Phương Trình Tương đương Và Phương Trình Hệ Quả

PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

A. Lý thuyết

I. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

II. Phép biến đổi tương đương

Định lí

     Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

     a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác \[0\] hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác \[0.\]

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

III. Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\] đều là nghiệm của phương trình \[{{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\] thì phương trình \[{{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\] được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right).\]

Ta viết

\[f\left( x \right)=g\left( x \right)\Rightarrow {{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right).\]

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:      A. \[x+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x-1}\] và $x=1.$       B. \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$      C. \[\sqrt{x}\left( x+2 \right)=\sqrt{x}\] và $x+2=1.$          D. \[x\left( x+2 \right)=x\] và $x+2=1.$

Giải:

Ÿ Đáp án A. Ta có 

Ÿ Đáp án B. Ta có

Do đó, \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.

Ÿ Đáp án C. Ta có  

Do đó, \[\sqrt{x}\left( x+2 \right)=\sqrt{x}\] và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.

Ÿ Đáp án D. Ta có  

Do đó, \[x\left( x+2 \right)=x\] và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.

Chọn A

Câu 2: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:      A. \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1.$          B. \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0.$      C. \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left( 2-x \right)}^{2}}.$           D. \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$

Giải:

Ÿ Đáp án A. Ta có  

Do đó, \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.

Ÿ Đáp án B. Ta có  

Do đó, \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0$ là cặp phương trình tương đương.

Ÿ Đáp án C. Ta có  

Do đó, \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left( 2-x \right)}^{2}}$ không phải là cặp phương trình tương đương.

Ÿ Đáp án D. Ta có  

Do đó, \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.

Chọn B.

Câu 3: Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:      A. \[x+1={{x}^{2}}-2x\] và $x+2={{\left( x-1 \right)}^{2}}.$      B. \[3x\sqrt{x+1}=8\sqrt{3-x}\] và \[6x\sqrt{x+1}=16\sqrt{3-x}.\]      C. \[x\sqrt{3-2x}+{{x}^{2}}={{x}^{2}}+x\] và \[x\sqrt{3-2x}=x.\]      D. \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x=\frac{5}{3}\]

Giải:

Ta có 

Do đó, \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x+2=4{{x}^{2}}\] không phải là cặp phương trình tương đương.

Chọn D

Câu 4: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương: $2{{x}^{2}}+mx-2=0$   $\left( 1 \right)$    và   $2{{x}^{3}}+\left( m+4 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-4=0$   $\left( 2 \right)$ .      A. $m=2.$     B. $m=3.$          C. $m=\frac{1}{2}.$           D. $m=-2.$

Giải:

Ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( 2{{x}^{2}}+mx-2 \right)=0\Leftrightarrow

Do hai phương trình tương đương nên $x=-2$ cũng là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$.

Thay $x=-2$ vào $\left( 1 \right)$, ta được $2{{\left( -2 \right)}^{2}}+m\left( -2 \right)-2=0\Leftrightarrow m=3$.

Với $m=3$, ta có

$\bullet $ $\left( 1 \right)$ trở thành $2{{x}^{2}}+3x-2=0\Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=\frac{1}{2}.$

$\bullet $ $\left( 2 \right)$ trở thành $2{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+4x-4=0\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( 2x+1 \right)=0$ $\Leftrightarrow x=-2$hoặc $x=\frac{1}{2}$.

Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m=3$ thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương: $m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-2=0$   $\left( 1 \right)$    và   $\left( m-2 \right){{x}^{2}}-3x+{{m}^{2}}-15=0$   $\left( 2 \right)$ .      A. $m=-5.$   B. $m=-5;\text{ }m=4.$               C. $m=4.$          D. $m=5.$

Giải:

Ta có 

Do hai phương trình tương đương nên $x=1$ cũng là nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$.

Thay $x=1$ vào $\left( 2 \right)$, ta được 

Với $m=-5$, ta có

· $\left( 1 \right)$ trở thành $-5{{x}^{2}}+12x-7=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{5}$  hoặc $x=1$.

· $\left( 2 \right)$ trở thành $-7{{x}^{2}}-3x+10=0\Leftrightarrow x=-\frac{10}{7}$  hoặc $x=1$.

Suy ra hai phương trình không tương đương

Với $m=4$, ta có

· $\left( 1 \right)$ trở thành $4{{x}^{2}}-6x+2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$  hoặc $x=1$.

· $\left( 2 \right)$ trở thành $2{{x}^{2}}-3x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$  hoặc $x=1$.

Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m=4$ thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 6: Khẳng định nào sau đây là sai?      A. \[\sqrt{x-2}=1\Rightarrow x-2=1.\]                B. \[\frac{x\left( x-1 \right)}{x-1}=1\Rightarrow x=1.\]      C. \[\left| 3x-2 \right|=x-3\Rightarrow 8{{x}^{2}}-4x-5=0.\]        D.\[\sqrt{x-3}=\sqrt{9-2x}\Rightarrow 3x-12=0.\]

Giải:

Ta có:

 

Do đó, phương trình $8{{x}^{2}}-4x-5=0$ không phải là hệ quả của phương trình $\left| 3x-2 \right|=x-3$.

Chọn C

Câu 7: Cho phương trình $2{{x}^{2}}-x=0$. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho?      A. \[2x-\frac{x}{1-x}=0.\]                                  B. \[4{{x}^{3}}-x=0.\]               C. \[{{\left( 2{{x}^{2}}-x \right)}^{2}}+{{\left( x-5 \right)}^{2}}=0.\] D. \[2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x=0.\]

Giải:

. Ta có 

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là ${{S}_{0}}=\left\{ 0;\frac{1}{2} \right\}$.

Xét các đáp án:

Ÿ Đáp án A. Ta có  

Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{1}}=\left\{ 0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$.

Ÿ Đáp án B. Ta có  

Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{2}}=\left\{ -\frac{1}{2};0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$.

Ÿ Đáp án C. Ta có  

(vô nghiệm). Do đó, tập nghiệm của phương trình là

                                 \[{{S}_{3}}=\varnothing {{S}_{0}}\]

Ÿ Đáp án D. Ta có  

Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${{S}_{2}}=\left\{ -1;0;\frac{1}{2} \right\}\supset {{S}_{0}}$.

Chọn C

Câu 8: Cho hai phương trình: $x\left( x-2 \right)=3\left( x-2 \right)\ \ \ \left( 1 \right)$ và $\frac{x\left( x-2 \right)}{x-2}=3\ \ \ \left( 2 \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?      A. Phương trình $\left( 1 \right)$ là hệ quả của phương trình $\left( 2 \right)$.            B. Phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ là hai phương trình tương đương.      C. Phương trình $\left( 2 \right)$ là hệ quả của phương trình $\left( 1 \right)$.      D. Cả A, B, C đều sai.

Giải:

Ÿ Phương trình 

Do đó, tập nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là ${{S}_{1}}=\left\{ 2;3 \right\}$.

Ÿ Phương trình  

Do đó, tập nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$ là ${{S}_{2}}=3$.

Vì ${{S}_{2}}\subset {{S}_{1}}$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ là hệ quả của phương trình $\left( 2 \right)$.

Chọn A.

C. Bài tập tự luyện

Câu 1. Hai phương trình được gọi là tương đương khi

     A. Có cùng dạng phương trình.                          B. Có cùng tập xác định.                

     C. Có cùng tập hợp nghiệm.    D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 2. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${{x}^{2}}-4=0$?

     A. $\left( 2+x \right)\left( -{{x}^{2}}+2x+1 \right)=0.$      B. $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=0.$

     C. $\sqrt{{{x}^{2}}-3}=1.$                               D. ${{x}^{2}}-4x+4=0.$

Câu 3. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${{x}^{2}}-3x=0$?

     A. \[{{x}^{2}}+\sqrt{x-2}=3x+\sqrt{x-2}.\]      B. \[{{x}^{2}}+\frac{1}{x-3}=3x+\frac{1}{x-3}.\]

     C. \[{{x}^{2}}\sqrt{x-3}=3x\sqrt{x-3}.\]           D. \[{{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=3x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\]

Câu 4. Cho phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x1 \right)\left( x+1 \right)=0$. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho ?

     A. \[x-1=0.\] B. \[x+1=0.\]      C. \[{{x}^{2}}+1=0.\]        D. $\left( x1 \right)\left( x+1 \right)=0.$

Câu 5. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình \[x+\frac{1}{x}=1\]?

     A. \[{{x}^{2}}+\sqrt{x}=-1.\]                            B. \[\left| 2x-1 \right|+\sqrt{2x+1}=0.\]    

     C. \[x\sqrt{x-5}=0.\]                                           D. \[7+\sqrt{6x-1}=-18.\]

Câu 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

     A. \[3x+\sqrt{x-2}={{x}^{2}}\Leftrightarrow 3x={{x}^{2}}-\sqrt{x-2}.\]      B. \[\sqrt{x-1}=3x\Leftrightarrow x-1=9{{x}^{2}}.\]

     C. \[3x+\sqrt{x-2}={{x}^{2}}+\sqrt{x-2}\Leftrightarrow 3x={{x}^{2}}\text{.}\]     D. $\frac{2x-3}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow 2x-3={{\left( x-1 \right)}^{2}}.$

Câu 7. Khẳng định nào sau đây là sai?

     A. \[\sqrt{x-1}=2\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x-1=0.\]   B. \[{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x-1}}=0.\]

     C. \[\left| x-2 \right|=\left| x+1 \right|\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}.\]   D. \[{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=1.\]

Câu 8. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

     A. \[x+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x-1}\] và $x=1.$       B. \[x+\sqrt{x-2\text{ }}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$

     C. \[\sqrt{x}\left( x+2 \right)=\sqrt{x}\] và $x+2=1.$          D. \[x\left( x+2 \right)=x\] và $x+2=1.$

Câu 9. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

     A. \[\text{2}x+\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x-3}\] và $2x=1.$          B. \[\frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=0\] và $x=0.$

     C. \[\sqrt{x+1}=2-x\] và $x+1={{\left( 2-x \right)}^{2}}.$ D. \[x+\sqrt{x-2}=1+\sqrt{x-2}\] và $x=1.$

Câu 10. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:

     A. \[x+1={{x}^{2}}-2x\] và $x+2={{\left( x-1 \right)}^{2}}.$

     B. \[3x\sqrt{x+1}=8\sqrt{3-x}\] và \[6x\sqrt{x+1}=16\sqrt{3-x}.\]

     C. \[x\sqrt{3-2x}+{{x}^{2}}={{x}^{2}}+x\] và \[x\sqrt{3-2x}=x.\]

     D. \[\sqrt{x+2}=2x\] và \[x=\frac{5}{3}\]

Đáp án bài tập tự luyện

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
C	C	D	D	C	A	D	A	B	D

 

Bài viết gợi ý:

1. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai

3. Hệ trục tọa độ

4. Phuơng trình tiếp tuyến của đường tròn

5. Các tập hợp số

6. Phương trình elip

7. hệ thức lượng trong tam giác