- Home
- Lớp 1,2,3
- Lớp 1
- Giải Toán Lớp 1
- Tiếng Việt Lớp 1
- Lớp 2
- Giải Toán Lớp 2
- Tiếng Việt Lớp 2
- Văn Mẫu Lớp 2
- Lớp 3
- Giải Toán Lớp 3
- Tiếng Việt Lớp 3
- Văn Mẫu Lớp 3
- Giải Tiếng Anh Lớp 3
- Lớp 4
- Giải Toán Lớp 4
- Tiếng Việt Lớp 4
- Văn Mẫu Lớp 4
- Giải Tiếng Anh Lớp 4
- Lớp 5
- Giải Toán Lớp 5
- Tiếng Việt Lớp 5
- Văn Mẫu Lớp 5
- Giải Tiếng Anh Lớp 5
- Lớp 6
- Soạn Văn 6
- Giải Toán Lớp 6
- Giải Vật Lý 6
- Giải Sinh Học 6
- Giải Tiếng Anh Lớp 6
- Giải Lịch Sử 6
- Giải Địa Lý Lớp 6
- Giải GDCD Lớp 6
- Lớp 7
- Soạn Văn 7
- Giải Bài Tập Toán Lớp 7
- Giải Vật Lý 7
- Giải Sinh Học 7
- Giải Tiếng Anh Lớp 7
- Giải Lịch Sử 7
- Giải Địa Lý Lớp 7
- Giải GDCD Lớp 7
- Lớp 8
- Soạn Văn 8
- Giải Bài Tập Toán 8
- Giải Vật Lý 8
- Giải Bài Tập Hóa 8
- Giải Sinh Học 8
- Giải Tiếng Anh Lớp 8
- Giải Lịch Sử 8
- Giải Địa Lý Lớp 8
- Lớp 9
- Soạn Văn 9
- Giải Bài Tập Toán 9
- Giải Vật Lý 9
- Giải Bài Tập Hóa 9
- Giải Sinh Học 9
- Giải Tiếng Anh Lớp 9
- Giải Lịch Sử 9
- Giải Địa Lý Lớp 9
- Lớp 10
- Soạn Văn 10
- Giải Bài Tập Toán 10
- Giải Vật Lý 10
- Giải Bài Tập Hóa 10
- Giải Sinh Học 10
- Giải Tiếng Anh Lớp 10
- Giải Lịch Sử 10
- Giải Địa Lý Lớp 10
- Lớp 11
- Soạn Văn 11
- Giải Bài Tập Toán 11
- Giải Vật Lý 11
- Giải Bài Tập Hóa 11
- Giải Sinh Học 11
- Giải Tiếng Anh Lớp 11
- Giải Lịch Sử 11
- Giải Địa Lý Lớp 11
- Lớp 12
- Soạn Văn 12
- Giải Bài Tập Toán 12
- Giải Vật Lý 12
- Giải Bài Tập Hóa 12
- Giải Sinh Học 12
- Giải Tiếng Anh Lớp 12
- Giải Lịch Sử 12
- Giải Địa Lý Lớp 12
Trang Chủ ›
Lớp 11›
Giải Bài Tập Toán 11›
Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11›
Bài 3. Hàm số liên tục SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 3. Hàm số liên tục
Cầu Đvor-so-vưi ở Xanh Pê-téc-bua (Nga) đang mở ra cho tàu qua lại. I - HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT DIEM Hình 55 a) Tính giá trị của mỗi hàm sô' tại X = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi % -» 1 ; b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm sô' tại điểm có hoành độ X = 1. (Hàm số y =f(x) được gọi là liên tục tại X = 1 và hàm sô' y = g(x) không liên tục tại điểm này). ĐỊNH NGHĨA 1 Cho hàm số y - /(x) xác định trên khoảng K và x0 e K. Hàm số y =ftx) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim /(x) - /(x0). X—>x0 tại x0 = 3. Hàm số y =fự) không liên tục tại XQ được gọi là gián đoạn tại điểm đó. Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số/(x) = Giải. Hàm số y = /(x) xác định trên R \ {2}, do đó xác định trên khoảng (2 ; +oo) chứa Xq = 3. lim /(x) = lim —= 3 =/(3). X —> 3 X —> 3 X 2 Vậy hàm sô' y -f{x} liên tục tại Xữ = 3. ■ II - HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG ĐỊNH NGHĨA 2 Hàm số y = /(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số y - /(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a ; bỊ nếu nó liên tục trên khoảng (ữ ; Ế>) và lim /(x) = /(ứ), lim_ /(x) = /(/?). X —> ữ X —b Khái niệm hàm sô' liên tục trên nửa khoảng, như (ứ ; h], [a ; +oo), ... được định nghĩa một cách tương tự. NHẬN XÉT Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó (h.56). Hình 57 cho ví dụ về đồ thị của một hàm số không liên tuc trên khoảng (ữ ; ỉ>). a \ b / 0 \ ì X Hình 57 - MỘT SỐ ĐỊNH LÍ cơ BẢN Ta thừa nhận các định lí sau đây. ĐỊNH LÍT Hàm sộ' đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. ĐỊNH LÍ 2 Giả sử y = /(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm^ A'o • Khi đó : Các hàm số y =f(x) + g(%), y =f(x) - g(x) và y =f(x).g(x) liên tục tại Xq ; /• / \ Hàm số y = —— liên tục tại XQ nếu g(x0) * 0. 2x2 - 2x _ . Ví dụ 2. Cho hàm số /z(x) = — — nếu X * 1 ‘ x-1 5 nếu X = 1. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. Giải. Tập xác định của hàm số là R. - , X. 2x2 - 2x • Nêu X 1, thì /z(x) - — —. X - 1 Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-00 ; 1) u (1 ; +oo). Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-00 ; 1) và (1 ; +oo). • Nếu X = 1, ta có /z(l) = 5 và . .. 2x~ - 2x .. 2x(x -1) . lim h(x) = lim — — = lim — = lim 2x - 2. X —> 1 X —ỳ 1 X 1 X —> 1 X 1 X —> 1 Vì lim /z(x) * h(í), nên hàm số đã cho không liên tục tại X = 1. X—^1 Kết luận : Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-00 ; 1) , (1 ; +oo) và gián đoạn tại X - 1. ■ Trong biểu thức xác định /ỉ(x) cho ở Vídụ 2, cần thay sô' 5 bởi số nào để được một hàm số mới liên tục trên tập sô' thực R ? Giả sử hàm sô'7 =/(x) liên tục trên đoạn [a ; b] vở'\f(à) vàf(ti) trái dấu nhau. Hỏi đồ thị của hàm sô' có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a ; b) không ? Bạn Hưng trả lời rằng : ”ĐỒ thị của hàm số y = /(x) phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng (a ; b) Bạn Lan khẳng định : "Đổ thị của hàm sô' y =/(x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm trong khoảng (ứ ; b)", - Bạn Tuấn thì cho rằng : "Đồ'thị của hàm số y = f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (ứ ; ti), chẳng hạn như đường parabol ở hình (h.58). Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao ? Hình 58 ĐỊNH LÍ 3 , — — Nếu hàm số y = /(x) liên tục trên đoạn [a ; b] vầf(a)f('b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c e (ứ ; ố) sao cho/(c) = 0. Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng. Có thể phát biểu Định lí 3 dưới một dạng khác như sau : Nếu hàm số y =f(x') liên tục trên đoạn [a ; b] < 0, thì phương trình /(%) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (ữ ; h). Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình X + 2x - 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. Giải. Xét hàm số f(x) = X + 2x- 5. Ta có/(0) = -5 và/(2) = 7. Do đó,/(0)/(2) < 0. ỵ =/(%) là hàm số đa thức nên liên tục trên R. Do đó, nó liên tục trên đoạn [0 ; 2]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 e (0; 2). ■ CHÚ Ý Nếu nhận xét thêm rằng/(l)/(2) = -14 < 0 thì ta có thể kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (T; 2) c (0 ; 2). Hãy tìm hai số a và b thoả mãn 1 < a < b < 2, sao cho phương trình trong Ví dụ 3 ở trên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (<7 ; b). BÀI ĐỌC THÊM zv^l TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH. I I PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐỒI • Trong Ví dụ 3 ở phần III, §3, ta đã chứng minh được rằng phương trình X + 2x - 5 = 0 có nghiệm XQ thuộc khoảng (0 ; 2). Giả sử rằng đó là nghiệm duy nhất của phương trình trên khoảng này. Bằng cách áp dụng liên tiếp Định lí 3, ta có thể tìm được các giá trị gần đúộg của nghiệm XQ. Ta làm như sau : - Bước 1 : Lấy sô' 1 = —2—. Ta có, /(1) = -2. So sánh dấu của /(1) và dấu của giá trị hàm sô' tại hai đầu mút là/(0) và/(2), ta thấy :/(l)./(2) = -2.7 < 0. Do đó, phương trình/(X) = 0 có nghiệm thuộc (1 ; 2). Như vậy, x0 6 (1 ; 2). Bước 2 : Lấy sô' 1,5 = ^-^-. Ta có,/(1,5) = 1,375 và /(1)./(1,5) = -2.1,375 < 0. Do đó,/(x) = 0 có nghiệm thuộc (1 ; 1,5). Như vậy, x0 e (1 ; 1,5). Bước 3 : Lấy số l,25 = ì±^. Ta có,/(1,25) = -0,546 875 và/(l,25)./(l,5) < 0. Do đó,/(x) = 0 có nghiệm thuộc (1,25 ; 1,5). Như vậy, xữ G (1,25 ; 1,5). Bảng sau đây trình bày kết quả tính lần lượt của các bước 4, 5, 6, 7. a b a + b 2 f(a) f(b) Nghiệm A'o 1,25 1,5 1,375 - 0,546 875 1,375 0,349609375 1,25 <-v0< 1,375 1,25 1,375 1,3125 -0,546 875 0,349609375 -0,114013671875 1,3125 <-VQ < 1,375 1,3125 1,375 1,34375 -0,114013671875 0,349609375 0,113861083984375 1,3125 <x0< 1,34375 1,3125 1,34375 1,328125 -0,114013671875 0,113861083984375 -0,001049041748046875 1,328125 <XQ< 1,34375 Nếu dừng ỏ bước 4, ta có 1,25 < x0 < 1,375. Như vậy, có thể có được các giá trị 1 25 +1 375 gần đúng của nghiệm x0. Chẳng hạn ——y2— là một giá trị gần đúng của với sai số tuyệt đối A < 11,375 - 1,251 = 0,125. Khi dừng ở bước 7, ta có 1,328125 <x0 < 1,343 75. Có thể lấy x0 « 1,335 937 5 với sai số tuyệt đối A < 11,343 75 - 1,328 1251 = 0'015 625. Nếu tiếp tục quy trình trên, ta tìm được những giá trị gần đúng của x0 với sai số càng ngày càng bé. Chú ý. Trong quá trình tính toán, nếu có số -y— nào đó mà ^^2^-0 ’ thì kết luận nghiệm Xq = —— . • Việc tìm giá trị gần đúng của nghiệm như trên sẽ dễ dàng hơn nếu sử dụng máy tính bỏ túi. Đặc biệt, máy tính bỏ túi có chức năng lập trình hay máy vi tính có thể cho phép tính một cách tự động và nhanh chóng giá trị gần đúng của nghiệm với sai sô' A rất bé. Bài tạp Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số/(x) = X + 2x - 1 tại x0 = 3. a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết g(x) = ' — — nếu -X / 2 X - 2 5 nếu X = 2. b) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại X'o = 2. 3. 3x + 2 Cho hàm số /(x) = • nếu X -1. Vẽ đồ thị của hàm số y = /(x). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của(nó. Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh. z z X + 1 Cho các hàm số/(x) = —r— và g(x) = tanx + sin X. X2 + X - 6 Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục. Ý kiến sau đúng hay sai ? "Nếu hàm số y = /(x) liên tục tại điểm Xq còn hàm sốy = g(x) không liên tục tại Xq, thì y =/(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x0." Chứng minh rằng phương trình : 2x - 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm ; cosx = X có nghiệm.
Các bài học tiếp theo
- Ôn tập chương IV
- Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
- Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
- Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
- Bài 4. Vi phân
- Bài 5. Đạo hàm cấp hai
- Ôn tập chương V
- Ôn tập cuối năm
Các bài học trước
- Bài 2. Giới hạn của hàm số
- Bài 1. Giới hạn của dãy số
- Ôn tập chương III
- Bài 4. Cấp số nhân
- Bài 3. Cấp số cộng
- Bài 2. Dãy số
- Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
- Ôn tập chương II
- Bài 5. Xác suất của biến cố
- Bài 4. Phép thử và biến cố
Tham Khảo Thêm
- Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11(Đang xem)
- Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
- Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
- Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
- Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
- Giải Toán 11 Hình Học
- Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
- Giải bài tập Hình học 11
Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
- Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
- Bài 1. Hàm lượng giác
- Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
- Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
- Ôn tập chương I
- Chương II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT
- Bài 1. Quy tắc đếm
- Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
- Bài 3. Nhị thức Niu - tơn
- Bài 4. Phép thử và biến cố
- Bài 5. Xác suất của biến cố
- Ôn tập chương II
- Chương III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
- Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
- Bài 2. Dãy số
- Bài 3. Cấp số cộng
- Bài 4. Cấp số nhân
- Ôn tập chương III
- Chương IV. GIỚI HẠN
- Bài 1. Giới hạn của dãy số
- Bài 2. Giới hạn của hàm số
- Bài 3. Hàm số liên tục(Đang xem)
- Ôn tập chương IV
- Chương V. ĐẠO HÀM
- Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
- Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
- Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
- Bài 4. Vi phân
- Bài 5. Đạo hàm cấp hai
- Ôn tập chương V
- Ôn tập cuối năm
