Phương Pháp Tính Giới Hạn Hàm Số đầy đủ (đại Học) - Tài Liệu Text

Tải bản đầy đủ (.pdf) (22 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Đại cương
>>
3. Toán cao cấp

Phương pháp tính giới hạn hàm số đầy đủ (đại học)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (412.81 KB, 22 trang )

Giới hạn hàm một biến Giới hạn của phần toán đại cương ở đại học sẽ có thêm nhiều công cụ mạnh mẽ giúp ta giải toán nhanh hơn, tuy nhiên có nhiều bài toán khó nhận dạng và đòi hỏi kết hợp nhiều phương pháp. Giới hạn hàm số là chương cơ bản nhất, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững để dễ dàng học tốt các phần mới hơn đó là tích phân suy rộng, chuỗi số,… Trong tài liệu này, mình sẽ tổng hợp các phương pháp giải toán, các ví dụ, bài tập cơ bản và hướng dẫn chi tiết. Có thể trong tài liệu có nhiều phần sai sót, mong các bạn thông cảm. Mình sẽ tóm tắt phương pháp tính giới hạn mới mẻ đó là qui tắc L’Hospitale để áp dụng vào các bài toán giới hạn. Phần này sẽ học kĩ hơn ở phép tính vi phân. Mục lục 1 Giới hạn hữu hạn 2 2 Giới hạn một phía 2 3 Các qui tắc tính giới hạn 2 3.1 Các phép toán trên giới hạn 2 3.2 Định lí kẹp giữa 4 3.3 Giới hạn của hàm hợp 5 4 Các dạng vô định 5 5 Giới hạn các hàm số sơ cấp 6 5.1 Giới hạn hàm lượng giác 6 5.2 Giới hạn của hàm số lũy thừa: 7 5.3 Giới hạn của hàm số mũ 7 5.4 Giới hạn của hàm số Logarith 8 5.5 Dạng vô định 1 8 ¥5.6 Một số dạng vô định mũ: 9 00,¥06 Vô cùng bé và vô cùng lớn 9 6.1 Khái niệm vô cùng bé, vô cùng lớn 9 6.2 Vô cùng bé 10 6.2.1 So sánh các vô cùng bé 10 6.2.2 Các vô cùng bé tương đương 11 6.2.3 Nguyên lí thay vô cùng bé tương đương 11 6.2.4 Nguyên lí ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao 12 7 Hàm số liên tục 12 7.1 Định nghĩa hàm số liên tục 13 7.2 Phân loại điểm gián đoạn 15 7.2.1 Điểm gián đoạn khử được 15 7.2.2 Điểm gián đoạn loại 1 15 7.2.3 Điểm gián đoạn loại 2 16 8 Khử các dạng vô định. Qui tắc Lôpitan (L’Hospitale) 16 8.1 Dạng vô định 0/0 16 8.2 Dạng vô định 16 /¥¥8.3 Các dạng vô định khác 16 9 Bài tập cơ bản và lời giải 19 Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 1 1 Giới hạn hữu hạn Trong phần này, ta sẽ không xét cách tính giới hạn bằng định nghĩa.  Sự tồn tại của ()limxxfx0và ()fx0 là độc lập với nhau.  Sự tồn tại của ()limxxfx0 chỉ phụ thuộc vào ()fx với những x khá gần x0 ()x¹0  Nếu () (),fxgxx="¹a thì () ()lim limxa xfxg=0x, với cac giới hạn trên đều tồn tại. Ví dụ: xét hàm số Ta có trong khi đó ()if 2.1 if 2xxgxxì¹ïï=íï=ïî()22lim lim 2xxgx x==()21g =2 Giới hạn một phía Ví dụ: Cho hàm số . Tính các giới hạn: ()()221if 11if 10if 0ìï-£ïïïï=+ -<£íïïï+>ïïîxxfx xxxp0-1. () ( ) ( )111lim lim 1 lim 1 2xxxfx x x -- -=-=-=- 2. ()() (12211lim 1 l mm ii 1lxxxxxfx++- = += +=)2 3. () () ()22200 0lim lim lim+ + =+=+=xx xfx x xppp 4. ()() ()02200lim 1 lim 1 1limxxxxfx x - -+= +== Định lí: Hàm số ()fx có giới hạn L tại xa= nếu và chỉ nếu các giới hạn một phía của nó tại đó cũng bằng L. Tức là: () () ()lim lim limxa xa xafxL fx fxL+-= = = Ví dụ: Cho hàm số ()4if 482 if 4xxfxxxìï->ï=íï-<ïî. Tính . ()4limxfxGiải: Hàm số ()fx có hai biểu thức khác nhau về hai phía của x=4 do đó để tính giới hạn ta cần tính các giới hạn một phía ()limxfx+4 và ()limxfx-4. Sau đó áp dụng định lí trên Ta có: () ()() ( )44 444lim lim 4 lim 4 0lim lim 8 2 0xx xxxfx x xfx x+ + +- -=-= -==-=. Do () () ()lim lim limxx xfx fx fx+ - =44 40=3 Các qui tắc tính giới hạn 3.1 Các phép toán trên giới hạn Nếu lim ( ) ,lim ( )xa xafxL gxM và k là một hằng số, m,n là các số nguyên thì Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 2 a. Phép cộng đại số: ]lim[xafxgx LM b. Phép nhân:  lim[ . ]xafxgxLM c. Phép chia: limxagxfxLM(nếu 0M) mmnnd. Lũy thừa: limxafxL nếu n chẵn,  0L  nếu n lẻ 0Le. Thứ tự: Nếu  fxgx thì LM 44lim 2,lim 3xxfx gxVí dụ 1: Giả sử rằng  tính các giới hạn sau: a.  4443 lim lim lim 3 3 3 0xxxgx gx b.  444lim )xg x x g xlim .lim 4.( 3 12xxx c.  22244lim lim 3 9xxgx gx 4444lim3lim 31lim lim121xxxxgxgxfx fx d.  Ví dụ 2: Cho a. 25lim 32xfxx tìm 2limxfx 25lim 32xfxgx gxx Giải: Đặt 25gx x f x Vậy ta có    222 2lim lim lim 2 lim5 3.0 5 5xxx xfx gx x   2 và 0limxfxx 2fxx tính 0limxfxb. Cho 0xlim20lim 2xfxgx gxx Giải: Đặt ó:Vậy ta c ,2fxfxxg xx Do đó: x gx 2000000lim fxlim .lim 0lim .lim 0xxxxx gxxgx Ví dụ 3 c giới hạn: a. limfxxxx: Tính cá222200 02293 1 1lim lim lim69393xx xxxxxxx  Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 3 b. 4422lim 2 6 lim 2 6 18xxxx xx   3.2 Định lí kẹp giữa Giả sử bất đới PxlimxaPxvĐể tính giới hạn của hàm số chứa căn thức là một đa thức: - có nghĩa - Áp dụng: Pxlim limxa xaPx Px Pa ẳng thức  fxgxhx thỏa mãn với mọi a (có thể x thuộc một khoảng chứa không thỏa mãn tại xa ). Khi đó:   lim lim lim xa xa xafxhxL gxL TVí dụ : a. Giả sử 3xux ính 223,xx .00limxux Giải: Ta có 2233,xu xx x 0. Mặt khác: iới hạn 2200lim 3 lim 3 33xxxxx 0limxub. Tính g 201lim sinxxx Giải: Ta có 11sin 1, 0xx ác vế của bấ  . Nhân c t đẳng thức với x2>0 ta được: 221sin2xxxx . Vì 2200lim lim 0xxxx  201lim sin 0xxx Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức dạng limxaPx AQxvới ột a 0: một lượng liên hợp :  ,Px Qxlà m đthức và  ,Pa AQa- Nhân tử và mẫu với Px A - Đơn giản các đa thức giống nhau ở tử và mẫu, áp dụng phép thế. Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 4 Áp dụng: Tính giới hạn 201lim sinxxx Giải: Ta có 21sin 1, 0xx nên: 220sin11sinxxxxxì V 00lim 0 lim 0xxx nên: 220011lim sin 0 lim sin 0xxxxxx ạn của hàm hợpVí dụ: Vì3.3 Giới h 222lim4xx và 24211lim sin lim sin22uxux  4 Các dạng vô định Loại Ví dụ 00  0.   0 00 0sinlimxxx 201lnlimcotxxx 01lim lnxxx 21lim tan2xxx cos22lim tanxxx 0limxxx Nếu xalimfxL thì limxafxL : Nếu lim 0xafx thì lim 0xafx (chỉ đúng duy nhất cho trường hợp này) Hệ quảNếu và 0limoxxux u0limuufuL thì limoxxfux L Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 5 1¥ 1lim 1xxx¥æö÷ç+÷ç÷çèø 5 Giới hạn các hàm5.1 Giới hạn hàm lượng giác số sơ cấp 0sinlim 1xxx Mở rộng, nếu thì: lim 0oxxuxsinlim 1oxxuxux Ví dụ 1: a) Vì 22sinlim 0 limxx2001xxx b) Vì 222220xx 00sin sinlim 0 lim lim . 1.0 0xxxxxxxx    c) Vì nên: 21lim 2 0xxx  22 222.xx2211sin 2 sin sin 22lim lim lim . lim 2 31212xxxx xx xxxxxxxxx     11xxd) Vì 1lim 1 0xx nên:  11 11sin 1 sin 1 sin 111lim lim lim .lim12111 1xxx xxxxxxxx x    : Tính giới hạn1. Ví dụ 2 : 201coslimxxx 21cos2sinxGiải: Ta có 2x, áp dụng: 222200 02sin sin1cos 1 122lim lim 2lim .1222.2xx xxxxxxx   01coslimxxx2. Giải: Tương tự ta có: Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 6 200 02sin sin1cos 122lixxm lim 2lim .sin 2. .0 0222.2xxxxxxxx   Ta thừa nhận hai kết quả giới hạn trên mà không cần tính lại: 0021cos 1 1cos*lim *lim 02xxxxxx 5.2 Giới hạn của hàm số lũy thừa: 00xxxx11111lim limnxxn Nếu thì: 0lim 0xxux0lim011111limxxuxuxux n Ví dụ: Tính các giới hạn: 1. nxxux3223011limxxxx Giải: 32 3223 20011 1111lim li1. .1133xxxxxx x x  2. m20x1silimxxn1xi: 2001sin1 1sin1sin 1 1lim lim . .1sin 2 2xxxx xx xxxxx  Giả 50112x3. limxxx  55 500 000050112 1 12 1111lim lim lim lim112 121 1lim 2lim 2. 12211216lim55111xx xxxxx2xxx xxxxxxxxxxxx           Giải: xx5.3 Giới hạn của hàm số mũ 0011*lim ln *lim 1xxxxaeaxx Nếu thì: 0lim 0xxuxPhóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 7 0011*lim *lim 1xx xxux uxaeuxaux Ví h các giới hạn: 1. dụ: Tín20limxxxeex 2Giải: 00x1lim lim 1xx xxee eex 2. xx2cosxex20limxx iải: 22 2G2xx22200 00coslim lim lim lim 122xxxx xxexxx  5.4 Giới hạn của hàm số Logarith cos 1 1 cos 1 311xe xe x0ln 1lim 1xxx Nếu lix thì: 0m 0xux0ln 1lim 1xxuxux các giới hạn: 1. Ví dụ: Tính 0ln 1 4limxxx Giải: 00xln 1 4ln 1 4lim lim 4 . 44xxx 2. xx0ln 1 sinlimxxx Giải: 00 00ln 1 sin xxxln(1 sin ) sin ln(1 sin ) sinlim lim . lim .lim 1sin sinxx xxxxx xxxx  3. 20ln coslimln 1xxx Giải: 2220ln coslim1x1cos11. . 1.1.1 2 2ln 11xxxxxcos x 5.5 g vô định Nếu và thì: 1¥ Dạn0lim 1xxux()0limxxvx=¥Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 8 ()()() ()001lim .limxxxxu vxvxxeuxộự-ờỳởỷ= Vớ d: Tớnh gii hn: 1sin1tanx1. 01sinx limxxGii: Ta cú dng vụ nh , ỏp dng cụng thc: 1Ơ0lim 11tan1sin11sin1ts.0in1sinxxxanlimxexxxxTa cú: 000111tan an sincoslim 1 lim 01 sin .sin 1 sixxxxxxxx xx x 1 t. limsin 1 sinxn1sin001tanlimxVy 11sinxxex 2. 123lim21xxxƠỗữỗốứ+xổử+ữỗữ ng nờn: +Gii: Ta cú d vụ nh 1Ơ()()123m23lim21xxx+Ơổửỗữỗữỗốứ+21li1 . 1lim12121xxxxxxxxeeeeƠƠổử++ữỗ-+ữỗữữỗốứ+++ữ==== 5.6 dng vụ nh m: i vi dng ny ta ỏp dng cụng thc: 000,Ơ Mt s()()() ()00lim .lnlimxxvxvxuxxxeux= Sau ú ỏp dng cỏc gii hn ó bit. 6 gõy l khỏi nim quan trng giỳp ta gii quyt cỏc bi toỏn gii hn phc tp 6.1 Khỏi nim vụ cựng bộ, vụ cựng ln Vụ cựng bộ v vụ cựn ln nu ()0lim 0xxx= Hm s ()x c gi l ụ c nv ự g bộ khi 0xx() Hm s ()x c gi l vụ cựng ln khi nu 0limxx0xxx=+Ơ Nghch o ca mt vụ cựng bộ khỏc 0 l mt vụ cựng ln v nghch o ca mt vụ cựng ln l mt vụ cựng bộ. Vớ d 1. sinx l mt vụ cựng bộ khi vỡ 0lim sin 0xx= 0x Phúng to hn hoc dựng Foxit Reader hin th tt cụng thc 9 2. ln cosx là một vô cùng bé khi vì 0x 0x3. ()arctan 2x + là một vô cùng bé khi 2x - vì lim arctan 0x = lim ln cos 0x = 2x-4. 12x là một vô cùng lớn khi 0x  vì 20xx1lim=+¥ 15. sinx là một vô cùng bé khi 0x  nên sinxlà một vô khi 0x cùng lớn Tính 1. 6.2 Vô cùng bé Tích của một vô cùng bé và mộ l ợn bị t đại ư g chặn là một vô cùng bé. Ví dụ: giới hạn: sinlimxxx¥Giải: Ta không thể áp dụng giới hạn lượng giác vì không tiến về 0. x Nhận thấy: 1lim 0xx¥= nên 1 là vô cùng bé khi ¥ xx sin x£1, x"Î nên sinx là một đại lượng bị chặn  Do đó, 1.sinxx là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn nên 1.sinxx là một vô cùng bé khi x¥ Kết luận: silimn0xx¥= x2. 10lim .sinxxx Giải: Nhận thấy:  m 0x = nên 0lixx là vô cùng bé khi 0x 1sin 1 , 0x nên x£"¹1sin là một đại lượng bị chặn x1 1sinxx Do đó, sinxx là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn nên là cùng bé khiKết luận: một vôx 0 01lim .sin 0xxx= 6.2 sánh các vô cùng bé.1 So Cho () (),xx là hai vô cùng bé khi . Khi đó: x 0Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 10  Nếu ()()0lim 0xxx= thì () ()()xox= (()x là vô cùng bé bậc cao hơn ()x)  Nếu ()()limxxx=¥0 thì () ()()xox=(()x là vô cùng bé bậc cao hơn ()x) () Nếu ()limx0xAx= (A hữu hạn khác 0) thì () ()()xOx= (hai vô cùng bé đồng bậc).  Nếu ()()0lim 1xx= thì ta nói () (),xxx là hai vô cùng bé tương đương. Ký hiệu: () ()~xx 6.2.2 Các vô cùng bé tương đương ~ x khi khi 3. khi x1. sin x 0x  2. tan x 0x  ~ x()ln 1 ~+ xx 0x  4. 1~xe- khi 0x  11 ~.n1xxn+ khi 0x  5. -6. ()11~xx+- khi 7. 0x  21cos~x2x khi Nguyên lí thay vô cùng bé tương đương- 0x  6.2.3 ()()()() trong đó () ()~xx, Cho ,,,xxxx là các vô cùng bé khi xx0() ()~xx. Khi đó: ()()()()lim limxx xxxxxx=00 Ví dụ: Tính giới hạn: 012 1x+- 1. limtan3xx Khi Giải: 0x2 0xdo đó ()12.2xxx+- =11~2  do đó  Theo nguyên lí thay vô cùng bé tương đương ta được: Khi x03 0x  tan 3 ~ 3xx 0012 1 1lim limtan3 3 3xxxxxx+-== Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 11 sin01limln cosxxxex- 2. Giải:  Khi 0. H0sinxxx ơn nữa sin ~ .xxxx x=2, suy ra: sin 21~ sin ~xxexx- x2 Khi 0x  ta có cos 1 0x- và cos 1 ~2xx , suy ra: ()2ln cos ln 1 cos 1 ~ cos 1x~2xxx-éù=+ - -ëû  Theo nguyên lí thay vô cùng bé tương đương ta có: sin 22001lim lim 2ln cos2xxxxexxx-==- -6.2.4 Nguyên lí ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao Cho: trong đó () () () ()rx x x x =+++ () () (),,,xxx  . Giả sử ()x là các vô cùng bé khi xx0 là vô cùng bé bậc thấp nhất so với () (),,xx. Khi đó ()rx cũng là một vô cùng b quá trìnhé trong xx0 và () ()~rx x Ví dụ: tính giới hạn: 251. 340lisin 3 2 tanxx x++i: Khi ta có m36xxxx++ x  0 sin ,3xxGiả lần lượt là các vô cùng bé có bậc thấp nhất và duy nhất của tử thức và mẫu thức. ng nguyên lý bỏ quaÁp dụ các vô cùng bé bậc cao ta được: 253400sin 2tan sin 1m lim36 33xx x xxx x x++==++ 3lixx()22220limxxx+sin 5 tan ln 1arcsinxx xx++++ i: Khi ta có 2. x  0 sin5 ,xxGiả lần lượt là các vô cùng bé có bậc thấp nhất và duy nhất của tử thức và mẫu thức. guyênua các Áp dụng n lý bỏ q vô cùng bé bậc cao ta được: ()222200lim limarcsinxxxxx=++sin 5 tan ln 1sin55xx xxx+++= 7 Hàm số liên tục Sự tồn tại của ()0limxxfx()fx với những x khá gần x0 ()0x¹ chỉ phụ thuộc vào những Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 12 () Sự tồn a tại củ0limxxfx()0 và fx là độc lập với nhau. 7.11. Ta nói hàm số f liên tục tại x0 nếu Định nghĩa hàm số liên tục () ( )00limxxfxfx= ()lim2. Nếu 0xxfx3. Ta nói hàm số không tồn tại hoặc tồn tại nhưng khác f (x0) thì ta nói f gián đoạn tại x0. f nếu ()()liên tục phải tại 0x00xxlimfxfx= + nếu () ( )0limliên tục trái tại 4. Ta nói hàm số f0xfxfx= 0xx-ềĐi u kiện liên tục: í dụ: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm. ()fxHàm số f liên tục tại V 0x 1. ()1sin 1i 0ï+-ï¹ïïïxxf0ìïïïî00x = . Giải:  Ta có 1=íïïxfx tại if2=x() ()0012xfx fx===  ()00 01 sin 1lim lim lixfx+-=1 1 sin 1sinsinm.2xx xxxxxx +-= =  Suy ra () ( )02fx . Do đó 01limxfx==()fx liên tục tại 00x = 0x nếu và chỉ nếu liên tục trái và liên tục phải Mộ hàm số liên tục tại nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: t1. ()0fx tồn tại (0x thuộc ()Df) ()lim tồn tại ( f có giới hạn tại x0) 2. 0xxfx3. 0limxx() ( )0fxfx= (giới hạn bằng giá trị của hàm số) Hàm số f gián đoạn tạ0x nếu một trong ba điều kiện sau xảy ra: i 1. () không xác định tại 0fx0x 2. ()lim0xxfx không tồn tại 3. ()0fx xác định tại x0 và()0limxxfx tồn tại nhưng ()()00limxxfxfx¹ Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 13 2. tại 4 nên ()2if 2 if 2xxgxxìï£ï=í>xïïî02x = ()()lim limlim lim22- 2-2+ 2+====xxxxgx xgx x 2() ()lim lim2- 2+¹xxgx gx()liGiải: Ta có m2xgxkhông tồn tại. Vậy 3. =2x hàm số gián đoạn tại ()xxxhx xxxìï1ï<0ïïïïïï=>íïïï1=ïïïïïîifsinifif00 tại 0=0x Giải: Ta thấy ()xxhxx0- 0-1=¥=-lim lim không hữu hạn nên hàm số ()hx gián đoạn tại . Các hàm số sau đ iền xác định của nó (nếu là điểm biên liên tục tại một phía). 1. Hàm đa thức 2. Hàm hữu tỉ 3. Hàm lũy thừa x =0Định lí: ây liên tục tại mọi điểm thuộc mthì chỉ yx= với là hằng số và hàm số logarith 5. Các hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược. 4. Hàm số mũ với a là hằng số dương và khác 1. axlog6. Hàm số giá trị tuyệt đối x Ví d Xét s của cácụ: ự liên tục hàm số trên  ifif1. ()xfxìïïï=x3£cấp. Do đó,xxíï>3îïï Giải:  Với x £3ta có ()fx x= là hàm số sơ ()fx liên tục trên khoảng  Với ta có (),-¥ 3 x >3()fx x x12== là hàm số sơ cấp. Do đó, ()fx liên tục trên  Tại ta có: khoảng ,()3+¥ x =3()()() ()xxxxxxfx xfx==3==lim limlfxfxx3- 3-3- 3+3+ 3+¹3limlimlim im. Do đó, không tồn ()xfx3limtại. hàm số gián đoạn tại  Vậy (x =3 )fx không liên tục trên  Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 14 ()ififsin xxìïï¹02. gxxxïï=íïï1=0ïïî Giải:  Với x ¹0 ta có ()sin xgxx= là hàm()gx số sơ cấp nên liên tục trên mỗi và .  Tại =0 ta có khoảng -¥(), 0(),0+¥x()sinlimxxgx0=1= 0 . Suy ra ()gx liên tục tại =0  Vậy x()gx liên tục trên Ví d tục trên 1. là hàm số sơ cấp nên nó liên tục trên là đa thức bậc nhất nên liên tục trên  Theo đề bài, ụ: Tìm a để hàm số sau liên  : ()if.xxfxìï43 <0ïï=í ifaxx³0ï2+ïïîGiải:  Với x <0 ta có ().fx=x43(),-¥ 0  Với x >0 ta có ()fx a x=2 +(),0+¥ ()fx liên tục trên . Nên ()fx liên tục tại hay =2ần 7.2 Phân loại điểm gián đoạn 7.2.1 Điểm gián đoạn khử đượx =0() () ()lim limxxfx fx f a a0- 0+==04=2 Vậy a =2 là giá trị c tìm. cos ,xxìï0£2. ()(),xxfaxïï=íï-1 >0ï îïGiải: tương tự câu trên ta tìm được a =-1 c Điểm gián đoạn kh c của hàm số ()fx nếu tồn tại nhưng hoặc ()limxxfx b0=ử đượ()fx không xác định tại x0 hoặc fx0()b¹ Nếu bổ sung giá trị ()fx0b= thì hàm ()fx trở nên liên tục tại , tức là gián đoạn có 7.2.2 Đx0thể khử được. iểm gián đoạn loại 1 gián đoạn loại 1 của hàm ()Điểm fx nếu cùng tồn tại nhưng () ()lim , limxx xxfx fx00+ -()lim limxx xxfx fx00+ -¹() Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 15 7.2.3 Điểm gián đoạn loại 2 Điểm gián đoạn loại 2 của hàm ()fx không tồn tại. nếu t hai giới hạn ại điểm một trong hay x0()limxxfx0+()limxxfx0-8 Khử các dạng vô định. Qui tắc Lôpitan (L’Hospitale) 8.1 DạGiả sử hai hàm thỏa m : 1. trong lân cận đó, điểm3. Tồn tại giới hạn hữu hạn hoặc vô cùng của ng vô định 0/0 ) (,gx ãn các điều kiện ( )fx() ()lim ; limfx gx=0 =0 xa xa2. () (),fx gx khả vi trong lân cận nào đó của điểm xa= và ()'gx¹0có thể trừ ra chính xa= ()()'lim'xafxgx Khi đó: ()()()()'lim imxafx f xgx=l'xag x Giả sử thỏa mãn các điều kiện 2. và 3. phía trên và thỏa mãn thêm điều kiện: 8.2 Dạng vô định /¥¥ () (),fx gx1. lim f() (); limxa xax gx=¥ =¥ ()()()()'lim lim'xa xafx f xgx g x= Khi đó: ()()''fxgxChú ý: Nếu thương lại có dạng vô định 0/0 hay /¥¥ tại xa= và ', 'fg tiếp tục c điều kiện của qui tắc thì ta có thể tiếp tục đạo hàm cấp 2 hoặc nhiều hơn nữa. 8.3 Các dạng vô định khác ịch đảthỏa mãn ác 1. Dạng .0¥: ngh o một trong hai số hạng để xuất hiện dạng vô định hoặc /¥¥ và áp dụng qui tắc Lôpitan. 2. Dạng ¥-¥: ta có thể phân tích /00 () () ()()()()éù11êfx gx f xgxgx fxú- -=êúêúëû) (() ( )()()fxfxfx=1-êúêúëû gxgxéùêú-Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 16 Để xuất hiện dạng vô định ạng : có thể đưa về dạng Một số dạng vô định .0¥ 3. D bằng công thức đã nêu ở ,000¥ .0¥mũ: Mặc dù qui tắc Lôpitan là một công cụ mạnh để tính giới hạn nhưng không thể thay ác. Ví dụ: Tính giới hạn thế toàn bộ các phương pháp tính giới hạn kh1) lnxx2-1+ limxxee1-Giải: ta có dạng vô định 0/0. Áp dụng qui tắc Lôpitan: ()()/lnlnlim limxxx2212+-1+-1+=/ xxxxlimxxee1=-xxxeeee1 13=- 2) limxxe+¥ nxGiai: Ta có dạng vô định . Áp dụng qui tắc Lôpitan: /¥¥lim limnnxxxxxnee-1+¥ +¥= x ằ g khi đạo hàm -1 lần thì ta được n!xnxeNhận thấy r n vẫn còn dạng vô định /¥¥. Áp dụng qui tắc Lôpitan n lần ta được: () () .lim lim lim lim!limnnn-2-1xx x xxx x xnn x nnxnxee e en+¥ +¥ +¥ +¥-1 -1 2 1== == Giải: Ta có dạng vô định , nghịch đảo một trong hai thừa số (ở đây nghịch đảo sẽ đơn giản hơn) xxe+¥==03) lim lnxxx0+ .0¥xlnlnxxxx=1có dạng /¥¥.Áp dụng qui tắc Lôpitan: ()/ln (ln )lim ln lim lim lim limxxxxxxx x0+ === =-=0 /x xx0+ 0+ 0+ 0+111æö1÷-ç4) Giải: Ta có dạng vô định . Biến đổi Giới hạn đã tính ở câu 3 : . Vậy: xxx2÷ç÷ç÷çèølimxxx0+ 00ln lnxxx xxeex == lnxxlim lnxxx0+=0Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 17 lim lnlnlim limxxxxxxxxxee e0+00+ 0+=== =1 5) ()coslim tanxxx2p Giải Ta có d: ạng vô định . Biến đổi : 0¥()cocoscos taliml nnxxxxe2ps tanx22 +lnxlim limtanxxx e==pp lim cos ln tanxxx2p có dạng vô định .0¥. Nghịch đảo cosx + ()//ln tanln tanli ln tanxxm cos lim limcosxxxxxx222==1æö1÷ç÷ç÷ç÷çèøppp cosx1coscos .tanlim limsinsinxx2cosxxxxxx2222===0pp Vậy: ()lim lnlntantancoscoscoslim litan mxxxxxxxxeex e2022====1ppp 6) Chứng minh rằng giới hạn: a. sinlimsinxxxx201 sinlimsinxxxxx¥-+ b. không thể tính được bằng qui tắc Lôp ải: a. itan. Tính các giới hạn đó:Gi()//sinsinxxx21÷ç1÷ç÷2-ç÷çèøcoscossixxxæö1=. Giới hạn này không tồn tại khi x 0. Nên qui tắc Lôpitan không thể áp dụng. Áp dụng giới hạn lượng giác và vô cùng bé, ta có: n xsinlim lim .lim sin .sin sinxxxxxxx00 0==10=xxx2110 b. ()()//sincostancossinxxxxxxx2-1-==1+ 2+. Giới hạn này không tồn tại khi x ¥. Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 18 sinsinlim ,inxxƠ=1vỡ limsin sxxxxxxxxƠ1--=+1+sin x Ê1 9 Bi tp c bn v li gii 1. Tớnh cỏc gii hn sau: lim . lim. lim . li.mxxxxxxcxxxbdxxx xa2-4 20 2+9-5 4 +1-3+4 -2ổử611ữữỗ-ữỗữữỗốứ1+ 3- -1Gii: 2ỗ ()()()()()()lim lim lim .lim limxb0ổử111ữỗữỗ-=ữỗữlim.lim. lim lim lim.xx xxxxx xxx xxxxxxxxxxx xxxxxaxxcxx22-4 -4 -422002 2 2+9-5 -4 4===-+4 5+9+5+4 +9+5-1+ -=1+1+ 1+ 1+-1 1==-21+ 1+ 1+4+1-3 4-8 4 2===-2+134+3-2 + +314 -16xxxx0ữỗốứ1+. lim lim .xxxxxdxxx2 26- -2 2- 3- +1 1==2- 23- -1 6- +2 2. Bit rng ()limxfxx1-8=10-1. Hóy tỡm . Gii: t ()limxfx1()()()limxfxgx gxx1-8=-1=10. Vi cỏch t trờn ta cú +8() ()( )fx gx x=-1 () ()( ) () ( )lim lim lim .lim lim .xx xx xfx gx x gx x1 1 1 1 1ộự= -1+8= -1+8=010+8=8ờỳởỷ 3. Bit rng . Tớnh Gii: Ta cú:Theo nh lớ kp gia 2()gxxxx cos ,22ÊÊ2 "-ẻ()xgxlim0 ()lim lim cosxxxx20 02- = 2 =2 ()limxgx0= Phúng to hn hoc dựng Foxit Reader hin th tt cụng thc 19 () ,sin , xxfxxxx2ìï1ïïï=íïïïïî<0>04. Cho hàm số: . Tính các giới hạn một phía từ đó suy ra ()lim fx. Giải: a cóx 0 sin s Tinxx220£ £ mà xx11££10lim lim lim in lim sinsxx00x xxx xxx22 20  0110= =0 =0 =0. Vậy ()lim lim sin lim sinxx xfx x xxx220- 0- 011== =0ó ()lim limxxfx x0+ 0+= Ta c =0  Vậy =05.() () ()lim lim limxx xfx fx fx0 0+ 0-== Tính các giới hạn cos tanxx x+3-tan sin.lim .lim .limsin cos sinxxxx x xabcxx xx30 0 08 Giải: ()coscos cos. lim lim lim .sin cos sin cos sin costan sin sin. lim lim lim . .sinxxxbxx0==8sin .cos sin cosxx xxxxx x x xaxx xx xxxxxx xxx0 0 00 01++1+== =2333833=8338838 xsincostan sin. limxxxxc30-sin coslim lim . .cosxxxx xxxxx x3 20 0æö1÷ç÷-1ç÷ç÷ç1-1èø==1= 6. ác giới hạn: 2Tính c()sin cos.lim .limsintan. lim . limarctansin. limxxxxxadxxbexxxx xcx0 020 02021222-+2++2jjjj -4 Giải: sin. lim lia02=2jjjjsinm .0211=222jj Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 20 ()()()()tan tan. lim lim .sin sin. lim lim .cos cos. lim lim . .sin sin.limxe-2lim .arctan arctanxxxxxxxbxxxx x x xcxxdxxxxx0 020 00 02-222=2=22æö++ 1 1÷ç÷=++ =1ç÷ç÷ç2222èø1- 1- 2 1 1==2222+2-4=-2=-4+2 +2jjjjjjjj Chú ý: Ta có thể chứng minh arctanlimxxx0 bằng phương pháp đổi biến. Đặt tTa có: arctan tantxx== ()tanlimxtt0=1 * Thay = vào arctantx()* ta có ()tan arctanlim limarctan arctanxxxxxx0 0==1 hay arctan xx=1limx 0 (đpcm 7. Tính các giới hạn ) () ()()sinsin cos in()()sin slim . lim . limsinsinsinm . lim . lim sin. li . xxxxxxcexxxxxxxdfxxxa0 0 020+ 0 04-2-3+-9 Giảxxx2-1-bi: () ()() ()() ()()sin cos sin coscoslim = lim0 . =1.0=0cossin sinm . . . .sinsin sin sin sinsin. lim lim .sinsin sin. lim lim..xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcxxxxx xxdxxxax00+0 02220 01- 1-1-1-=110=0==1++=1+=2+ .lim lisinxxbx0+ =() ()()() ()sin sin. limxxelim .sin sin. lim lim .xxxxxxxxxfxxx2222 29 9-4 -4=+2=4-2-4-3 -311==-9 6-3 +3 Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 21 Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 22 Tài liệu tham khảo. 1. Thầy Lê Hoài Nhân – Slide Vi tích phân A1. Hàm số và giới hạn – ĐH Cần Thơ. . Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Toán cao cấp tập 2 – ĐH KHTN Hà Nội. 2

Tài liệu liên quan

• gioi han ham so day du
  • 7
  • 1
  • 11
• PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ
  • 13
  • 38
  • 407
• PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ
  • 17
  • 2
  • 58
• Giới hạn hàm số ôn thi đại học
  • 27
  • 846
  • 0
• phuong phap tim gioi han ham so 0.0
  • 7
  • 8
  • 99
• Giới hạn hàm số ôn thi đại học
  • 19
  • 364
  • 0
• Phương pháp vẽ đồ thị hàm số đầy đủ dạng
  • 12
  • 1
  • 92
• Phương pháp tính giới hạn
  • 29
  • 720
  • 10
• Một số phương pháp tính giới hạn và ước lượng trong các dãy số tuần hoàn và phản tuần hoàn
  • 68
  • 1
  • 0
• phương pháp tính - hồ công xuân vũ ý, trường đại học tiền giang, 2014
  • 310
  • 311
  • 1

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(412.81 KB - 22 trang) - Phương pháp tính giới hạn hàm số đầy đủ (đại học) Tải bản đầy đủ ngay ×