(3)

Vậy (1) đúng với n=k+1.

Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + …+ n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

Xem thêm bài giảng: Chứng minh đẳng thức bằng quy nạp

Trên đây là hai bài tập áp dụng chứng minh quy nạp mà thầy đã hướng dẫn chúng ta giải rất chi tiết. Để áp dụng được thành thạo cách làm cho dạng toán này thì các bạn cần nắm thật chắc phương pháp chứng minh ở trên. Vì bài viết cũng khá dài rồi nên thầy sẽ dừng lại ở 2 bài thôi, hẹn gặp lại các bạn những bài giảng sau. Pp

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Chứng minh rằng biểu thức sau đúng với mọi số nguyên dương n:

a. $1+2+3+…+n = \frac{n(n+1)}{2}$

b. $1.2+2.5+3.8+…+n(3n-1) = n^2(n+1)$

Bài 2: Chứng minh rằng:

a. $3^n > n^2+4n+5$ với số tự nhiên $n \geq 3$

b. $n^3+2n$ chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ