Phương Trình đối Xứng đối Với Sin(x) Và Cos(x). | Tăng Giáp

• Home
• Forums New posts Search forums
• Lớp 12 Vật Lí 12
• What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
• Members Current visitors New profile posts Search profile posts

Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm

Tìm kiếm

Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề Note By: Search Tìm nâng cao…

• New posts
• Search forums

Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS

Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.

Note: This feature may not be available in some browsers.

• Home
• Forums
• Lớp 11
• Toán học 11
• Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC
• Bài 02. PT đối xứng với sin, cos, tan, cot

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Phương trình đối xứng đối với sin(x) và cos(x).

• Thread starter Thread starter Doremon
• Ngày gửi Ngày gửi 9/12/14

Doremon

Moderator

Thành viên BQT Phương pháp giải a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin(x) và cos(x).là phương trình dạng a[sin(x) + cos(x)] + bsin(x)cos(x) + c = 0 trong đó a, b, c ∈ R (1) b) Cách giải: Cách 1: Do $a{(\sin x + cosx)^2} = 1 + \sin x\cos x$ nên ta đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)$. Điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $ Suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ và phương trình (1) được viết lại: $b{t^2} + 2at - (b + 2c) = 0$ Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải Cách 2: Đặt t = π/4 - x thì $\sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x) = \sqrt 2 \cos t$ $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{1}{2}\cos (\frac{\pi }{2} - 2x) = \frac{1}{2}\cos 2t = {\cos ^2}t - \frac{1}{2}$ nên phương trình (1) trở thành $b{\cos ^2}x + \sqrt 2 \cos x - \frac{b}{2} + c = 0$. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình a[sin(x) – cos(x)] + bsin(x).cos(x) + c = 0 bằng cách đặt t = sin(x) – cos(x) và lúc đó $\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}$ Ví Dụ Minh Hoạ Ví Dụ 1: Giải phương trình sin(x) + cos(x) – 2sin(x).cos(x) + 1 = 0 (1) Giải​Cách 1: Đặt sin(x) + cos(x) = t điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $. Lúc đó $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng $t - 2(\frac{{{t^2} - 1}}{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$ Với t = 2 không thoả mãn điều kiện nên (*) ↔ t = -1 ↔ sin(x) + cos(x) = - 1$ \leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - 1 \leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \,\,\,\,\end{array} \right.\,\,\,k \in Z$ Cách 2: Đặt z = π/4 - x. Khi đó phương trình có dạng $\sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x) - \sin 2x + 1 = 0$ $ \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - \sin 2(\frac{\pi }{4} - z) + 1 = 0 \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - \sin (\frac{\pi }{2} - z) + 1 = 0$ $ \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - \cos 2z + 2 = 0 \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - (2{\cos ^2}z - 1) + 1 = 0$ $ - 2{\cos ^2}z + \sqrt 2 \cos z + 1 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos z = \sqrt 2 \\\cos z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$ (*’) Ta thấy $\cos z = \sqrt 2 $không thoả mãn Do đó (*’) $ \leftrightarrow \cos z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\z = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} - x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{4} - x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{2} - k2\pi \\x = \pi - k2\pi \end{array} \right.\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm *Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải phương trình ${a^2}\tan x + {b^2}\cot x = c(a\sin x \pm b\cos x)\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,a\,b \ne 0$ Cách giải:​Phương trình (1) có thể viết $\frac{{{a^2}{{\sin }^2}x - {b^2}{{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} = \,c(a\sin x \pm b\cos x)$ $ \leftrightarrow (a\sin x - b\cos x)(a\sin x + b\cos x) = c(a\sin x \pm b\cos x)$ $ \leftrightarrow (a\sin x\left[ \pm \right]b\cos x)\left[ {(a\sin x\left[ \mp \right]b\cos x) - c\sin x.\cos x} \right] = 0$ $ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a\sin x\left[ \pm \right]b\cos x = 0\\a\sin x\left[ \mp \right]b\cos x - c\sin x.\cos x = 0\end{array} \right.$ *Quy ước: Khi có nhiều dấu [± ] trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới Ví Dụ 2: Giải phương trình $\tan x - 3\cot x = 4(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\,\,\,\,\,(2)$ Giải: ​Điều kiện: $\sin x.\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,k \in Z$ Ta có (2) $ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin x.\cos x}}({\sin ^2}x - 3{\cos ^2}x)\, = 4(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\,$ $ \Leftrightarrow (\sin x - \sqrt 3 \cos x)(\sin x + \sqrt 3 \cos x) = 4(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\sin x.\cos x$ $ \Leftrightarrow (\sin x + \sqrt 3 \cos x).\left[ {(\sin x - \sqrt 3 \cos x)\sin 2x} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\\\sin x - \sqrt 3 \cos x - \sin 2x = 0\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.$ Ta có (3) $ \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,(5)$ (4) $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin 2x \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x - \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \sin 2x$ $ \Leftrightarrow \sin (x - \frac{\pi }{3}) = \sin 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = x - \frac{\pi }{3} + l2\pi \\2x = \pi - x + \frac{\pi }{3} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + l2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,l \in Z$ (6) Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm. Bài toán 2: Giải phương trình: $a(\tan x\left[ \pm \right]\sin x) + \,\,b(\cot x\left[ \pm \right]\cos x) \pm (a + b) = 0$ với a, b, c, d ∈ R (1) Cách giải:​Ta có: $\begin{array}{l}a(\tan x\left[ \pm \right]\sin x \pm 1) + \,\,b(\cot x\left[ \pm \right]\cos x \pm 1) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{\cos x}}(\sin x\left[ \pm \right]\sin x.\cos x + \cos x) + \frac{b}{{\sin x}}(\sin x\left[ \pm \right]\sin x.\cos x + \cos x) = 0\\ \Leftrightarrow (\frac{a}{{\cos x}} + \frac{b}{{\sin x}})(\sin x\left[ \pm \right]\sin x.\cos x + \cos x) = 0\end{array}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{{\cos x}} + \frac{b}{{\sin x}} = 0\\\sin x\left[ \pm \right]\sin x\cos x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = - \frac{b}{a}\\\sin x\left[ \pm \right]\sin x\cos x + \cos x = 0\end{array} \right.$ Đến đây chúng ta đã biết cách giải Tương tự cho phương trình $a(\tan x\left[ \pm \right]\sin x) + b(\cot x\left[ \pm \right]\cos x) - a + b = 0\,\,$ Ví Dụ 3: Giải phương trình $\tan x - \sqrt 3 \cot x - \sin x + \sqrt 3 \cos x + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,$ ¬(3) Giải​ Điều kiện $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,\,k \in Z$ (3) $ \Leftrightarrow \tan x - \sin x - \sqrt 3 (\cot x - \cos x) + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}}(\sin x - \sin x\cos x + \cos x) - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,$ $ \Leftrightarrow (\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}})(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\\\sin x - \sin x.\cos x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\,\,\end{array} \right.$ Giải (4) $ \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,k \in Z$ Giải (5): Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)\,\,\,\,\,\,|t| \le \sqrt 2 $ (*) Suy ra $\sin x.\,\,\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ . Phương trình (5) trở thành $t - \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 - \sqrt 2 \\t = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.$ Kết hợp với điều kiện (*) thì $t = 1 + \sqrt 2 $ bị loại Với $t = 1 - \sqrt 2 $ ta có $\sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)\, = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \cos \alpha \,\,\,\,\,$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \pm \alpha \, + l2\pi \,\, \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} \pm \alpha \, + l2\pi \,\,$ (với $\alpha \in R,\,\,\,l \in Z$) Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình Vậy phương trình có ba họ nghiệm Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2. Ví dụ 4: Giải phương trình: ${\cos ^4}\frac{x}{2} - {\sin ^4}\frac{x}{2} = \sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$ Giải​Ta có: ${\cos ^4}\frac{x}{2} - {\sin ^4}\frac{x}{2} = ({\cos ^2}\frac{x}{2} - {\sin ^2}\frac{x}{2})({\cos ^2}\frac{x}{2} + {\sin ^2}\frac{x}{2}) = \cos x$ Phương trình (1) có dạng $\begin{array}{l}\cos x = \sin 2x \Leftrightarrow \cos x = 2\sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow \cos x(1 - 2\sin x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = \frac{1}{2}\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$ Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Ví Dụ 5: Giải phương trình: $8\,\,\frac{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}{{\sin 2x}} = {\tan ^2}x + {\cot ^2}x$ (2) Giải​Điều kiện: sin(2x) ≠ 0 Phương trình (2) $ \Leftrightarrow 8(1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x) = 2\sin 2x(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}})$ $ \Leftrightarrow 8 - 6{\sin ^2}2x = 4\sin 2x.\frac{{1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}}$ $(8 - 6{\sin ^2}2x)\sin 2x = 4 - 2{\sin ^2}2x$ $ \leftrightarrow 3{\sin ^3}2x - {\sin ^2}2x - 4\sin 2x + 2 = 0$↔$(\sin 2x - 1)(3{\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 2) = 0$↔$\left[ \begin{array}{l}\sin 2x - 1 = 0\\3{\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 2 = 0\end{array} \right.$ ↔$\left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 1\\\sin 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 7 }}{3}\\\sin 2x = \frac{{\sqrt 7 - 1}}{3} = \sin \alpha \end{array} \right.$ (loại) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z$ Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin(2x) ≠ 0 Vậy phương trình có 3 họ nghiệm Bài tập rèn luyện Giải các phương trình sau: Bài tập 1. $\,\,\,\,\frac{{20}}{{\sin 2x - 2(\sin x - \cos x)}} = (\frac{1}{2}\tan x + \frac{1}{{\sin x + \cos x}})\cos 2x - 9$ Bài tập 2. $\,\,\,\,2(\tan x - \sin x) + 3(\cot x - \cos x) + 5 = 0$ Bài tập 3. $\,\,\,\,\,1 + {\cos ^3}x - {\sin ^3}x = \sin 2x$ Bài tập 4. $\,\sin x + \cos x = (\sqrt 3 - 1)\cos 2x$ Bài tập 5. $\,\,\,\,2{\cos ^2}\frac{x}{2}(1 - \sin x) + {\cos ^2}x = 0$ Bài tập 6. $\,\,\,\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin 2x + \sin x + \cos x$ Bài tập 7. $4({\sin ^4}x + {\cos ^4}x) + \sqrt 3 \sin 4x = 2$ Bài tập 8. ${\sin ^8}x + {\cos ^8}x = \frac{{17}}{{32}}$ Bài tập 9. ${\sin ^3}x.\cos x + \frac{1}{4}{\cos ^4}2x = \sin x.{\cos ^3}x + \frac{1}{4}{\sin ^4}2x + \frac{{\sqrt 2 }}{8}$ Bài tập 10. ${\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2({\sin ^5}x + {\cos ^5}x)$ Bài tập 11. ${\sin ^8}x + {\cos ^8}x = ({\sin ^{10}}x + {\cos ^{10}}x) + \frac{5}{4}\cos 2x$ You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

Trending content

• Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
  • Tăng Giáp
  • 8/12/18
  Trả lời: 0
• Thread 'Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát'
  • Tăng Giáp
  • 7/12/18
  Trả lời: 1
• Thread 'SỐ PHỨC'
  • AnhNguyen
  • 14/4/16
  Trả lời: 84
• Thread 'Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân'
  • Tăng Giáp
  • 5/10/17
  Trả lời: 18
• Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
  • Minh Toán
  • 10/11/17
  Trả lời: 148
• Thread 'Công thức giải nhanh vật lý phần dao động cơ'
  • Tăng Giáp
  • 10/4/15
  Trả lời: 6
• H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
  • Huy Hoàng
  • 22/2/16
  Trả lời: 179
• Thread 'Các bước khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất'
  • Doremon
  • 3/12/14
  Trả lời: 6
• V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 98
• Thread 'Sóng dừng'
  • Doremon
  • 23/12/14
  Trả lời: 25

Latest posts

• Sóng dừng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Giao Thoa Sóng Cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Sóng điện từ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Bài 22: Sóng điện từ
• Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Mô tả sóng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Bài 5. Điện thế
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Bài 6. Tụ Điện
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
  • Latest: Tăng Giáp
  • 22/11/25
  Bài 01. Phương trình

Members online

No members online now. Total: 31 (members: 0, guests: 31)

Share this page

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

• Home
• Forums
• Lớp 11
• Toán học 11
• Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC
• Bài 02. PT đối xứng với sin, cos, tan, cot

Back Top