Một số khái niệm
[sửa | sửa mã nguồn] Vectơ chỉ phương của đường thẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Vectơ u → ≠ 0 → {\displaystyle {\vec {u}}\neq {\vec {0}}} 
và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} 
, vectơ k u → {\displaystyle k{\vec {u}}} 
cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Vectơ n → ≠ 0 → {\displaystyle {\vec {n}}\neq {\vec {0}}} 
và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} , vectơ k n → {\displaystyle k{\vec {n}}} 
cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó
Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Trong mặt phẳng tọa độ O x y {\displaystyle Oxy} 
, đường thẳng d {\displaystyle d} 
có vectơ chỉ phương a → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a,b)} 
thì có vectơ pháp tuyến là n → = ( − b , a ) {\displaystyle {\vec {n}}=(-b,a)} 
hay n → = ( b , − a ) {\displaystyle {\vec {n}}=(b,-a)} 
. Ngược lại, đường thẳng d {\displaystyle d} có vectơ pháp tuyến n → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)} 
thì có vectơ chỉ phương là a → = ( − b , a ) {\displaystyle {\vec {a}}=(-b,a)} 
hay a → = ( b , − a ) {\displaystyle {\vec {a}}=(b,-a)} 
Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z {\displaystyle Oxyz} 
, đường thẳng d {\displaystyle d} có vectơ n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) {\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})} 
và vectơ n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) {\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})} 
là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa n 1 → {\displaystyle {\vec {n_{1}}}} 
với n 2 → {\displaystyle {\vec {n_{2}}}} 
hoặc giữa n 2 → {\displaystyle {\vec {n_{2}}}} với n 1 → {\displaystyle {\vec {n_{1}}}} .
Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Dạng tham số
[sửa | sửa mã nguồn] Trong mặt phẳng tọa độ O x y {\displaystyle Oxy} , cho đường thẳng d {\displaystyle d} đi qua điểm M ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle M(x_{0},y_{0})} 
và nhận u → = ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})} 
làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d {\displaystyle d} là { x = x 0 + u 1 t y = y 0 + u 2 t {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\end{cases}}} 
với t {\displaystyle t} 
được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R {\displaystyle t\in R} 
ta được một điểm thuộc đường thẳng.
Dạng chính tắc
[sửa | sửa mã nguồn] Nếu u 1 ≠ 0 {\displaystyle u_{1}\neq 0} 
và u 2 ≠ 0 {\displaystyle u_{2}\neq 0} 
, từ phương trình tham số ta khử tham số t {\displaystyle t} , ta được phương trình chính tắc x − x 0 u 1 = y − y 0 u 2 {\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}} 
.
Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.
Dạng tổng quát
[sửa | sửa mã nguồn] Phương trình a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} 
với a 2 + b 2 ≠ 0 {\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0} 
được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó n → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)} là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Các trường hợp đặc biệt
[sửa | sửa mã nguồn] Đường thẳng b y + c = 0 {\displaystyle by+c=0} 
( a = 0 ) {\displaystyle (a=0)} 
vuông góc với trục O y {\displaystyle Oy} 
tại điểm A ( 0 ; − c b ) {\displaystyle A(0;-{c \over b})} 
.
Đường thẳng a x + c = 0 {\displaystyle ax+c=0} 
( b = 0 ) {\displaystyle (b=0)} 
vuông góc với trục O x {\displaystyle Ox} 
tại điểm B ( − c a ; 0 ) {\displaystyle B(-{c \over a};0)} 
.
Đường thẳng a x + b y = 0 {\displaystyle ax+by=0} 
( c = 0 ) {\displaystyle (c=0)} 
đi qua gốc tọa độ O ( 0 ; 0 ) {\displaystyle O(0;0)} 
.
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
[sửa | sửa mã nguồn] Đường thẳng đi qua 2 điểm A ( x 0 ; 0 ) {\displaystyle A(x_{0};0)} 
( x 0 ≠ 0 {\displaystyle x_{0}\neq 0} 
) và B ( 0 ; y 0 ) {\displaystyle B(0;y_{0})} 
( y 0 ≠ 0 {\displaystyle y_{0}\neq 0} 
) thì có thể được viết dưới dạng phương trình x x 0 + y y 0 = 1 {\displaystyle {x \over x_{0}}+{y \over y_{0}}=1} 
.
Hệ số góc của đường thẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Cho đường thẳng d {\displaystyle d} cắt trục O x {\displaystyle Ox} tại M {\displaystyle M} 
và tia M t {\displaystyle Mt} 
là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục O x {\displaystyle Ox} mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia M t {\displaystyle Mt} hợp với tia M x {\displaystyle Mx} 
một góc α {\displaystyle \alpha } 
. Đặt k = tan α {\displaystyle k=\tan \alpha } 
, khi đó k {\displaystyle k} 
được gọi là hệ số góc của đường thẳng d {\displaystyle d} .
Đường thẳng có vecto chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})} thì có hệ số góc k = u 2 u 1 {\displaystyle k={u_{2} \over u_{1}}} 
.
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)} thì có hệ số góc k = − a b {\displaystyle k=-{a \over b}} 
.
Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là − 1 {\displaystyle -1} 
.
Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Cho 2 đường thẳng: ( D ) {\displaystyle (D)} 
A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0} 
và ( d ) {\displaystyle (d)} 
a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} .
( D ) {\displaystyle (D)} cắt ( d ) {\displaystyle (d)} ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } 
A a ≠ B b {\displaystyle {A \over a}\neq {B \over b}} 
khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình { A x + B y + C = 0 a x + b y + c = 0 {\displaystyle {\begin{cases}Ax+By+C=0\\ax+by+c=0\end{cases}}} 
( D ) {\displaystyle (D)} / / {\displaystyle //} 
( d ) {\displaystyle (d)} ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } A a = B b ≠ C c {\displaystyle {A \over a}={B \over b}\neq {C \over c}} 
( D ) {\displaystyle (D)} ≡ {\displaystyle \equiv } 
( d ) {\displaystyle (d)} ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } A : B : C = a : b : c {\displaystyle A:B:C=a:b:c} 
Góc giữa 2 đường thẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Cho đường thẳng ( D ) {\displaystyle (D)} và ( d ) {\displaystyle (d)} cắt nhau tại điểm M {\displaystyle M} . Gọi n 1 → = ( A 1 , B 1 ) {\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})} 
là vectơ pháp tuyến của ( D ) {\displaystyle (D)} và n 2 → = ( A 2 , B 2 ) {\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})} 
là vectơ pháp tuyến của ( d ) {\displaystyle (d)} . Gọi α {\displaystyle \alpha } là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó:
cos α = | n 1 → . n 2 → | | n 1 → | | n 2 → | = | A 1 A 2 + B 1 B 2 | ( A 1 2 + B 1 2 ) ( A 2 2 + B 2 2 ) {\displaystyle \cos \alpha ={\left\vert {\vec {n_{1}}}.{\vec {n_{2}}}\right\vert \over \left\vert {\vec {n_{1}}}\right\vert \left\vert {\vec {n_{2}}}\right\vert }={\left\vert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}\right\vert \over {\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}} 
2 đường thẳng vuông góc thì α = 90 ∘ {\displaystyle \alpha =90^{\circ }} 
.
2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì α = 0 ∘ {\displaystyle \alpha =0^{\circ }} 
.
Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương.
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Cho đường thẳng ( d ) {\displaystyle (d)} a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} và M ( x 0 , y 0 ) ∉ ( d ) {\displaystyle M(x_{0},y_{0})\not \in (d)} 
, khoảng cách từ điểm M {\displaystyle M} đến ( d ) {\displaystyle (d)} được tính theo công thức d ( M , d ) = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {\displaystyle d(M,d)={\frac {\left\vert ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} 
Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Cho đường thẳng ( d ) {\displaystyle (d)} a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} và 2 điểm M ( x M , y M ) {\displaystyle M(x_{M},y_{M})} 
, N ( x N , y N ) {\displaystyle N(x_{N},y_{N})} 
không nằm trên ( d ) {\displaystyle (d)} . Xét các biểu thức m = a x M + b y M + c {\displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c} 
và n = a x N + b y N + c {\displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c} 
, khi đó M {\displaystyle M} và N {\displaystyle N} 
nằm cùng phía với ( d ) {\displaystyle (d)} khi m {\displaystyle m} 
và n {\displaystyle n} 
cùng dấu, khác phía khi m {\displaystyle m} và n {\displaystyle n} trái dấu.
Phương trình đường thẳng trong không gian
[sửa | sửa mã nguồn] Dạng tham số
[sửa | sửa mã nguồn] Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z {\displaystyle Oxyz} , cho đường thẳng d {\displaystyle d} đi qua điểm M ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})} 
và nhận u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} 
làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d {\displaystyle d} là { x = x 0 + u 1 t y = y 0 + u 2 t z = z 0 + u 3 t {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\\z=z_{0}+u_{3}t\end{cases}}} 
với t {\displaystyle t} được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R {\displaystyle t\in R} ta được một điểm thuộc đường thẳng.
Dạng chính tắc
[sửa | sửa mã nguồn] Nếu cả u 1 {\displaystyle u_{1}} 
, u 2 {\displaystyle u_{2}} 
, u 3 {\displaystyle u_{3}} 
đều khác 0 {\displaystyle 0} 
, từ phương trình tham số ta khử tham số t {\displaystyle t} , ta được phương trình chính tắc: x − x 0 u 1 = y − y 0 u 2 = z − z 0 u 3 {\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}={z-z_{0} \over u_{3}}} 
Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Cho đường thẳng ( d ) {\displaystyle (d)} có vectơ chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} và ( d ′ ) {\displaystyle (d')} 
có vectơ chỉ phương u ′ → = ( u 1 ′ , u 2 ′ , u 3 ′ ) {\displaystyle {\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})} 
. Gọi M ( x , y , z ) {\displaystyle M(x,y,z)} 
là một điểm nằm trên ( d ) {\displaystyle (d)} và M ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle M'(x',y',z')} 
là một điểm nằm trên ( d ′ ) {\displaystyle (d')} . Ta có:
( d ) ≡ ( d ′ ) {\displaystyle (d)\equiv (d')} 
⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } [ u → , u ′ → ] = [ u → , M M ′ → ] = 0 → {\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]={\vec {0}}} ![{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e0e146ff1ade2d12ddb880102d664dc8a83df0)
( d ) / / ( d ′ ) {\displaystyle (d)//(d')} 
⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } [ u → , u ′ → ] = 0 → {\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]={\vec {0}}} ![{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c416648faf1925592302db6310d836867457d8c8)
và [ u → , M M ′ → ] ≠ 0 → {\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {MM'}}]\neq {\vec {0}}} ![{\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {MM'}}]\neq {\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e1a2e00c8efb65f195e25ae80747838b7963e2)
( d ) {\displaystyle (d)} cắt ( d ′ ) {\displaystyle (d')} ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } { [ u → ; u ′ → ] ≠ 0 → M M ′ → . [ u → ; u ′ → ] = 0 {\displaystyle {\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]=0\end{cases}}} ![{\displaystyle {\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d7ac5ed31f32a1f7253b24f53ef50c62f452a9)
( d ) {\displaystyle (d)} và ( d ′ ) {\displaystyle (d')} chéo nhau ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } M M ′ → . [ u → ; u ′ → ] ≠ 0 {\displaystyle {\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq 0} ![{\displaystyle {\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5082715ef28e2bf57557e46dc82b537b982c1354)
Khoảng cách
[sửa | sửa mã nguồn] Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
[sửa | sửa mã nguồn] Cho đường thẳng ( d ) {\displaystyle (d)} đi qua điểm M 0 {\displaystyle M_{0}} 
và có vectơ chỉ phương u → {\displaystyle {\vec {u}}} 
. Khoảng cách từ điểm M {\displaystyle M} đến ( d ) {\displaystyle (d)} là d [ M , ( d ) ] = | [ M 0 M → , u → ] | | u → | {\displaystyle d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }} ![{\displaystyle d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683a97f49eb569b17bfac421fede5941bea5a577)
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
[sửa | sửa mã nguồn] Cho 2 đường thẳng chéo nhau ( d ) {\displaystyle (d)} và ( d ′ ) {\displaystyle (d')} . Đường thẳng ( d ) {\displaystyle (d)} có vectơ chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} và đường thẳng ( d ′ ) {\displaystyle (d')} có vectơ chỉ phương u ′ → = ( u 1 ′ , u 2 ′ , u 3 ′ ) {\displaystyle {\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})} . Gọi M ( x , y , z ) {\displaystyle M(x,y,z)} là một điểm nằm trên ( d ) {\displaystyle (d)} và M ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle M'(x',y',z')} là một điểm nằm trên ( d ′ ) {\displaystyle (d')} . Khi đó khoảng cách giữa ( d ) {\displaystyle (d)} và ( d ′ ) {\displaystyle (d')} là
d [ ( d ) , ( d ′ ) ] = | [ u → , u ′ → ] . M M ′ → | | [ u → , u ′ → ] | {\displaystyle d[(d),(d')]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}].{\vec {MM'}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}]\right\vert }} ![{\displaystyle d[(d),(d')]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}].{\vec {MM'}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}]\right\vert }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b27ad75a1f00199f99eb4f88a6230d766bfa6f6)
Xem thêm
[sửa | sửa mã nguồn] Đường thẳng
Liên kết ngoài
[sửa | sửa mã nguồn] - Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
- Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
- Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12
- Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao