Phương trình tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng
Thứ năm - 25/08/2016 21:37 Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng Những mệnh đều sau đây sẽ được dùng.
$(i)$ Đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ có hệ số góc là $k$.
$(ii)$ Hệ số góc của tiếp tuyến $T$ của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $x_0$ là $f'\left( {{x_0}} \right)$.
$(iii)$ Hai đường thẳng vuông góc nhau khi có tích các hệ số góc là $-1$.
$(iv)$ Phương trình tiếp tuyến $T$ của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $M_0(x_0;y_0)$ là $$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\;\;$$
Bài toán.Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ vuông góc với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$. Giải. Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Từ $(i)$ và $(ii)$ ta có hệ số góc của $\Delta$ và $d$ lần lượt là $f'\left( {{x_0}} \right)$ và $k$. Vì $\Delta \bot d$ nên theo $(iii)$ ta có $f'\left( {{x_0}} \right) \cdot k = - 1.$ Từ đây ta có $x_0$ là nghiệm của phương trình $f'\left( {{x}} \right) \cdot k = - 1$. Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ vuông góc với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ như sau:
Bước 1. Giải phương trình $f'\left( {{x}} \right) \cdot k = - 1$, nghiệm $x_0$ của phương trình là hoành độ của tiếp điểm. Bước 2. Tính ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ để được tiếp điểm $M_0(x_0;y_0)$. Bước 3. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M_0(x_0;y_0)$ theo mệnh đề $(iv)$.
Ví dụ 1.Viết phương trình tiếp tuyến $T$ của đồ thị hàm số $(C): y = {x^2} - 2x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):x + 2y + 1 =0$. Giải. Bước 1. Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 2.$. Ta cũng có $\left( d \right):x + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.$ Hệ số góc của đường thẳng $\left( d \right) $ là $ k = - \frac{1}{2}$. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'\left( x \right) \cdot k = - 1 \Leftrightarrow \left( {2x - 2} \right) \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 2.$$ Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của $(C)$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left( {2; - 1} \right).$ Bước 3. Ta có $f'\left( {{x_0}} \right) = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {2; - 1} \right)$ là $$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 5.$$ Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $\left( d \right):y = \frac{1}{3}x.$ Giải. Từ giả thiết ta suy ra hệ số góc của đường thẳng $d$ là $\frac{1}{3}$. Vì tiếp tuyến $\Delta \bot d$ nên hoành độ tiếp điểm, nếu có, là nghiệm của phương trình $$f'\left( x \right).\frac{1}{3} = - 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\frac{1}{3} = - 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_1} = 0 \Rightarrow {y_1} = f\left( 0 \right) = - 1 \hfill \\ {x_2} = 2 \Rightarrow {y_2} = f\left( 2 \right) = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left( {0; - 1} \right),{M_2}\left( {2;5} \right)$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left( {0; - 1} \right)$ là $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;\;y = - 3\left( {x - {x_1}} \right) + {y_1} \Leftrightarrow y = - 3\left( {x - 0} \right) - 1 \Leftrightarrow y = - 3x - 1.$$ Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left( {2;5} \right)$ là $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_2}} \right) + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left( {x - 2} \right) + 5 \Leftrightarrow y = 6x - 7.$$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Tổng số điểm của bài viết là: 115 trong 32 đánh giá
Xếp hạng: 3.6 - 32 phiếu bầu Click để đánh giá bài viết Tweet
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh
Sắp xếp theo bình luận mới Sắp xếp theo bình luận cũ Sắp xếp theo số lượt thích Ẩn/Hiện ý kiến
ví dụ 1 bị sai rồi ạK*K' = 1 khi vuông góc thôi ạ
Anh Thư
Trả lời
Thích 0
Không thích 0
14/05/2019 22:21
phuong trinh denta 2 o vi du 2 bi sai
dangcamchi chi
Trả lời
Thích 10
Không thích 5
25/04/2017 13:48
@dangcamchi chi cảm ơn bạn
Trung Tâm Cùng Học Toán
Trả lời
Thích 1
Không thích 4
27/04/2017 08:56
Mã an toàn
Những tin mới hơn
The equation of a tangent which is parallel to a given line (31/01/2020)
Bài viết cùng chuyên mục
Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng (25/08/2016)
Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (21/06/2016)
Tìm giá trị tham số $m$ để hàm số đồng biến / nghịch biến trên một khoảng cho trước (19/06/2016)
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị hàm bậc ba (19/02/2016)
Đồ thị hàm số: Hàm chứa trị tuyệt đối (19/02/2016)
Đồ thị hàm số: Hàm nhất biến (19/02/2016)
Đồ thị hàm số: Hàm trùng phương (18/02/2016)
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số (17/02/2016)
Định $m$ để cực trị thoả điều kiện cho trước (16/02/2016)
Đồ thị hàm số: Hàm bậc ba (16/02/2016)
Chương trình
Đại số tổ hợp & Xác suất
Hình học giải tích không gian
Bất đẳng thức
Lượng giác
Tích phân
Hàm mũ & logarit
Khảo sát hàm số
Hình học không gian
Dãy số - Giới hạn của dãy số - Đạo hàm
Phép biến hình trong mặt phẳng
Hình học giải tích phẳng
Số phức
Toán chuyên đề
Đại số
Thư viện trực tuyến
Đề thi - Đáp án đại học
Sách giáo khoa toán
Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016
Kiến thức mới
06 02.2016
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong...
25 08.2016
Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng
Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng...
06 02.2016
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....
05 02.2016
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng. Tìm toạ độ hình...
05 02.2016
Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một...
Thư viện trực tuyến
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
10 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 12
Sách giáo khoa môn toán lớp 12. Sách bài tập môn toán lớp...
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 11
Sách giáo khoa toán lớp 11. Sách bài tập toán lớp 11.
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 6
Sách giáo khoa toán lớp 6. Sách bài tập toán lớp 6.
