Phương Pháp Tính Tích Phân Hàm Số Phân Thức Hữu Tỉ | Tăng Giáp

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN > Bài 2. Tích phân > Phương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ

Thảo luận trong 'Bài 2. Tích phân' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

1. 

   Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 16/11/14 Bài viết: 4,630 Đã được thích: 282 Điểm thành tích: 83 Giới tính: Nam

   1. Phương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ Bài toán tổng quát: Tính tích phân $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} dx$ với $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức. Trường hợp 1: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $<$ bậc của mẫu số $Q(x)$: Xem xét mẫu số, ta có các dạng phổ biến sau: Dạng 1: $\int_\alpha ^\beta {\frac{A}{{ax + b}}} dx$ $ = \frac{A}{a}\left. {\ln \left| {ax + b} \right|} \right|_\alpha ^\beta $ $ = \frac{A}{a}\ln \left| {\frac{{a\beta + b}}{{a\alpha + b}}} \right|.$ Dạng 2: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{A}{{a{x^2} + bx + c}}} $, dựa vào biệt thức $\Delta = {b^2} – 4ac$ của mẫu số, ta chia thành các trường hợp: + Nếu $\Delta > 0$, ta có: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{A}{{a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)}}} dx$ $ = \frac{A}{{a\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}\int_a^\beta {\left( {\frac{1}{{x – {x_2}}} – \frac{1}{{x – {x_1}}}} \right)} $. + Nếu $\Delta = 0$, ta có: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{Adx}}{{a{{\left( {x – {x_0}} \right)}^2}}}} $ $ = – \left. {\frac{A}{{a\left( {x – {x_0}} \right)}}} \right|_\alpha ^\beta .$ + Nếu $\Delta < 0$, ta có: $I = \frac{A}{a}\int_\alpha ^\beta {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + {x_o}} \right)}^2} + {k^2}}}} $, sử dụng phương pháp đổi biến tích phân $x + {x_0} = k\tan t$, $t \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$, ta được: $I = \frac{A}{{ka}}\int_\alpha ^\beta d t$ $ = \frac{A}{{ka}}\left. t \right|_\alpha ^\beta .$ Dạng 3: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx$, dựa vào biệt thức $\Delta = {b^2} – 4ac$ của mẫu số, ta chia thành các trường hợp: + Nếu $\Delta > 0$, ta có: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{C\left( {x – {x_1}} \right) + D\left( {x – {x_2}} \right)}}{{a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)}}} dx$ $ = \frac{1}{a}\int_\alpha ^\beta {\left( {\frac{C}{{x – {x_2}}} + \frac{D}{{x – {x_1}}}} \right)} dx$. + Nếu $\Delta = 0$, ta có: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{Ax + B}}{{a{{\left( {x – {x_0}} \right)}^2}}}} dx$ $ = \frac{1}{a}\int_a^\beta {\frac{{A\left( {x – {x_0}} \right) + C}}{{a{{\left( {x – {x_0}} \right)}^2}}}} dx$ $ = \frac{1}{a}\int_\alpha ^\beta {\left( {\frac{A}{{x – {x_0}}} + \frac{C}{{{{\left( {x – {x_0}} \right)}^2}}}} \right)} dx$. + Nếu $\Delta < 0$, ta có: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{k{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}^\prime } + h}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx$ $ = k\int_\alpha ^\beta {\frac{{d\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}{{a{x^2} + bx + c}}} $ $ + h\int_\alpha ^\beta {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} .$ Dạng 4: Nếu $Q(x)$ có bậc lớn hơn $2$, ta thực hiện giảm bậc bằng cách đổi biến, tách ghép, nhân, chia … để đưa bài toán về các dạng 1, dạng 2, dạng 3. Trường hợp 2: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $≥$ bậc của mẫu số $Q(x)$, ta sử dụng phép chia đa thức: $I = \int_\alpha ^\beta {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} $ $ = \int_\alpha ^\beta {\left[ {H(x) + \frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} \right]} dx$ $ = \int_\alpha ^\beta H (x)dx + \int_\alpha ^\beta {\frac{{R(x)}}{{Q(x)}}} dx$ $ = {I_1} + {I_2}$, trong đó $I_1$ là tích phân cơ bản, $I_2$ là tích phân hàm số phân thức hữu tỉ có bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số. Chú ý: Đối với những bài toán phức tạp, để đưa về các dạng 1, 2, 3 ta phải thực hiện biến đổi phân số ban đầu thành tổng các phân số và tìm các hệ số bằng phương pháp đồng nhất thức. Một số trường hợp thường gặp: • $\frac{1}{{(ax + b)(cx + d)}}$ $ = \frac{1}{{ad – bc}}\left( {\frac{a}{{ax + b}} – \frac{c}{{cx + d}}} \right).$ • $\frac{{mx + n}}{{(ax + b)(cx + d)}}$ $ = \frac{A}{{ax + b}} + \frac{B}{{cx + d}}.$ • $\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}}}$ $ = \frac{A}{{ax + b}} + \frac{B}{{{{(ax + b)}^2}}}.$ • $\frac{{mx + n}}{{{{(ax + b)}^2}(cx + d)}}$ $ = \frac{A}{{{{(ax + b)}^2}}} + \frac{B}{{cx + d}} + \frac{C}{{ax + b}}.$ • $\frac{1}{{(x – m)\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}$ $ = \frac{A}{{x – m}} + \frac{{Bx + C}}{{a{x^2} + bx + c}}$, với $\Delta = {b^2} – 4ac < 0.$ • $\frac{1}{{{{(x – a)}^2}{{(x – b)}^2}}}$ $ = \frac{A}{{x – a}} + \frac{B}{{{{(x – a)}^2}}}$ $ + \frac{C}{{x – b}} + \frac{D}{{{{(x – b)}^2}}}.$ • $\frac{{P(x)}}{{{{\left( {x – {x_o}} \right)}^n}}}$ $ = \frac{A}{{x – {x_o}}} + \frac{B}{{{{\left( {x – {x_o}} \right)}^2}}}$ $ + \ldots + \frac{C}{{{{\left( {x – {x_o}} \right)}^n}}}.$ • $\frac{{P(x)}}{{\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right)…}}$ $ = \frac{A}{{x – {x_1}}} + \frac{B}{{x – {x_2}}}$ $ + \frac{C}{{x – {x_3}}} + \cdots .$ 2. Một số bài toán minh họa Bài toán 1: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_1^2 {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx.$ b) $I = \int_{\sqrt 5 }^3 {\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx.$ c) $\int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx.$ a) Ta có: $\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left( {2{x^3} + 3{x^2}} \right) – \frac{3}{2}\left( {2{x^2} + 3x} \right) + \frac{9}{4}(2x + 3) – \frac{{27}}{4}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} – \frac{{27}}{{8(2x + 3)}}.$ Suy ra: $\int_1^2 {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx$ $ = \int_1^2 {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} – \frac{{27}}{{8(2x + 3)}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{8}{x^2} + \frac{9}{8}x – \frac{{27}}{{16}}\ln |2x + 3|} \right)} \right|_1^2$ $ = – \frac{{13}}{6} – \frac{{27}}{{16}}\ln 35.$ b) Ta có: $\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}$ $ = \frac{{{x^2} – 1 – 4}}{{x + 1}}$ $ = x – 1 – \frac{4}{{x + 1}}.$ Suy ra: $\int_{\sqrt 5 }^3 {\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx$ $ = \int_{\sqrt 5 }^3 {\left( {x – 1 – \frac{4}{{x + 1}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} – x – 4\ln |x + 1|} \right)} \right|_{\sqrt 5 }^3$ $ = \sqrt 5 – 1 + 4\ln \left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}} \right).$ c) Ta có: $\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}$ $ = \frac{{x\left( {{x^2} – 1} \right) + x}}{{{x^2} – 1}}$ $ = x + \frac{x}{{{x^2} – 1}}.$ Suy ra: $\int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx$ $ = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \frac{x}{{{x^2} – 1}}} \right)} dx$ $ = \int_1^{\frac{1}{2}} x dx + \int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{{x^2} – 1}}} $ $ = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}\ln \left. {\left| {{x^2} – 1} \right|} \right|_0^{\frac{1}{2}}$ $ = \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\ln \frac{3}{4}.$ Bài toán 2: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ: $I = \int_0^1 {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx.$ Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $f(x) = \frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = \frac{{4x + 11}}{{(x + 2)(x + 3)}}$ $ = \frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{{x + 3}}$ $ = \frac{{A(x + 3) + B(x + 2)}}{{(x + 2)(x + 3)}}.$ Thay $x = – 2$ vào hai tử số: $3 = A$ và thay $x = -3$ vào hai tử số: $-1 = -B$ suy ra $B = 1.$ Do đó: $f(x) = \frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}.$ Vậy: $\int_0^1 {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx$ $ = \int_0^1 {\left( {\frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right)} dx$ $ = 3\ln |x + 2| + \ln \left. {|x + 3|} \right|_0^1$ $ = 2\ln 3 – \ln 2.$ Cách 2: (Nhảy tầng lầu) Ta có: $f(x) = \frac{{2(2x + 5) + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = 2.\frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ + \frac{1}{{(x + 2)(x + 3)}}$ $ = 2.\frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ + \frac{1}{{x + 2}} – \frac{1}{{x + 3}}.$ Suy ra: $I = \int_0^1 f (x)dx$ $ = \int_0^1 {\left( {2.\frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}} + \frac{1}{{x + 2}} – \frac{1}{{x + 3}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {2\ln \left| {{x^2} + 5x + 6} \right| + \ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}} \right|} \right)} \right|_0^1$ $ = 2\ln 3 – \ln 2.$ Bài toán 3: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx.$ b) $I = \int_0^1 {\frac{{4x}}{{4{x^2} – 4x + 1}}} dx.$ a) Cách 1: Thực hiện cách chia đa thức ${x^3}$ cho đa thức ${x^2} + 2x + 1$, ta được: $\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}$ $ = x – 2 + \frac{{3x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}.$ $I = \int_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx$ $ = \int_0^3 {(x – 2)} dx$ $ + \int_0^3 {\frac{{3x + 3 – 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right)} \right|_0^3$ $ + \frac{3}{2}\int_0^3 {\frac{{d\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{x^2} + 2x + 1}}} $ $ – \int_0^3 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} $ $ = – \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\ln \left. {{{(x + 1)}^2}} \right|_0^3$ $ + \left. {\frac{1}{{x + 1}}} \right|_0^3$ $ = – \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\ln 16 + \frac{1}{4} – 1$ $ = – \frac{9}{4} + 6\ln 2.$ Cách 2: Ta có: $\int_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx$ $ = \int_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{{(x + 1)}^2}}}} dx.$ Đặt $t = x + 1$, suy ra: $dx = dt$, $x = t – 1.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow t = 1}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 4} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = \int_1^4 {\frac{{{{(t – 1)}^3}}}{{{t^2}}}} dt$ $ = \int_1^4 {\left( {t – 3 + \frac{3}{t} – \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} dt$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{2}{t^2} – 3t + 3\ln |t| + \frac{1}{t}} \right)} \right|_1^4$ $ = – \frac{9}{4} + 6\ln 2.$ b) Ta có: $\frac{{4x}}{{4{x^2} – 4x + 1}}$ $ = \frac{{4x}}{{{{(2x – 1)}^2}}}.$ Đặt $t = 2x – 1$ suy ra: $dt = 2dx$ $ \to dx = \frac{1}{2}dt.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow t = – 1}\\ {x = 1 \Rightarrow t = 1} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_0^1 {\frac{{4x}}{{4{x^2} – 4x + 1}}} dx$ $ = \int_0^1 {\frac{{4x}}{{{{(2x – 1)}^2}}}} dx$ $ = \int_{ – 1}^1 {\frac{{4.\frac{1}{2}(t + 1)}}{{{t^2}}}} \frac{1}{2}dt$ $ = \int_{ – 1}^1 {\left( {\frac{1}{t} + \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} dt$ $ = \left. {\left( {\ln |t| – \frac{1}{t}} \right)} \right|_{ – 1}^1$ $ = – 2.$ Bài toán 4: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 4x + 5}}} dx.$ b) $I = \int_0^2 {\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}} dx.$ a) Ta có: $\int_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 4x + 5}}} dx$ $ = \int_0^2 {\frac{x}{{{{(x + 2)}^2} + 1}}} dx.$ Đặt $x + 2 = \tan t$, suy ra: $dx = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}dt$. Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow \tan t = 2}\\ {x = 2 \Rightarrow \tan t = 4} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_0^2 {\frac{x}{{{{(x + 2)}^2} + 1}}} dx$ $ = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\frac{{\tan t – 2}}{{1 + {{\tan }^2}t}}} \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$ $ = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left( {\frac{{\sin t}}{{\cos t}} – 2} \right)} dt$ $ = \left. {( – \ln |\cos t| – 2t)} \right|_{{t_1}}^{{t_2}}.$ Từ $\tan t = 2$ $ \Rightarrow 1 + {\tan ^2}t = 5$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}t = \frac{1}{5}$ $ \Rightarrow \cos {t_1} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$ và $\tan t = 4$ $ \Rightarrow 1 + {\tan ^2}t = 17$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}t = \frac{1}{{17}}$ $ \Rightarrow \cos {t_2} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}.$ Vậy $\left. {( – \ln |\cos t| – 2t)} \right|_{{t_1}}^{{t_2}}$ $ = 2(\arctan 4 – \arctan 2) – \frac{1}{2}\ln \frac{5}{{17}}.$ b) Ta có: $\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}$ $ = \frac{{{x^3} + 4x + 2{x^2} + 8 + 1}}{{{x^2} + 4}}$ $ = x + 2 + \frac{1}{{{x^2} + 4}}.$ Do đó: $\int_0^2 {\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}} dx$ $ = \int_0^2 {\left( {x + 2 + \frac{1}{{{x^2} + 4}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_0^2$ $ + \int_0^2 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}} $ $ = 6 + J.$ Tính tích phân: $J = \int_0^2 {\frac{1}{{{x^2} + 4}}} dx.$ Đặt $x = 2\tan t$ suy ra: $dx = \frac{2}{{{{\cos }^2}t}}dt.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow t = 0}\\ {x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}} \end{array}} \right.$ Ta có: $t \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]$ $ \to \cos t > 0.$ Khi đó: $J = \int_0^2 {\frac{1}{{{x^2} + 4}}} dx$ $ = \frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}t}}} \frac{2}{{{{\cos }^2}t}}dt$ $ = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{4}} d t$ $ = \frac{1}{2}\left. t \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{8}.$ Vậy $I = 6 + \frac{\pi }{8}.$ Bài toán 5: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_0^1 {\frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}} dx.$ b) $I = \int_{ – 1}^0 {\frac{{{x^4}}}{{{{(x – 1)}^3}}}} dx.$ a) Cách 1: Đặt $x + 1 = t$, suy ra: $x = t – 1.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \Rightarrow t = 1}\\ {x = 1 \Rightarrow t = 2} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_0^1 {\frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}} dx$ $ = \int_1^2 {\frac{{t – 1}}{{{t^3}}}} dt$ $ = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{{{t^2}}} – \frac{1}{{{t^3}}}} \right)} dt$ $ = \left. {\left( { – \frac{1}{t} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{t^2}}}} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{1}{8}.$ Cách 2: Ta có: $\frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}$ $ = \frac{{(x + 1) – 1}}{{{{(x + 1)}^3}}}$ $ = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} – \frac{1}{{{{(x + 1)}^3}}}.$ Do đó: $\int_0^1 {\frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}} dx$ $ = \int_0^1 {\left[ {\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} – \frac{1}{{{{(x + 1)}^3}}}} \right]} dx$ $ = \left. {\left[ { – \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]} \right|_0^1$ $ = \frac{1}{8}.$ b) Đặt $x – 1 = t$, suy ra: $x = t + 1.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 1 \Rightarrow t = – 2}\\ {x = 0 \Rightarrow t = – 1} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_{ – 1}^0 {\frac{{{x^4}}}{{{{(x – 1)}^3}}}} dx$ $ = \int_{ – 2}^{ – 1} {\frac{{{{(t + 1)}^4}}}{{{t^3}}}} dt$ $ = \int_{ – 2}^{ – 1} {\frac{{{t^4} + 4{t^3} + 6{t^2} + 4t + 1}}{{{t^3}}}} dt$ $ = \int_{ – 2}^{ – 1} {\left( {t + 4 + \frac{6}{t} + \frac{4}{{{t^2}}} + \frac{1}{{{t^3}}}} \right)} dt$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{2}{t^2} + 4t + 6\ln |t| – \frac{4}{t} – \frac{1}{2}\frac{1}{{{t^2}}}} \right)} \right|_{ – 2}^1$ $ = \frac{{33}}{8} – 6\ln 2.$ Bài toán 6: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_2^3 {\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^3}}}} dx.$ b) $I = \int_2^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{(x – 1)}^2}(x + 2)}}} dx.$ a) Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{A}{{x – 1}} + \frac{B}{{(x + 1)}} + \frac{C}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{{A{{(x + 1)}^2} + B(x – 1)(x + 1) + C(x – 1)}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $(1).$ Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 = 4A}\\ {1 = – 2C} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = \frac{1}{4}}\\ {C = – \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $(1) \Leftrightarrow \frac{{(A + B){x^2} + (2A + C)x + A – B – C}}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}$ $ \Rightarrow A – B – C = 1$ $ \Leftrightarrow B = A – C – 1$ $ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} – 1 = – \frac{1}{4}.$ Do đó: $\int_2^3 {\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = \int_2^3 {\left( {\frac{1}{4}\frac{1}{{x – 1}} + \frac{1}{4}\frac{1}{{(x + 1)}} – \frac{1}{2}\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left[ {\frac{1}{4}\ln (x – 1)(x + 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}}} \right]} \right|_2^3$ $ = \frac{1}{4}\ln 8 = \frac{3}{4}\ln 2.$ Cách 2: (Phương pháp đổi biến) Đặt: $t = x + 1$, suy ra $x = t – 1.$ Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 \Rightarrow t = 3}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 4} \end{array}} \right.$ Khi đó: $I = \int_2^3 {\frac{1}{{(x – 1){{(x + 1)}^2}}}} dx$ $ = \int_3^4 {\frac{{dt}}{{{t^2}(t – 2)}}} $ $ = \frac{1}{2}\int_3^4 {\frac{{t – (t – 2)}}{{{t^2}(t – 2)}}} dt$ $ = \frac{1}{2}\left( {\int_2^4 {\frac{1}{{t(t – 2)}}} dt – \int_3^4 {\frac{1}{t}} dt} \right)$ $ \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\int_2^4 {\left( {\frac{1}{{t – 2}} – \frac{1}{t}} \right)} dt – \int_3^4 {\frac{1}{t}} dt} \right)$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{t – 2}}{t}} \right| – \frac{1}{2}\ln |t|} \right)} \right|_3^4$ $ = \frac{3}{4}\ln 2.$ b) Đặt $t = x – 1$, suy ra $x = t + 1$, $dx = dt.$ Đổi cận $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 \Rightarrow t = 1}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 2} \end{array}} \right.$ Do đó: $\int_2^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{(x – 1)}^2}(x + 2)}}} dx$ $ = \int_1^2 {\frac{{{{(t + 1)}^2}}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt$ $ = \int_1^2 {\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt.$ Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = \frac{{At + B}}{{{t^2}}} + \frac{C}{{t + 3}}$ $ = \frac{{(At + B)(t + 3) + C{t^2}}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = \frac{{(A + C){t^2} + (3A + B)t + 3B}}{{{t^2}(t + 3)}}.$ Đồng nhất hệ số hai tử số: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A + C = 1}\\ {3A + B = 2}\\ {3B = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {B = \frac{1}{3}}\\ {A = \frac{5}{9}}\\ {C = \frac{4}{9}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = \frac{1}{9}\frac{{t + 3}}{{{t^2}}} + \frac{4}{9}\frac{1}{{t + 3}}.$ Do đó: $\int_1^2 {\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt$ $ = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{9}\left( {\frac{1}{t} + \frac{3}{{{t^2}}}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{1}{{t + 3}}} \right)} \right)} dt$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{9}\left( {\ln |t| – \frac{3}{t}} \right) + \frac{4}{9}\ln |t + 3|} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{{17}}{6} + \frac{4}{9}\ln 5 – \frac{7}{9}\ln 2.$ Cách 2: Ta có: $\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}$ $ = \frac{1}{3}\left( {\frac{{3{t^2} + 6t + 3}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right)$ $ = \frac{1}{3}\left[ {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}} + \frac{3}{{{t^2}(t + 3)}}} \right]$ $ = \frac{1}{3}\left[ {\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\left( {\frac{{{t^2} – \left( {{t^2} – 9} \right)}}{{{t^2}(t + 3)}}} \right)} \right]$ $ = \frac{1}{3}\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right)$ $ + \frac{1}{9}\frac{1}{{t + 3}} – \frac{1}{9}\frac{{t – 3}}{{{t^2}}}$ $ = \frac{1}{3}\left[ {\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\frac{1}{{t + 3}} – \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{t} – \frac{3}{{{t^2}}}} \right)} \right].$ Vậy: $\int_1^2 {\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}(t + 3)}}} dt$ $ = \int_1^2 {\left( {\frac{1}{3}\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{{t + 3}} – \frac{1}{t} + \frac{3}{{{t^2}}}} \right)} \right)} dt$ $\left. { = \left[ {\frac{1}{3}\ln \left| {{t^3} + 3{t^2}} \right| + \frac{1}{{27}}\left( {\ln \left| {\frac{{t + 3}}{t}} \right| – \frac{3}{t}} \right)} \right]} \right|_1^2.$ Do đó: $I = \frac{{17}}{6} + \frac{4}{9}\ln 5 – \frac{7}{9}\ln 2.$ Bài toán 7: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau: a) $I = \int_2^3 {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}} dx.$ b) $I = \int_3^4 {\frac{{x + 1}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}} dx.$ c) $\int_2^3 {\frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}} dx.$ a) Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $f(x) = \frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}$ $ = \frac{1}{{x(x – 1)(x + 1)}}$ $ = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x – 1}} + \frac{C}{{x + 1}}$ $ = \frac{{A\left( {{x^2} – 1} \right) + Bx(x + 1) + Cx(x – 1)}}{{x(x – 1)(x + 1)}}.$ Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: $x = 0$, $x = 1$ và $x = -1$ vào hai tử ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \to 1 = – A}\\ {x = – 1 \to 1 = 2C}\\ {x = 1 \to 1 = 2B} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = – 1}\\ {B = \frac{1}{2}}\\ {C = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow f(x) = – \frac{1}{x}$ $ + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x – 1}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right).$ Vậy $\int_2^3 {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}} dx$ $ = \int_2^3 {\left( {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x – 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right) – \frac{1}{x}} \right)} dx$ $ = \left. {\left[ {\frac{1}{2}(\ln (x – 1)(x + 1)) – \ln |x|} \right]} \right|_2^3$ $ = \frac{5}{2}\ln 2 – \frac{3}{2}\ln 3.$ Cách 2: (Phương pháp nhảy lầu) Ta có: $\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}$ $ = \frac{{{x^2} – \left( {{x^2} – 1} \right)}}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}$ $ = \frac{x}{{{x^2} – 1}} – \frac{1}{x}$ $ = \frac{1}{2}\frac{{2x}}{{{x^2} – 1}} – \frac{1}{x}.$ Do đó: $\int_2^3 {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}} dx$ $ = \frac{1}{2}\int_2^3 {\frac{{2xdx}}{{{x^2} – 1}}} – \int_2^3 {\frac{1}{x}} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} – 1} \right) – \ln x} \right)} \right|_2^3$ $ = \frac{5}{2}\ln 2 – \frac{3}{2}\ln 3.$ b) Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $\frac{{x + 1}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}$ $ = \frac{{x + 1}}{{x(x – 2)(x + 2)}}$ $ = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x – 2}} + \frac{C}{{x + 2}}$ $ = \frac{{A\left( {{x^2} – 4} \right) + Bx(x + 2) + Cx (x – 2)}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}.$ Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số: Khi $x = 0$, ta có: $1 = – 4A$, suy ra: $A = – \frac{1}{4}.$ Khi $x = – 2$, ta có: $ – 1 = 8C$, suy ra: $C = – \frac{1}{8}.$ Khi $x = 2$, ta có: $3 = 8B$, suy ra: $B = \frac{3}{8}.$ Do đó: $f(x) = – \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x}} \right)$ $ – \frac{1}{8}\left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right) + \frac{3}{8}\left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right).$ Vậy $\int_3^4 {\frac{{x + 1}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}} dx$ $ = – \frac{1}{4}\int_2^3 {\frac{1}{x}} dx$ $ – \frac{1}{8}\int_2^3 {\frac{1}{{x – 2}}} dx$ $ + \frac{3}{8}\int_2^3 {\frac{1}{{x + 2}}} dx$ $= \left. {\left( { – \frac{1}{4}\ln |x| – \frac{1}{8}\ln |x – 2| + \frac{3}{8}\ln |x + 2|} \right)} \right|_2^3$ $ = \frac{5}{8}\ln 3 – \frac{3}{8}\ln 5 – \frac{1}{4}\ln 2.$ Cách 2: (Phương pháp nhảy lầu) Ta có: $\frac{{x + 1}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}$ $ = \frac{1}{{\left( {{x^2} – 4} \right)}} + \frac{1}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}$ $ = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right)$ $ + \frac{1}{4}\left( {\frac{{{x^2} – \left( {{x^2} – 4} \right)}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}} \right)$ $ = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{2}\frac{{2x}}{{{x^2} – 4}} – \frac{1}{x}} \right).$ Do đó: $\int_3^4 {\frac{{x + 1}}{{x\left( {{x^2} – 4} \right)}}} $ $ = \frac{1}{4}\int_3^4 {\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{2}\frac{{2x}}{{{x^2} – 4}} – \frac{1}{x}} \right)} dx$ $= \left. {\left[ {\frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x – 2}}{{x + 2}}} \right| + \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} – 4} \right) – \ln |x|} \right]} \right|_3^4.$ c) Cách 1: (Phương pháp đồng nhất thức) Ta có: $\frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}$ $ = \frac{{{x^2}}}{{(x – 1)(x + 1)(x + 2)}}$ $ = \frac{A}{{x – 1}} + \frac{B}{{x + 1}} + \frac{C}{{x + 2}}$ $ = \frac{{A(x + 1)(x + 2) + B(x – 1)(x + 2) + C\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}.$ Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số: Thay: $x = 1$, ta có: $1 = 2A$, suy ra: $A = \frac{1}{2}.$ Thay: $x = – 1$, ta có: $1 = – 2B$, suy ra: $B = – \frac{1}{2}.$ Thay: $x = – 2$, ta có: $4 = – 5C$, suy ra: $C = – \frac{5}{4}.$ Do đó: $I = \int_2^3 {\frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}} dx$ $ = \int_2^3 {\left( {\frac{1}{2}\frac{1}{{x – 1}} – \frac{1}{2}\frac{1}{{x + 1}} – \frac{5}{4}\frac{1}{{x + 2}}} \right)} dx$ $ = \left. {\left[ {\frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} \right| – \frac{5}{4}\ln |x + 2|} \right]} \right|_2^3$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}.$ Cách 2: (Nhảy tầng lầu) $\frac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}$ $ = \frac{{{x^2} – 1 + 1}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)(x + 2)}}$ $ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{(x – 1)(x + 1)(x + 2)}}$ $ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{2}\frac{{x(x + 1) – (x – 1)(x + 2)}}{{(x – 1)(x + 1)(x + 2)}}$ $ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{2}\left[ {\frac{x}{{(x – 1)(x + 2)}} – \frac{1}{{x + 1}}} \right]$ $ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{2}\left[ {1 + \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{x – 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right) – \frac{1}{{x + 1}}} \right].$

   Bài viết mới nhất

   • Phương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ06/12/2018
   • Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 206/12/2018
   • Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 106/12/2018
   • Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể06/12/2018
   • Sử dụng phương pháp đường chéo tính nguyên hàm và tích phân16/12/2017
   Tăng Giáp, 6/12/18 #1

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,071 Bài viết: 12,735 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: duychien.saigonapp

Chủ đề mới nhất

• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài kí Ai đã đặt... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích truyện Vợ chồng... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài thơ tây tiến... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN > Bài 2. Tích phân >