PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N - TaiLieu.VN

Mạng xã hội chia sẻ tài liệu Upload Đăng nhập Nâng cấp VIP Trang chủ » Tài Liệu Phổ Thông » Bài tập cơ bản và nâng cao4 trang 705 lượt xem 1750PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N

Trong các kì thi học sinh giỏi thường có bài toán giải phương trình hàm ,trong đó có một số không nhỏ các bài qui về xác định tính cộng,nhân của hàm số. Chuyên đề này kai thác các tính chất của hàm cộng tính, nhân tính để giải các phương trình hàm trong các kì thi HSG trong nước và nước ngoài

shinichikudoi92tSaveLikeShareReport Download AI tóm tắt /4 PHNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N (FUNCTION EQUATION) ƯƠ Trong các kì thi hc sinh gii thng có bài toán gii phng trình hàm ,trong đó có mt sọỏườảươộốkhông nh các bài qui v xác đnh tính cng,nhân ca hàm s. Chuyên đ này kai thác các tínhỏềịộủốềcht ca hàm cng tính, nhân tính đ gii các PTH trong các kì thi HSG trong nc và ncấủộểảướướngoài BT1 : Cho hàm f : R → R tho mãn f(x + y) = f(x) + f(y) vi ảớ∀ x, y ∈ R (f đc gi là hàm cngượọộtính trên R) và không phi là hàm hng .Chng minh các mnh đ sau tng đngảằứệềươươ a) f(x) liên tc ti xụạ0 b) f (x) = ax ( a ≠ 0) c) f đn điu trên (c; d) ơệ d) f gii ni trên (c; d) ớộ Gii:ả a) ⇒ b) Ta chng minh f liên tc trên R .Vi xứụớ1 bt kì ,ly dãy (xấấn) hi t ti xộụớ1 Cho n → +∞ : xn - x1 + x0 → x0 , do f liên tc ti xụạ0 nên +∞→nlimf(xn - x1 + x0) = +∞→nlim[f(xn) - f(x1) + f(x0)] = +∞→nlimf(xn) - f(x1) + f(x0) = f(x0) ⇒+∞→nlimf(xn) = f(x1) Vy f liên tc trên R ậụ Vì f cng tính trên R nên f(x) = ax (1) vi ộớ∀ x ∈ Q, a ∈ R* (Bn đc hãy chng minh TC ny) ạọứầ Vi x bt kì, ly dãy (yớấấn) ⊂ Q hi t ti x.Ta có:ộụớ +∞→nlimf(yn) = +∞→nlim(ayn) = ax (theo (1)) +∞→nlimf(yn) = f(x) (do f liên tc trên R) ụ ⇒f(x) = ax b) ⇒ c) và c) ⇒ d) là đng nhiên.Ta chng minh d) ươứ⇒ a) Ta ch cn CM cho c > 0ỉầ Ta có m < f(x) < M ⇒nm < f(nx) < mM (n ∈ N* , x ∈ (c; d)) Cho n → +∞ : nm → 0, mM → 0, y = nx → 0+ ⇒+→0ylimf(y) = 0 = f(0) ⇒ f liên tc bên phi ti 0ụảạ Do f làhàm l (Bn đc hãy chng minh TC ny) ẽạọứầ⇒ f liên tc bên trái ti 0 ụạ ⇒ f liên tc ti ti x = 0 . ụạạ Chng minh tng t nh a ta có f liên tc trên R ứươựưụ Nu f là hàm hng ta d dàng CM đc f(x) ếằễượ≡ 0 BT2 : Tìm hàm f : R → R tho mãn f(xy) = f(x)f(y) vi ảớ∀ x, y ∈ R (f đc gi là hàm nhân tínhượọtrên R ) và liên tc ti xụạ0 > 0 HD : Ta có : f(0) = 0 hoc f(0) = 1; f(1) = 0 hoc f(1) = 1ặặ a) f(1) = 0 : f(x) ≡ 0 (nhn)ậ b) f(1) = f(0) = 1 f(x) = f(x).f(1) = f(x)f(0) = f(0) ≡ 1 (nhn)ậ c) f(0) = 0 và f(1) = 1 x ≠ 0: f(x)f(x1) = f(1) = 1 ⇒ f(x) ≠ 0 x > 0 : f(x) = [f(x)]2 > 0 Xét hàm g :R→ R : g(x) = ln[f(ex)]⇒ g là hàm cng tính trên R ộ f (x) liên tc ti xụạ0 > 0 ⇒ g(x) liên tc ti xụạ1 = lnf(x0).Theo BT 1a, b ⇒ g(x) = ax ⇒ f(ex) = (ex)a ⇒ f(x) = xa vi x > 0ớ *) Nu f(-1) = -1 : f(x) = -f(-x) = -(-x)ếa vi x < 0 ớ *) Nu f(-1) = 1 : f(x) = f(-x) = (-x)ếa vi x < 0 ớ Vy f(x) = ậ<=>0x neáu x-0x neáu 00x neáu xaa ; f(x) = =≠0x neáu 00x neáu xa (nhn) ậ Bn đc hãy gii BT trên khi thay đi gi thit “liên tc ti xạọảổảếụạ0 > 0” bi “f gii ni trên (c; d)ởớộvi c > 0” hoc “f đn điu trên (c; d) vi c > 0” hoc “f tăng trên (c; d) vi c > 0”ớặơệớặớ BT3 : Xác đnh hàm f có tính nhân và tính cng trên R ịộ HD:a) f(1) = 0 : f(x) ≡ 0 (nhn)ậb) f(1) = 1 và f(0) = 0 Theo CM BT1 ta có x > 0 : f(x) > 0 ở x > y ⇒ f(x - y) = f(x) - f(y) > 0 ⇒ f tăng trên R . Theo BT 1c ⇒ f(x) = ax (a > 0) Mt khác f(x.y) = f(x)f(y) ặ ⇒ axy = a2xy⇒ a = 1 ⇒ f(x) = x (nhn)ậ BT4 : Tìm hàm f : R* → R tho mãn ả f(xy) = f(x) + f(y) vi ớ∀ x, y ∈ R* (tm gi f là hàm nhân –cng tính trên Rạọộ* ) và liên tc ti xụạ0 > 0 HD : g : R → R : g(x) = f(ex) ⇒g là hàm cng tính trên R , liên tc ti f(xộụạ0) ⇒ g(x) = ax ⇒ f(ex) = ax = a.lnex ⇒ f(x) = a.lnx nu x > 0 ế Ta có: f(1) = 0 ; f(-1) = 0 ⇒ f(x) = f(-x) ⇒ f(x) = f(-x) = a.ln(-x) vi x < 0 ớ Vy f(x) = a.lnậx (nhn)ậ BT5:Tìm hàm f : R → R tho mãn f(x + y) = f(x)f(y) vi ảớ∀ x, y ∈ R( tm gi f là hàm cng –ạọộnhân tính trên R) và liên tc ti xụạ0 HD : f(0) = 0 hoc f(0) = 1 ặ a) f(0) = 0 : f(x) = f(x + 0) = f(0)f(x) ≡ 0 (nhn)ậ b) f(0) = 1 1 = f(x + (-x)) = f(x)f(-x) ⇒ f(x) ≠ 0 vi mi xớọ f(x) = f(2x + 2x) = [f(2x)]2 > 0 g : R →R : g(x) = ln(f(x)) ,hàm g cng tính trên R và liên tc ti ln(f(xộụạ0)) ⇒ g(x) = ax ⇒ ln(f(x)) = ax ⇒f(x) = eax (nhn)ậ BT6 : Hàm f : R*+ → R*+ có tính nhân và f(f(x)) = x vi ớ∀ x ∈ R*+. Chng minh ứ a) Nu f liên tc trên Rếụ*+ thì f(x) = x hoc f(x) = ặx1 b)Các mnh đ sau tng đng ệềươươ i) f(x) = x ii) +→oxlimf(x) = 0 iii) +∞→xlimf(x) = +∞ c) Các mnh đ sau tng đng ệềươươ i) f(x) = x1 ii) +→oxlimf(x) = +∞ iv) +∞→xlimf(x) = 0 HD: a)Lp hàm g : Rậ→ R : g(x) = ln[f(ex)], g có tính cng và liên tc trên Rộụ b)Ta chng minh iii) ứ⇒ i) Cho x > 1 : f(xn) = fn(x) → +∞ khi n → +∞ ⇒ f(x) > 1 Ga s y > x >0 : f(ỉửxy) = )x(f)y(f > 1 ⇒ f(y) > f(x) ⇒ f tăng trên R*+ Lp hàm g : R ậ→ R : g(x) = ln[f(ex)], g có tính cng và tăng trên R, theo BT1cộ ⇒ g(x) = ax vi a > 0ớ ⇒ f(ex) = (ex)a ⇒ f(x) = xa . T f(f(x)) = x ừ⇒ a = 1 Mt s bài tp và đ thi :ộốậề 1) Tìm hàm f : R → R liên tc và tho mãn :ụả f(0) = 0 ;∀ x, y ∈ R mà x - y ∈ Q ⇒ f(x) - f(y) ∈ Q HD : Chng minh f(x) cng tính và liên tc trên R.ứộụ ĐS : f(x) = ax vi a ớ∈ Q 2)Tìm hàm f : R → R tho mãn :ả f(x + f(y)) = y + f(x) ∀ x, y ∈ R ; Tp ậ{x)x(f/ x ≠ 0}là tp hu hn ậữạ (Vô đch Singapor 97).ị HD : T f(x + f(y)) = y + f(x) ừ∀ x, y ∈ R hãy chng minh f có tính cng trên Rứộ T ừ{x)x(f/ x ≠ 0}là tp hu hn suy ra f gii ni trên (c; d) vi c > 0.ậữạớộớ ĐS : f(x) = ±x 3)Tìm hàm f : R*+ → R*+tho mãn ả f(xf(y)) = yf(x) vi ớ∀ x, y ∈ R*+ và +∞→xlimf(x) = 0 (TH &TT) HD : Đt x = yf(1) ặ⇒ f(f(x)) = f(f(yf(1))) = f(1.f(y)) = yf(1) = x vi ớ∀ x ∈R*+ f(uv) = f(uf(f(v))) = f(v)f(u) ∀ u, v ∈ R*+ . Theo BT6 : f(x) = x1 4)Tìm tt c các hàm f, g : R ấả→ R tho mãn:ả *)Nu x < y thì f(x) < f(y) ế *)Vi ớ∀ x, y ∈ R thì f(xy) = g(y)f(x) + f(y) (Vô đch Hàn Quc 98)ịố HD : Hãy chng minh g là hàm nhân tính và tăng trên R ứ ĐS : g(x)=<≥0x neáu x-0x neáu xaa ; f(x) = c(1 - g(x)) vi a, c > 0 ớ 5) Tìm hàm f : R → R tho mãn :ả f(x + y) + f(xy) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) viớ∀ x, y ∈ R HD: CM f va có tính cng va có tính nhân ừộừ 6) Tìm hàm f : R → R tho mãn:ả (f(x) + f(z))(f(y) + f(t)) = f(xy - zt) + f(xt + yz) viớ∀ x, y, z, t ∈ R (IMO 2002) 7) Tìm tt c các hàm f(x) xác đnh trên (0; +ấảị∞) ,có đo hàm ti x = 1 và tho mãn:ạạả f(xy) = xf(y) + yf(x) vi ớ∀x, y ∈ (0; +∞) (TH&TT) HD : Đt g(x) = ặx)x(f , g là hàm nhân - cng tính trên (0; +ộ∞) . ĐS : f(x) = axlnx (a ∈ R) 8)Tìm tt c các đa thc hai bin P(x; y) tho mãn ba điu kin:ấảứếảềệ a) P(tx; ty) = tn+2P(x; y) ∀ x, y, t ∈ R ; n ∈ N b) P(1; 0) = 1 c) P(y + z; x) + P(z + x; y) + P(x + y; z) = 0 vi ớ∀ x, y, z ∈ R HD : Đt f(x) = P(x; 1 - x) + 2.ặ Hãy chng minh f cng tính và liên tc trên R ứộụ ĐS : P(x; y) = (x + y)n+1(x - 2y) vi n ớ∈ N Nguyn Ngc Khoa-Gv Tr.PTTH Chuyên Lê Khit-Qung Ngãi ễọếả

Tài liệu liên quan

Luận văn Thạc sĩ: Một số phương pháp giải phương trình hàm

44 trang

Luận văn Thạc sĩ: Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức

27 trang

Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 10 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Lê Lợi, Kon Tum

13 trang

Tuyển tập các bài toán từ đề thi chọn đội tuyển các tỉnh-thành phố năm học 2018-2019

55 trang

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Cần Thơ

10 trang

Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 11 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

4 trang

Đề khảo sát chất lượng môn Toán năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Nghệ An - Mã đề 105

5 trang

Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán có đáp án - Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ (Lần 1)

25 trang

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Ninh Thuận

1 trang

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Yên Bái

1 trang

Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 năm 2021-2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Nam Định

13 trang

Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 năm 2021-2022 có đáp án - Trường THPT Trần Quốc Tuấn

W 7 trang

Bài giảng Kinh tế vĩ mô: Chương 4 - Đoàn Bích Hạnh

13 trang

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Tiếp cận phương trình, bất phương trình thông qua mối liên hệ với hàm số

44 trang

Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Đồng Nai

1 trang

Đề kiểm tra chất lượng học kì 1 môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Phòng GD&ĐT TP. Đà Lạt

1 trang

Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược

26 trang

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Việc xây dựng giải tích toán học trong thế kỷ 19

42 trang

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình hàm đa thức và ứng dụng

70 trang

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi và áp dụng

67 trang

Tài liêu mới

Phiếu Bài Tập Cuối Tuần 35 - Toán Lớp 2- Cánh Diều

W 8 trang

Tài liệu Tổng hợp bài tập định lý Viète

W 3 trang

Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8

126 trang

Đề ôn tập Vật lí lớp 12

W 6 trang

Tài liệu chuyên đề: Cực trị hàm số

W 12 trang

Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập môn Toán lớp 11

5 trang

Tài liệu Tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8

W 16 trang

Tài liệu Bài tập cơ bản và nâng cao Đại số 7 (Dành cho giáo viên, phụ huynh)

400 trang

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Lịch sử lớp 9 (Sách Kết nối tri thức)

W 34 trang

Tài liệu Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn - Tự luận có lời giải (Sách Kết nối trí thức với cuộc sống)

181 trang

Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 - Tuần 1 đến tuần 5

38 trang

Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 - Tuần 2 - Đề 4

4 trang

Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 - Tuần 2 - Đề 3

4 trang

Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 - Tuần 2 - Đề 2

4 trang

Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 - Tuần 2 - Đề 1

4 trang

AI tóm tắt

- Giúp bạn nắm bắt nội dung tài liệu nhanh chóng!

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

Zalo/Tel:

093 303 0098

Email:

[email protected]

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok

Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Công Hà Doanh nghiệp quản lý: Công ty TNHH Tài Liệu trực tuyến Vi Na - GCN ĐKDN: 0307893603 Địa chỉ: 54A Nơ Trang Long, P. Bình Thạnh, TP.HCM - Điện thoại: 0283 5102 888 - Email: [email protected]ấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015