Phương Pháp Tính Tích Phân Hàm Số Phân Thức Hữu Tỉ | Tăng Giáp

• Home
• Forums New posts Search forums
• Lớp 12 Vật Lí 12
• What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
• Members Current visitors New profile posts Search profile posts

Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm

Tìm kiếm

Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề Note By: Search Tìm nâng cao…

• New posts
• Search forums

Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS

Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.

Note: This feature may not be available in some browsers.

• Home
• Forums
• Toán Học
• Đại Số
• Nguyên Hàm & Tích Phân

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Phương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ

• Thread starter Thread starter Tăng Giáp
• Ngày gửi Ngày gửi 6/12/18

Tăng Giáp

Administrator

Thành viên BQT 1. Phương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ Bài toán tổng quát: Tính tích phân $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} dx$ với $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức. Trường hợp 1: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $<$ bậc của mẫu số $Q(x)$: Xem xét mẫu số, ta có các dạng phổ biến sau: Dạng 1: $\int_\alpha ^\beta {\frac{A}{{ax + b}}} dx$ $ = \frac{A}{a}\left. {\ln \left| {ax + b} \right|} \right|_\alpha ^\beta $ $ = \frac{A}{a}\ln \left| {\frac{{a\beta + b}}{{a\alpha + b}}} \right|.$ Dạng 2: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{A}{{a{x^2} + bx + c}}} $, dựa vào biệt thức $\Delta = {b^2} – 4ac$ của mẫu số, ta chia thành các trường hợp: + Nếu $\Delta > 0$, ta có: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{A}{{a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)}}} dx$ $ = \frac{A}{{a\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}\int_a^\beta {\left( {\frac{1}{{x – {x_2}}} – \frac{1}{{x – {x_1}}}} \right)} $. + Nếu $\Delta = 0$, ta có: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{Adx}}{{a{{\left( {x – {x_0}} \right)}^2}}}} $ $ = – \left. {\frac{A}{{a\left( {x – {x_0}} \right)}}} \right|_\alpha ^\beta .$ + Nếu $\Delta < 0$, ta có: $I = \frac{A}{a}\int_\alpha ^\beta {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + {x_o}} \right)}^2} + {k^2}}}} $, sử dụng phương pháp đổi biến tích phân $x + {x_0} = k\tan t$, $t \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$, ta được: $I = \frac{A}{{ka}}\int_\alpha ^\beta d t$ $ = \frac{A}{{ka}}\left. t \right|_\alpha ^\beta .$ Dạng 3: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx$, dựa vào biệt thức $\Delta = {b^2} – 4ac$ của mẫu số, ta chia thành các trường hợp: + Nếu $\Delta > 0$, ta có: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{C\left( {x – {x_1}} \right) + D\left( {x – {x_2}} \right)}}{{a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)}}} dx$ $ = \frac{1}{a}\int_\alpha ^\beta {\left( {\frac{C}{{x – {x_2}}} + \frac{D}{{x – {x_1}}}} \right)} dx$. + Nếu $\Delta = 0$, ta có: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{Ax + B}}{{a{{\left( {x – {x_0}} \right)}^2}}}} dx$ $ = \frac{1}{a}\int_a^\beta {\frac{{A\left( {x – {x_0}} \right) + C}}{{a{{\left( {x – {x_0}} \right)}^2}}}} dx$ $ = \frac{1}{a}\int_\alpha ^\beta {\left( {\frac{A}{{x – {x_0}}} + \frac{C}{{{{\left( {x – {x_0}} \right)}^2}}}} \right)} dx$. + Nếu $\Delta < 0$, ta có: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{k{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}^\prime } + h}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx$ $ = k\int_\alpha ^\beta {\frac{{d\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}{{a{x^2} + bx + c}}} $ $ + h\int_\alpha ^\beta {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} .$ Dạng 4: Nếu $Q(x)$ có bậc lớn hơn $2$, ta thực hiện giảm bậc bằng cách đổi biến, tách ghép, nhân, chia … để đưa bài toán về các dạng 1, dạng 2, dạng 3. Trường hợp 2: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $≥$ bậc của mẫu số $Q(x)$, ta sử dụng phép chia đa thức: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} $ $ = \int_\alpha ^\beta {\left[ {H(x) + \frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} \right]} dx$ $ = \int_\alpha ^\beta H (x)dx + \int_\alpha ^\beta {\frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} dx$ $ = {I_1} + {I_2}$, trong đó $I_1$ là tích phân cơ bản, $I_2$ là tích phân hàm số phân thức hữu tỉ có bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số. Chú ý: Đối với những bài toán phức tạp, để đưa về các dạng 1, 2, 3 ta phải thực hiện biến đổi phân số ban đầu thành tổng các phân số và tìm các hệ số bằng phương pháp đồng nhất thức. Một số trường hợp thường gặp: • $\frac{1}{{(ax + b)(cx + d)}}$ $ = \frac{1}{{ad – bc}}\left( {\frac{a}{{ax + b}} – \frac{c}{{cx + d}}} \right).$ • $\frac{{mx + n}}{{(ax + b)(cx + d)}}$ $ = \frac{A}{{ax + b}} + \frac{B}{{cx + d}}.$ • $\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}}}$ $ = \frac{A}{{ax + b}} + \frac{B}{{{{(ax + b)}^2}}}.$ • $\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}(cx + d)}}$ $ = \frac{A}{{{{(ax + b)}^2}}} + \frac{B}{{cx + d}} + \frac{C}{{ax + b}}.$ • $\frac{1}{{(x – m)\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}$ $ = \frac{A}{{x – m}} + \frac{{Bx + C}}{{a{x^2} + bx + c}}$, với $\Delta = {b^2} – 4ac < 0.$ • $\frac{1}{{{{(x – a)}^2}{{(x – b)}^2}}}$ $ = \frac{A}{{x – a}} + \frac{B}{{{{(x – a)}^2}}}$ $ + \frac{C}{{x – b}} + \frac{D}{{{{(x – b)}^2}}}.$ • $\frac{{P(x)}}{{{{\left( {x – {x_o}} \right)}^n}}}$ $ = \frac{A}{{x – {x_o}}} + \frac{B}{{{{\left( {x – {x_o}} \right)}^2}}}$ $ + \ldots + \frac{C}{{{{\left( {x – {x_o}} \right)}^n}}}.$ • $\frac{{P(x)}}{{\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right)…}}$ $ = \frac{A}{{x – {x_1}}} + \frac{B}{{x – {x_2}}}$ $ + \frac{C}{{x – {x_3}}} + \cdots .$ 2. Một số bài toán minh họa Bài toán 1: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_1^2 {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx.$ b) $I = \int_{\sqrt 5 }^3 {\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx.$ c) $\int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx.$ a) Ta có: $\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left( {2{x^3} + 3{x^2}} \right) – \frac{3}{2}\left( {2{x^2} + 3x} \right) + \frac{9}{4}(2x + 3) – \frac{{27}}{4}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} – \frac{{27}}{{8(2x + 3)}}.$ Suy ra: $\int_1^2 {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx$ $ = \int_1^2 {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} – \frac{{27}}{{8(2x + 3)}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{8}{x^2} + \frac{9}{8}x – \frac{{27}}{{16}}\ln |2x + 3|} \right)} \right|_1^2$ $ = – \frac{{13}}{6} – \frac{{27}}{{16}}\ln 35.$ b) Ta có: $\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}$ $ = \frac{{{x^2} – 1 – 4}}{{x + 1}}$ $ = x – 1 – \frac{4}{{x + 1}}.$ Suy ra: $\int_{\sqrt 5 }^3 {\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx$ $ = \int_{\sqrt 5 }^3 {\left( {x – 1 – \frac{4}{{x + 1}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} – x – 4\ln |x + 1|} \right)} \right|_{\sqrt 5 }^3$ $ = \sqrt 5 – 1 + 4\ln \left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}} \right).$ c) Ta có: $\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}$ $ = \frac{{x\left( {{x^2} – 1} \right) + x}}{{{x^2} – 1}}$ $ = x + \frac{x}{{{x^2} – 1}}.$ Suy ra: $\int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx$ $ = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \frac{x}{{{x^2} – 1}}} \right)} dx$ $ = \int_1^{\frac{1}{2}} x dx + \int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{{x^2} – 1}}} $ $ = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}\ln \left. {\left| {{x^2} – 1} \right|} \right|_0^{\frac{1}{2}}$ $ = \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\ln \frac{3}{4}.$ Bài toán 2: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ: $I = \int_0^1 {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx.$ Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $f(x) = \frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = \frac{{4x + 11}}{{(x + 2)(x + 3)}}$ $ = \frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{{x + 3}}$ $ = \frac{{A(x + 3) + B(x + 2)}}{{(x + 2)(x + 3)}}.$ Thay $x = – 2$ vào hai tử số: $3 = A$ và thay $x = -3$ vào hai tử số: $-1 = -B$ suy ra $B = 1.$ Do đó: $f(x) = \frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}.$ Vậy: $\int_0^1 {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx$ $ = \int_0^1 {\left( {\frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right)} dx$ $ = 3\ln |x + 2| + \ln \left. {|x + 3|} \right|_0^1$ $ = 2\ln 3 – \ln 2.$ Cách 2: (Nhảy tầng lầu) Ta có: $f(x) = \frac{{2(2x + 5) + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = 2.\frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ + \frac{1}{{(x + 2)(x + 3)}}$ $ = 2.\frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ + \frac{1}{{x + 2}} – \frac{1}{{x + 3}}.$ Suy ra: $I = \int_0^1 f (x)dx$ $ = \int_0^1 {\left( {2.\frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}} + \frac{1}{{x + 2}} – \frac{1}{{x + 3}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {2\ln \left| {{x^2} + 5x + 6} \right| + \ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}} \right|} \right)} \right|_0^1$ $ = 2\ln 3 – \ln 2.$ Bài toán 3: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx.$ b) $I = \int_0^1 {\frac{{4x}}{{4{x^2} – 4x + 1}}} dx.$ a) Cách 1: Thực hiện cách chia đa thức ${x^3}$ cho đa thức ${x^2} + 2x + 1$, ta được: $\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}$ $ = x – 2 + \frac{{3x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}.$ $I = \int_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx$ $ = \int_0^3 {(x – 2)} dx$ $ + \int_0^3 {\frac{{3x + 3 – 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right)} \right|_0^3$ $ + \frac{3}{2}\int_0^3 {\frac{{d\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{x^2} + 2x + 1}}} $ $ – \int_0^3 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} $ $ = – \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\ln \left. {{{(x + 1)}^2}} \right|_0^3$ $ + \left. {\frac{1}{{x + 1}}} \right|_0^3$ $ = – \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\ln 16 + \frac{1}{4} – 1$ $ = – \frac{9}{4} + 6\ln 2.$ Cách 2: Ta có: $\int_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx$ $ = \int_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{{(x + 1)}^2}}}} dx.$ Đặt $t = x + 1$, suy ra: $dx = dt$, $x = t – 1.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow t = 1}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 4} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = \int_1^4 {\frac{{{{(t – 1)}^3}}}{{{t^2}}}} dt$ $ = \int_1^4 {\left( {t – 3 + \frac{3}{t} – \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} dt$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{2}{t^2} – 3t + 3\ln |t| + \frac{1}{t}} \right)} \right|_1^4$ $ = – \frac{9}{4} + 6\ln 2.$ b) Ta có: $\frac{{4x}}{{4{x^2} – 4x + 1}}$ $ = \frac{{4x}}{{{{(2x – 1)}^2}}}.$ Đặt $t = 2x – 1$ suy ra: $dt = 2dx$ $ \to dx = \frac{1}{2}dt.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow t = – 1}\\ {x = 1 \Rightarrow t = 1} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_0^1 {\frac{{4x}}{{4{x^2} – 4x + 1}}} dx$ $ = \int_0^1 {\frac{{4x}}{{{{(2x – 1)}^2}}}} dx$ $ = \int_{ – 1}^1 {\frac{{4.\frac{1}{2}(t + 1)}}{{{t^2}}}} \frac{1}{2}dt$ $ = \int_{ – 1}^1 {\left( {\frac{1}{t} + \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} dt$ $ = \left. {\left( {\ln |t| – \frac{1}{t}} \right)} \right|_{ – 1}^1$ $ = – 2.$ Bài toán 4: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 4x + 5}}} dx.$ b) $I = \int_0^2 {\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}} dx.$ a) Ta có: $\int_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 4x + 5}}} dx$ $ = \int_0^2 {\frac{x}{{{{(x + 2)}^2} + 1}}} dx.$ Đặt $x + 2 = \tan t$, suy ra: $dx = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}dt$. Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow \tan t = 2}\\ {x = 2 \Rightarrow \tan t = 4} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_0^2 {\frac{x}{{{{(x + 2)}^2} + 1}}} dx$ $ = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\frac{{\tan t – 2}}{{1 + {{\tan }^2}t}}} \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$ $ = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left( {\frac{{\sin t}}{{\cos t}} – 2} \right)} dt$ $ = \left. {( – \ln |\cos t| – 2t)} \right|_{{t_1}}^{{t_2}}.$ Từ $\tan t = 2$ $ \Rightarrow 1 + {\tan ^2}t = 5$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}t = \frac{1}{5}$ $ \Rightarrow \cos {t_1} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$ và $\tan t = 4$ $ \Rightarrow 1 + {\tan ^2}t = 17$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}t = \frac{1}{{17}}$ $ \Rightarrow \cos {t_2} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}.$ Vậy $\left. {( – \ln |\cos t| – 2t)} \right|_{{t_1}}^{{t_2}}$ $ = 2(\arctan 4 – \arctan 2) – \frac{1}{2}\ln \frac{5}{{17}}.$ b) Ta có: $\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}$ $ = \frac{{{x^3} + 4x + 2{x^2} + 8 + 1}}{{{x^2} + 4}}$ $ = x + 2 + \frac{1}{{{x^2} + 4}}.$ Do đó: $\int_0^2 {\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}} dx$ $ = \int_0^2 {\left( {x + 2 + \frac{1}{{{x^2} + 4}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_0^2$ $ + \int_0^2 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}} $ $ = 6 + J.$ Tính tích phân: $J = \int_0^2 {\frac{1}{{{x^2} + 4}}} dx.$ Đặt $x = 2\tan t$ suy ra: $dx = \frac{2}{{{{\cos }^2}t}}dt.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow t = 0}\\ {x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}} \end{array}} \right.$ Ta có: $t \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]$ $ \to \cos t > 0.$ Khi đó: $J = \int_0^2 {\frac{1}{{{x^2} + 4}}} dx$ $ = \frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}t}}} \frac{2}{{{{\cos }^2}t}}dt$ $ = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{4}} d t$ $ = \frac{1}{2}\left. t \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{8}.$ Vậy $I = 6 + \frac{\pi }{8}.$ Bài toán 5: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_0^1 {\frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}} dx.$ b) $I = \int_{ – 1}^0 {\frac{{{x^4}}}{{{{(x – 1)}^3}}}} dx.$ a) Cách 1: Đặt $x + 1 = t$, suy ra: $x = t – 1.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow t = 1}\\ {x = 1 \Rightarrow t = 2} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_0^1 {\frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}} dx$ $ = \int_1^2 {\frac{{t – 1}}{{{t^3}}}} dt$ $ = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{{{t^2}}} – \frac{1}{{{t^3}}}} \right)} dt$ $ = \left. {\left( { – \frac{1}{t} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{t^2}}}} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{1}{8}.$ Cách 2: Ta có: $\frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}$ $ = \frac{{(x + 1) – 1}}{{{{(x + 1)}^3}}}$ $ = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} – \frac{1}{{{{(x + 1)}^3}}}.$ Do đó: $\int_0^1 {\frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}} dx$ $ = \int_0^1 {\left[ {\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} – \frac{1}{{{{(x + 1)}^3}}}} \right]} dx$ $ = \left. {\left[ { – \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]} \right|_0^1$ $ = \frac{1}{8}.$ b) Đặt $x – 1 = t$, suy ra: $x = t + 1.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 1 \Rightarrow t = – 2}\\ {x = 0 \Rightarrow t = – 1} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_{ – 1}^0 {\frac{{{x^4}}}{{{{(x – 1)}^3}}}} dx$ $ = \int_{ – 2}^{ – 1} {\frac{{{{(t + 1)}^4}}}{{{t^3}}}} dt$ $ = \int_{ – 2}^{ – 1} {\frac{{{t^4} + 4{t^3} + 6{t^2} + 4t + 1}}{{{t^3}}}} dt$ $ = \int_{ – 2}^{ – 1} {\left( {t + 4 + \frac{6}{t} + \frac{4}{{{t^2}}} + \frac{1}{{{t^3}}}} \right)} dt$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{2}{t^2} + 4t + 6\ln |t| – \frac{4}{t} – \frac{1}{2}\frac{1}{{{t^2}}}} \right)} \right|_{ – 2}^1$ $ = \frac{{33}}{8} – 6\ln 2.$ Bài toán 6: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_2^3 {\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^3}}}} dx.$ b) $I = \int_2^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{(x – 1)}^2}(x + 2)}}} dx.$ a) Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{A}{{x – 1}} + \frac{B}{{(x + 1)}} + \frac{C}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{{A{{(x + 1)}^2} + B(x – 1)(x + 1) + C(x – 1)}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $(1).$ Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 = 4A}\\ {1 = – 2C} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = \frac{1}{4}}\\ {C = – \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $(1) \Leftrightarrow \frac{{(A + B){x^2} + (2A + C)x + A – B – C}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ \Rightarrow A – B – C = 1$ $ \Leftrightarrow B = A – C – 1$ $ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} – 1 = – \frac{1}{4}.$ Do đó: $\int_2^3 {\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = \int_2^3 {\left( {\frac{1}{4}\frac{1}{{x – 1}} + \frac{1}{4}\frac{1}{{(x + 1)}} – \frac{1}{2}\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left[ {\frac{1}{4}\ln (x – 1)(x + 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}}} \right]} \right|_2^3$ $ = \frac{1}{4}\ln 8 = \frac{3}{4}\ln 2.$ Cách 2: (Phương pháp đổi biến) Đặt: $t = x + 1$, suy ra $x = t – 1.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 \Rightarrow t = 3}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 4} \end{array}} \right.$ Khi đó: $I = \int_2^3 {\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = \int_3^4 {\frac{{dt}}{{{t^2}(t – 2)}}} $ $ = \frac{1}{2}\int_3^4 {\frac{{t – (t – 2)}}{{{t^2}(t – 2)}}} dt$ $ = \frac{1}{2}\left( {\int_2^4 {\frac{1}{{t(t – 2)}}} dt – \int_3^4 {\frac{1}{t}} dt} \right)$ $ \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\int_2^4 {\left( {\frac{1}{{t – 2}} – \frac{1}{t}} \right)} dt – \int_3^4 {\frac{1}{t}} dt} \right)$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{t – 2}}{t}} \right| – \frac{1}{2}\ln |t|} \right)} \right|_3^4$ $ = \frac{3}{4}\ln 2.$ b) Đặt $t = x – 1$, suy ra $x = t + 1$, $dx = dt.$ Đổi cận $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 \Rightarrow t = 1}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 2} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_2^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{(x – 1)}^2}(x + 2)}}} dx$ $ = \int_1^2 {\frac{{{{(t + 1)}^2}}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt$ $ = \int_1^2 {\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt.$ Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = \frac{{At + B}}{{{t^2}}} + \frac{C}{{t + 3}}$ $ = \frac{{(At + B)(t + 3) + C{t^2}}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = \frac{{(A + C){t^2} + (3A + B)t + 3B}}{{{t^2}(t + 3)}}.$ Đồng nhất hệ số hai tử số: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A + C = 1}\\ {3A + B = 2}\\ {3B = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {B = \frac{1}{3}}\\ {A = \frac{5}{9}}\\ {C = \frac{4}{9}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = \frac{1}{9}\frac{{t + 3}}{{{t^2}}} + \frac{4}{9}\frac{1}{{t + 3}}.$ Do đó: $\int_1^2 {\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt$ $ = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{9}\left( {\frac{1}{t} + \frac{3}{{{t^2}}}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{1}{{t + 3}}} \right)} \right)} dt$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{9}\left( {\ln |t| – \frac{3}{t}} \right) + \frac{4}{9}\ln |t + 3|} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{{17}}{6} + \frac{4}{9}\ln 5 – \frac{7}{9}\ln 2.$ Cách 2: Ta có: $\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = \frac{1}{3}\left( {\frac{{3{t^2} + 6t + 3}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right)$ $ = \frac{1}{3}\left[ {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}} + \frac{3}{{{t^2}(t + 3)}}} \right]$ $ = \frac{1}{3}\left[ {\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\left( {\frac{{{t^2} – \left( {{t^2} – 9} \right)}}{{{t^2}(t + 3)}}} \right)} \right]$ $ = \frac{1}{3}\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right)$ $ + \frac{1}{9}\frac{1}{{t + 3}} – \frac{1}{9}\frac{{t – 3}}{{{t^2}}}$ $ = \frac{1}{3}\left[ {\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\frac{1}{{t + 3}} – \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{t} – \frac{3}{{{t^2}}}} \right)} \right].$ Vậy: $\int_1^2 {\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt$ $ = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{3}\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{{t + 3}} – \frac{1}{t} + \frac{3}{{{t^2}}}} \right)} \right)} dt$ $\left. { = \left[ {\frac{1}{3}\ln \left| {{t^3} + 3{t^2}} \right| + \frac{1}{{27}}\left( {\ln \left| {\frac{{t + 3}}{t}} \right| – \frac{3}{t}} \right)} \right]} \right|_1^2.$ Do đó: $I = \frac{{17}}{6} + \frac{4}{9}\ln 5 – \frac{7}{9}\ln 2.$ Bài toán 7: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_2^3 {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}} dx.$ b) $I = \int_3^4 {\frac{{x + 1}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}} dx.$ c) $\int_2^3 {\frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}} dx.$ a) Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $f(x) = \frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}$ $ = \frac{1}{{x(x – 1)(x + 1)}}$ $ = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x – 1}} + \frac{C}{{x + 1}}$ $ = \frac{{A\left( {{x^2} – 1} \right) + Bx(x + 1) + Cx(x – 1)}}{{x(x – 1)(x + 1)}}.$ Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: $x = 0$, $x = 1$ và $x = -1$ vào hai tử ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \to 1 = – A}\\ {x = – 1 \to 1 = 2C}\\ {x = 1 \to 1 = 2B} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = – 1}\\ {B = \frac{1}{2}}\\ {C = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow f(x) = – \frac{1}{x}$ $ + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x – 1}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right).$ Vậy $\int_2^3 {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}} dx$ $ = \int_2^3 {\left( {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x – 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right) – \frac{1}{x}} \right)} dx$ $ = \left. {\left[ {\frac{1}{2}(\ln (x – 1)(x + 1)) – \ln |x|} \right]} \right|_2^3$ $ = \frac{5}{2}\ln 2 – \frac{3}{2}\ln 3.$ Cách 2: (Phương pháp nhảy lầu) Ta có: $\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}$ $ = \frac{{{x^2} – \left( {{x^2} – 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}$ $ = \frac{x}{{{x^2} – 1}} – \frac{1}{x}$ $ = \frac{1}{2}\frac{{2x}}{{{x^2} – 1}} – \frac{1}{x}.$ Do đó: $\int_2^3 {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}} dx$ $ = \frac{1}{2}\int_2^3 {\frac{{2xdx}}{{{x^2} – 1}}} – \int_2^3 {\frac{1}{x}} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} – 1} \right) – \ln x} \right)} \right|_2^3$ $ = \frac{5}{2}\ln 2 – \frac{3}{2}\ln 3.$ b) Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $\frac{{x + 1}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}$ $ = \frac{{x + 1}}{{x(x – 2)(x + 2)}}$ $ = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x – 2}} + \frac{C}{{x + 2}}$ $ = \frac{{A\left( {{x^2} – 4} \right) + Bx(x + 2) + Cx (x – 2)}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}.$ Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số: Khi $x = 0$, ta có: $1 = – 4A$, suy ra: $A = – \frac{1}{4}.$ Khi $x = – 2$, ta có: $ – 1 = 8C$, suy ra: $C = – \frac{1}{8}.$ Khi $x = 2$, ta có: $3 = 8B$, suy ra: $B = \frac{3}{8}.$ Do đó: $f(x) = – \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x}} \right)$ $ – \frac{1}{8}\left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right) + \frac{3}{8}\left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right).$ Vậy $\int_3^4 {\frac{{x + 1}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}} dx$ $ = – \frac{1}{4}\int_2^3 {\frac{1}{x}} dx$ $ – \frac{1}{8}\int_2^3 {\frac{1}{{x – 2}}} dx$ $ + \frac{3}{8}\int_2^3 {\frac{1}{{x + 2}}} dx$ $= \left. {\left( { – \frac{1}{4}\ln |x| – \frac{1}{8}\ln |x – 2| + \frac{3}{8}\ln |x + 2|} \right)} \right|_2^3$ $ = \frac{5}{8}\ln 3 – \frac{3}{8}\ln 5 – \frac{1}{4}\ln 2.$ Cách 2: (Phương pháp nhảy lầu) Ta có: $\frac{{x + 1}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}$ $ = \frac{1}{{\left( {{x^2} – 4} \right)}} + \frac{1}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}$ $ = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right)$ $ + \frac{1}{4}\left( {\frac{{{x^2} – \left( {{x^2} – 4} \right)}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}} \right)$ $ = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{2}\frac{{2x}}{{{x^2} – 4}} – \frac{1}{x}} \right).$ Do đó: $\int_3^4 {\frac{{x + 1}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}} $ $ = \frac{1}{4}\int_3^4 {\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{2}\frac{{2x}}{{{x^2} – 4}} – \frac{1}{x}} \right)} dx$ $= \left. {\left[ {\frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x – 2}}{{x + 2}}} \right| + \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} – 4} \right) – \ln |x|} \right]} \right|_3^4.$ c) Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $\frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}$ $ = \frac{{{x^2}}}{{(x – 1)(x + 1)(x + 2)}}$ $ = \frac{A}{{x – 1}} + \frac{B}{{x + 1}} + \frac{C}{{x + 2}}$ $ = \frac{{A(x + 1)(x + 2) + B(x – 1)(x + 2) + C\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}.$ Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số: Thay: $x = 1$, ta có: $1 = 2A$, suy ra: $A = \frac{1}{2}.$ Thay: $x = – 1$, ta có: $1 = – 2B$, suy ra: $B = – \frac{1}{2}.$ Thay: $x = – 2$, ta có: $4 = – 5C$, suy ra: $C = – \frac{5}{4}.$ Do đó: $I = \int_2^3 {\frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}} dx$ $ = \int_2^3 {\left( {\frac{1}{2}\frac{1}{{x – 1}} – \frac{1}{2}\frac{1}{{x + 1}} – \frac{5}{4}\frac{1}{{x + 2}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left[ {\frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} \right| – \frac{5}{4}\ln |x + 2|} \right]} \right|_2^3$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}.$ Cách 2: (Nhảy tầng lầu) $\frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}$ $ = \frac{{{x^2} – 1 + 1}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}$ $ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{(x – 1)(x + 1)(x + 2)}}$ $ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{2}\frac{{x(x + 1) – (x – 1)(x + 2)}}{{(x – 1)(x + 1)(x + 2)}}$ $ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{2}\left[ {\frac{x}{{(x – 1)(x + 2)}} – \frac{1}{{x + 1}}} \right]$ $ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{2}\left[ {1 + \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{x – 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right) – \frac{1}{{x + 1}}} \right].$ You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

Trending content

• Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
  • Tăng Giáp
  • 8/12/18
  Trả lời: 0
• Thread 'Công thức giải nhanh vật lý phần dao động cơ'
  • Tăng Giáp
  • 10/4/15
  Trả lời: 6
• Thread 'Mặt trụ tròn xoay'
  • Doremon
  • 24/1/15
  Trả lời: 97
• Thread 'Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân'
  • Tăng Giáp
  • 5/10/17
  Trả lời: 18
• Thread 'Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát'
  • Tăng Giáp
  • 7/12/18
  Trả lời: 1
• Thread 'Các bước khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất'
  • Doremon
  • 3/12/14
  Trả lời: 6
• Thread 'công thức giải nhanh vật lý sóng cơ'
  • Tăng Giáp
  • 14/4/15
  Trả lời: 0
• Thread 'Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ'
  • Tăng Giáp
  • 29/8/16
  Trả lời: 15
• Thread 'Dạng 1: Mối liên hệ giữa λ, v, f, T'
  • Doremon
  • 29/9/14
  Trả lời: 0
• Thread 'môn Vật Lí chuyên sư phạm hà nội lần 4 - 2016'
  • Tăng Giáp
  • 18/5/16
  Trả lời: 29

Members online

No members online now. Total: 23 (members: 0, guests: 23)

Share this page

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

• Home
• Forums
• Toán Học
• Đại Số
• Nguyên Hàm & Tích Phân

Back Top