Xemtailieu Tải về Skkn ứng dụng của nhị thức newton trong tính tổng của biểu thức
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC A. LÍ DO CHỌN ðỀ TÀI: Trong xu thế ñổi mới phương pháp dạy và học của Bộ Giáo dục và ñào tạo trong những năm vừa qua thì phương pháp tạo cho học sinh có khả năng tư duy từ một số bài toán ñể từ ñó có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo ñược các giáo viên chú ý và ñược Bộ khuyến khích nhất. Vì thế hầu hết các giáo viên ñều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên ñề về một mảng kiến thức nào ñó trong trường phổ thông. Bài toán ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC trong chương trình lớp 11 là một trong những bài toán nhiều dạng hay, chứa ñựng nhiều tính tư duy logic phù hợp nhiều ñối tượng học sinh từ Trung bình cho ñến học sinh Khá giỏi. ðể làm bài toán dạng này ñòi hỏi phải nắm vững một số công thức liên quan ñến tổ hợp và các tính chất của nhị thức Newton. ðây là một trong những dạng toán chiếm tỷ lệ không nhiều trong chương trình nhưng có rất nhiều dạng toán liên quan. Do ñó, tôi chỉ trình bày trong chuyên ñề một phần ứng dụng là tính tổng của biểu thức mà trong một số ñề thi tuyển sinh ñại học, cao ñẳng thường gặp. Là giáo viên giảng dạy ở THPT Nam Hà tôi thấy nhìn chung ñối tượng học sinh ở mức Trung bình khá (một số ít là HSG). Do ñó, chuyên ñề này chỉ ñược viết ở mức ñộ tư duy vừa phải, phân loại bài tập từ dễ ñến khó ñể học sinh tiếp cận một cách ñơn giản nhằm từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn ñề. Qua ñó các em có thể hoàn thành tốt bài kiểm tra, ñề thi học kỳ cũng như ñề thi tuyển sinh ðHCð. Trang 1 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC B. NỘI DUNG CHUYÊN ðỀ: I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: 1. Công thức: ( a + b) n n-1 = C0na n + C1na n-1b +...+ Ckna n-k bk + ... + Cn-1 + Cnn bn n ab ( n ∈ N*) 2. Các tính chất: 2.1. Trong khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng. Nếu n là số chẵn thì có 1 số hạng ñứng giữa là số hạng thứ n +1 . 2 Nếu n là số lẻ thì có 2 số hạng ñứng giữa là số hạng thứ n +1 n +1 và +1 2 2 2.2. Mỗi số hạng có tổng số mũ của a và b là n. k 2.3. Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: Tk +1 = C n a 0 1 2 3 n n -k bk n 2.4. C n + C n + C n + C n + ... + C n = (1 +1) = 2 n 3 n n n 2.5. C0n - C1n + C2 n - C n + ... + (-1) C n = (1-1) = 0 II. CÁC DẠNG TÍNH TỔNG CỦA MỘT BIỂU THỨC: 1. Dạng 1: VD1: Khai triển (1 + x)n. Từ ñó tính: S = 1- 2C17 + 22 C72 - 23 C37 + 24 C74 - 25 C57 + 26 C76 - 27 C77 Giải: 0 1 2 2 n n Ta có: (1 + x ) = C n + C n x + C n x + ... + C n x n Thế x = -2 và n = 7 vào khai trển trên ta ñược: S = 1- 2C17 + 22 C72 - 23 C37 + 24 C74 - 25 C57 + 26 C67 - 27 C77 = (-1)7 = -1 n 0 n-1 1 n-2 2 2 n n VD2: Tìm số tự nhiên n thỏa: 5 Cn + 5 3Cn + 5 3 C n + ... + 3 C n = 2 Ta có: ( a + b ) 6021 Giải n 0 n = C a n 1 n n + C a b + C 2n a n - 2 b 2 + . . . + C nn b n Thế a = 5 và b = 3 vào khai triển trên: ⇒ 8n = 5n C0n + 5n-13C1n + 5n-232 C2n + ... + 3n Cnn ⇔ 8n = 26021 ⇔ 8n = 82007 ⇔ n = 2007 Trang 2 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Vậy n =2007. VD3: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006) (HS tự giải) Chứng minh: C0n 3n - C1n 3n-1 + C n2 3n-2 - ... + (-1)n C nn = C0n + C1n + Cn2 + ... + C nn VD4: (ðề ðH - Khối D - 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: C 0n + 2C 1n + 4C 2n + ... + 2 n C nn = 243 (Hs tự giải VD3) 2. Dạng 2: 1 3 5 2n-1 2n-1 VD5: CMR: C02n + C 22n + C 42n + ... + C 2n 2n = C 2n + C 2n + C 2n + ... + C 2n = 2 Giải Ta có: 2n-1 2n C02n - C12n + C 22n - C32n + ... - C 2n + C 2n =0 2 2n ⇔ C02n + C2n +... + C2n = C12n + C32n + ... + C2n-1 (1) 2n Ta có: 2 2n-1 2n C 02n + C12n + C 2n + C 32n + ... + C 2n + C 2n = 2 2n 0 1 2 3 2n -1 2n C 2n - C 2n + C 2n - C 2n + ... - C 2n + C 2n = 0 2 2n ⇒ 2(C 02n + C 2n + ... + C 2n ) = 2 2n 2n ⇔ C 02n + C 22n + ... + C 2n = 2 2n-1 (2) 1 3 5 2n-1 2n-1 (1), (2) suy ra: C02n + C 22n + C 42n + ... + C 2n 2n = C 2n + C 2n + C 2n + ... + C 2n = 2 VD6: Tính tổng: 0 2 4 2008 a) S = C2008 + C2008 + C2008 + ... + C2008 0 2 2 4 4 2010 2010 b) S = C2011 + 3 C2011 + 3 C2011 + ... + 3 C 2011 1 3 3 5 5 2009 2009 c) S = 3.C2010 + 3 .C2010 + 3 .C2010 + ... + 3 .C2010 Giải a) Ta có: 2 2008 2008 C 02008 + C12008 + C 2008 + C 32008 + ... + C 2007 2008 + C 2008 = 2 0 1 2 3 2007 2008 C 2008 - C 2008 + C 2008 - C 2008 + ... - C 2008 + C 2008 = 0 2008 ⇒ 2 ( C 02008 + C 22008 + ... + C 2008 ) = 2 2008 2007 ⇔ C 02008 + C 22008 + ... + C 2008 2008 = 2 2007 Vậy S = 2 Trang 3 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC b) Ta có: 2011 2011 C 02011 + 3C12011 + 32 C 22011 + 33 C 32011 + ... + 32010 C 2010 C 2011 = 4 2011 2011 + 3 0 1 2 2 3 3 2010 2010 2011 2011 2011 C 2011 - 3C 2011 - 3 C 2011 - 3 C 2011 - ... + 3 C 2011 - 3 C 2011 = -2 2010 2011 2 - 2 2011 ⇒ 2 ( C 02011 + 32 C 2011 + ... + 32010 C 201 1)= 4 2 2011 ⇔ 2 ( C 02011 + 32 C 2011 + ... + 32010 C 2010 ( 22011 -1) 2011 ) = 2 2 2010 ⇔ C 02011 + 32 C 2011 + ... + 32010 C 2011 = 2 2010 ( 2 2011 -1) ( ) Vậy 22010 22011 -1 c) Tương tự (HS tự giải) VD7: (ðH Vinh – D-2001) 0 2 2 4 4 2000 2000 CMR: C 2001 + C 2001 3 + C 2001 3 + ... + C 2001 3 = 22000 (22001 -1) Giải Ta có: (1+ 3) (1- 3) 2001 2 2000 2000 2001 2001 = C02001 + C120013 + C2001 32 + C3200133 + ... + C2001 3 + C2001 3 2001 2 2000 2001 2001 = C02001 - C12001 3 + C2001 32 - C3200133 + ... + C2000 - C2001 3 2001 3 Cộng vế theo vế ta ñược: 2 4 2000 2000 42001 - 22001 = 2 ( C02001 + C2001 32 + C 2001 34 + ... + C2001 3 ) 4 2000 2000 ⇔ 22001 (22001 -1) = 2 ( C02001 + C 22001 32 + C2001 34 + ... + C 2001 3 ) 2 4 2000 2000 ⇔ 22000 (22001 -1) = C02001 + C 2001 32 + C 2001 34 + ... + C 2001 3 0 2 2 4 4 2000 2000 = 22000 (22001 -1) (ñpcm) Vậy: C 2001 + C 2001 3 + C 2001 3 + ... + C 2001 3 VD8: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006) (HS tự giải) Tìm số tự nhiên thỏa mãn hệ thức sau: 2k 2n-2 2n C02n + C 22n 32 + ... + C2k + ... + C 2n-2 + C 2n = 215 ( 216 +1) 2n 3 2n 3 2n 3 3. Dạng 3: 0 1 3 n VD9: Tính tổng: S = C 2n + 1 + C 2n + 1 + C 2n + 1 + ... + C 2n + 1 Giải k n -k Ta có: C n = C n Suy ra: Trang 4 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC 2n +1 C 02n +1 = C 2n +1 1 2n C 2n +1 = C 2n +1 ... C n = C n +1 2n +1 2n +1 0 1 2n +1 ⇒ C 2n +1 + C 2n +1 + ... + C n2n +1 = C n2n+1+1 + ... + C 2n 2n +1 + C 2n +1 0 1 n n +1 2n 2n +1 2n +1 Mà: C 2n +1 + C 2n +1 + ... + C 2n +1 + C 2n +1 + ... + C 2n +1 + C 2n +1 = 2 n 2n +1 ⇒ 2 ( C 02n +1 + C12n +1 + ... + C 2n +1 ) = 2 n 2n ⇔ C 02n +1 + C 12n +1 + ... + C 2n +1 = 2 Vậy S = 22n 0 1 3 1005 VD10: Tính tổng: S = C 2011 + C 2011 + C 2011 + ... + C 2011 (HS tự giải) VD11: (ðề ðH - Khối A - 2006) n 1 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 4 + x 7 , biết x 26 1 2 n 20 rằng C 2n + 1 + C 2n + 1 + ... + C 2n + 1 = 2 -1 . 4. Dạng 4: VD12: (ðH Luật TPHCM – A-2001) 1 n-1 CMR: C n 3 + 2.C2n 3n-2 + 3.C3n 3n-3 + ... + n.Cnn = n.4n-1 Giải Ta có: ( 3 + x ) = C 0n 3 n + C 1n 3 n -1 x + C n2 3 n -2 x 2 + C 3n 3 n -3 x 3 + ... + C nn x n n Lấy ñạo hàm hai vế: ⇒ n (3 + x ) n -1 = 3 n -1 C1n + 2.3 n -2 C 2n + 3.3 n -3 x 2 C 3n + ... + nx n -1C nn Thế x = 1 vào khai triển trên: ⇒ n ( 3 +1) n-1 = 3n-1 C1n + 2.3n-2 C2n + 3.3n-3 C3n + ... + nCnn 1 n-1 2 n-2 3 n-3 n n-1 Vậy: C n 3 + 2.C n 3 + 3.C n 3 + ... + n.C n = n.4 (ðpcm) VD13: Giải bất phương trình: C1n + 2C2n + 3C3n + ... + nCnn ≤ n(7 - n) Giải 0 1 2 2 3 3 n n Ta có: (1 + x ) = C n + C n x + C n x + C n x + ... + C n x n Trang 5 ( n ∈ ℕ*) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Lấy ñạo hàm hai vế: ⇒ n (1 + x ) n -1 = C 1n + 2xC n2 + 3x 2 C n2 + ... + nx n -1C nn Thế x = 1 vào khai triển trên: ⇒ n.2 n -1 = C1n + 2C 2n + 3C 2n + ... + nC nn ⇔ n.2 n -1 ≤ n.(7 - n) ⇔2 n -1 +n≤7⇔ n≤3 . Do n ∈ ℕ * nên n ∈ {1; 2; 3} VD14: (ðH Tiền Giang – 2003) 2n-1 2 CMR: C12n + 3C32n + ... + (2n -1)C2n = 2C2n + 4C42n + ... + 2nC2n 2n Giải 0 1 2 2 3 3 4 4 2n-1 2n-1 2n + C 2n Ta có: (1 - x ) = C 2n - C 2n x + C 2n x - C 2n x + C 2n x - ... - C 2n x 2n x n Lấy ñạo hàm hai vế ta ñược: 2n-2 2n-1 ⇒ n (1- x ) = -C12n + 2C22n x - 3C32n x 2 + 4C42n x 3 - ... - (2n -1)C2n-1 + 2nC2n 2n x 2n x n-1 Thế x = 1 ta ñược: 2n -1 2n - C 12n + 2C 22n - 3C 32n + 4C 42n - ... - (2n - 1)C 2n + 2nC 2n =0 2n -1 2 4 2n ⇔ C 12n + 3C 32n + ... + (2n - 1)C 2n = 2C 2n + 4C 2n - ... + 2nC 2n 2n-1 2 4 2n Vậy: C12n + 3C32n + ... + (2n -1)C2n = 2C2n + 4C2n + ... + 2nC2n VD15: Tính tổng: 2 2010 2010 S = 2010.C 02010 + 2008.C 2010 2 2 + 2006.C 42010 2 4 + ... + C 2010 2 Giải: Ta có: ( x +2) ( x -2) 2010 2010 2 2009 2010 2010 = C02010x2010 +C12010x2009 2+C2010 x2008 22 +C32010x2007 23 + ... +C2010 x22009 +C2010 2 2 2009 2009 2010 2010 =C02010x2010 -C12010x2009 2+C2010 x2008 22 -C32010x2007 23 + ... -C2010 x2 +C2010 2 Cộng vế theo vế ta ñược: (x + 2) 2010 + (x - 2) 2010 2 2010 = 2(C 02010 x 2010 + C 2010 x 2008 2 2 + ... + C 2010 ) 2010 2 Lấy ñạo hàm 2 vế ta ñược: 2010.( x + 2) 2009 + 2010.( x - 2) 2009 2010 2010 = 2(2010C02010x2009 + 2008C22010x2007 22 +...+ C2010 2 ) Thế x = 1 ta ñược: Trang 6 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC 2 2010 2010 2010.32009 - 2010 = 2(2010C02010 + 2008C2010 22 + ... + C2010 2 ) 2 2010 2010 ⇔ 1005.(32009 -1) = 2010C02010 + 2008C2010 22 + ... + C2010 2 Vậy: S = 1005.(32009 -1) 5. Dạng 5: 2010 VD16: Tính tổng: S = 1.2.C 22010 - 2.3.C32010 + ... + 2009.2010.C 2010 Giải = C 2010 - C 2010 x + C 2010 x - C 2010 x + ... + C 2010 x Ta có: (1 - x ) Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược: 2010 0 ⇒-2010(1- x) 2009 1 2 2 3 3 2010 2010 (1) 2009 =-C12010 +2.C22010x -3.C32010x2 + ... + 2010.C2010 (2) 2010x Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược: ⇒ 2009.2010.(1- x) 2008 2008 =1.2.C22010 -2.3.C32010x + ... + 2009.2010.C2010 (3) 2010x Thế x = 1 vào hai vế của (3) ta ñược: 0 = 1.2.C 22010 - 2.3.C32010 + ... + 2009.2010.C 2010 2010 Vậy S = 0 2 2011 VD17: Tính tổng: S = 12 C12011 + 2 2 C 2011 + ... + 20112 C 2011 Giải = C 2011 + C 2011x + C 2011x + C 2011x + ... + C 2011x Ta có: (1 + x ) Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược: 2011 ⇒ 2011(1+x) 0 2010 1 2 2 3 3 2011 2011 (1) 2 2010 =C12011 +2.C2011 x +3.C32011x2 + ... + 2011.C2011 (2) 2011x Nhân x vào hai vế của (2) ta ñược: ⇒ 2011x(1+x) 2010 2011 =C12011x +2.C22011x2 +3.C32011x3 + ... + 2011.C2011 (3) 2011x Lấy ñạo hàm hai vế của (3) ta ñược: ⇒ 2011(1+2011x)(1+x) 2009 2 2010 =C12011 +22.C2011 x +32.C32011x2 + ... + 20112.C2011 (4) 2011x Thế x = 1 vào hai vế của (4) ta ñược: Vậy S = 2011.2012.2 2009 6. Dạng 6: 0 VD18: CMR: C n + 1 1 1 2 1 1 C n + Cn + ... + Cnn = 2n+1 -1) ( 2 3 n +1 n +1 Giải Ta có: (1 + x ) = C 0n + C 1n x + C 2n x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n n Trang 7 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC 1 1 ⇒ ∫ (1 + x ) dx = ∫ ( C 0n + C1n x + C n2 x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n )dx n 0 0 0 x 2 1 x3 2 1 x n +1 n 1 n +1 1 = xC n + C n + C n + ... + Cn ⇔ (1 + x ) 0 n +1 2 3 n +1 0 ⇔ 1 1 1 1 2 n +1 -1) = C 0n + C1n + C n2 + ... + C nn (dpcm) ( n +1 2 3 n +1 VD19: (ðH ðà Nẵng – A-2001) 0 Tính tổng: S = C n 2 + 1 1 2 1 2 3 1 Cn 2 + Cn 2 + ... + Cnn 2n+1 2 3 n +1 Giải Ta có: (1 + x ) n = C0n + C1n x + C2n x 2 + C3n x 3 + ... + Cnn x n 2 2 ⇒ ∫ (1 + x ) dx = ∫ ( C 0n + C1n x + C n2 x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n )dx n 0 0 0 x2 1 x3 2 1 x n +1 n 2 n +1 2 ⇔ = xC n + C n + C n + ... + Cn (1 + x ) 0 n +1 2 3 n +1 0 1 1 1 1 3n+1 -1) = C 0n 2 + C1n 2 2 + C 2n 2 3 + ... + C nn 2 n+1 ⇔ ( n +1 2 3 n +1 Vậy: S = 1 3n+1 -1) ( n +1 VD20: (B-2003) Cho n là số nguyên dương. 22 -1 1 23 -1 2 2n+1 -1 n Cn + C n + ... + Cn Tính tổng: S = C + 2 3 n +1 0 n Giải Ta có: (1 + x ) n = C0n + C1n x + C2n x 2 + C3n x 3 + ... + Cnn x n 2 2 ⇒ ∫ (1 + x ) dx = ∫ ( C 0n + C1n x + C n2 x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n )dx n 1 1 0 x2 1 x3 2 1 x n +1 n 2 n +1 2 ⇔ = xC n + C n + C n + ... + Cn (1 + x ) 1 n +1 2 3 n +1 1 1 2 2 -1 1 2 3 -1 2 2 n +1 -1 n n +1 n +1 0 ⇔ ( 3 - 2 ) = C n + 2 C n + 3 C n + ... + n + 1 C n n +1 Vậy: S = 1 3n+1 - 2 n +1 ) ( n +1 Trang 8 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC 7. Dạng 7: VD21: Tìm 4 chữ số cuối cùng của 11211. Giải 3 209 2 210 211 Ta có: 11211 = (10 + 1)211 = C021110211 +C121110210 +...+C208 21110 +C21110 +C21110+C211 Bốn chữ số cuối của 11200 phụ thuộc vào tổng của bốn chữ cuối của bốn số hạng cuối trong khai triển: 5000 + 5500 + 2110 + 1 = 12.611 Vậy 4 chữ số cuối là 2611 VD22: Tìm 3 chữ số cuối cùng của 9 15 3 . (HS tự giải) 8. Dạng 8: Một số dạng khác: 0 2006 1 2005 2 2004 k 2006-k 2006 0 VD23: Tính tổng sau: S= C2007C2007 +C2007C2006 +C2007C2005 +...+C2007C2007-k +...+C2007C1 Giải 2006-k Ta có: C k2007 C 2007-k = 2007! ( 2007 - k ) ! = 2007! k!( 2007 - k ) ! ( 2006 - k ) ! k!( 2006 - k ) ! = 2007 2006! = 2007C k2006 k!( 2006 - k ) ! ( ) 2006 Suy ra: S = 2007 C 02006 + C12006 + ... + C 2006 2006 = 2007.2 VD24: (ðH Kinh tế TPHCM – 2006) 0 2 4 2n Tìm số tự nhiên n thỏa: C 4 n + 2 + C 4 n + 2 + C 4 n + 2 + ... + C 4 n + 2 = 2 5 6 Giải Ta có: 2n +1 2n + 2 4n +1 4n + 2 4n + 2 C 04n + 2 + C 14n + 2 + ... + C 2n 4n + 2 + C 4n + 2 + C 4n + 2 + ... + C 4n + 2 + C 4n + 2 = 2 2n +1 2n + 2 4n +1 4n + 2 C 04n + 2 - C 14n + 2 + ... + C 2n 4n + 2 - C 4n + 2 + C 4n + 2 - ... - C 4n + 2 + C 4n + 2 = 0 Cộng vế theo vế ta ñược: 2 (C 04 n + 2 + C 24 n + 2 + ... + C 24 nn + 2 + C 24 nn ++ 22 + ... + C 44 nn ++ 22 ) = 2 4 n + 2 ⇔ C 04 n + 2 + C 24 n + 2 + ... + C 24 nn + 2 + C 24 nn ++ 22 + ... + C 44 nn + 2 + C 44 nn ++ 22 = 2 4 n +1 k m -k Mà: C m = C m Do ñó: C 04 n + 2 = C 44 nn ++ 22 C 24 n + 2 = C 44 nn + 2 … Trang 9 (1 ) ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC C 24 nn + 2 = C 42 nn ++ 22 (1 ) ⇔ 2 (C 04 n + 2 + C 42 n + 2 + ... + C 42 nn + 2 ) = 2 4 n +1 ⇔ C 04 n + 2 + C 42 n + 2 + ... + C 42 nn + 2 = 2 4 n ⇔ 2 4n = 2 5 6 ⇔ 2 4n = 2 8 ⇔ n = 2 Vậy: n = 2 III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1: 1 x 2 10 a) Trong khai triển (2 x − ) . Tìm hệ số của số hạng chứa x8 3 15 b) Tìm 2 số hạng ñứng giữa trong khai triển ( x − xy) c) Tìm x ñể số hạng thứ 4 trong khai triển d) Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển ( x + x ) bằng 200 ( x + x ) bằng 150 3 3 12 2 12 6 6 e) Khai triển: (1 + x)5. Từ ñó tính tổng sau: f) Tìm hệ số của số hạng thứ tám trong khai triển của (x2 – 2 x 1 1 1 1 1 S = 1+ C15 + 2 C52 + 3 C35 + 4 C54 + 5 C55 2 2 2 2 2 )12. Và tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức trên. g) Khai triển: (1 + x)5 . Từ ñó tính tổng S = 1- 3C15 + 32 C52 - 33 C53 + 34 C54 - 35 C55 h) Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15 i) Tìm hệ số của x35y10 trong khai triển (x + x3y)15 j) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển ( 2x - 3y )6 . k) Cho nhị thức (2x – 3x2)7. Tìm hệ số của x10. Bài 2: Khai triển (1 + x)n. Từ ñó tính S = 1- 2C17 + 22 C72 - 23 C37 + 24 C74 - 25 C57 + 26 C67 - 27 C77 Bài 3: Giải phương trình: 5n C0n + 5n-13C1n + 5n-232 C2n + ... + 3n C nn = 26021 Bài 4: Giải bất phương trình: C1n + 2Cn2 + 3C3n + ... + nCnn ≤ n(7 - n) 0 Bài 5: CMR: C n + 1 1 1 2 1 1 Cn + Cn + ... + Cnn = 2n+1 -1) ( 2 3 n +1 n +1 Bài 6: Trong khai triển ( 4 2+33 ) 16 có bao nhiêu số hạng nguyên ? Trang 10 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Bài 7: Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển (x 3 2 + 12 x ) 6 bằng 150. 52 - 32 1 53 - 33 2 5n +1 - 3n +1 n Cn + C n + ... + Cn Bài 8: Tính tổng S = 2C + 2 3 n +1 0 n n 3 1 Bài 9: Biết tổng hệ số của 3 số hạng ñầu tiên trong khai triển x x + 15 28 bằng 79. Hãy x tìm số hạng không chứa x. n Bài 10: Trong khai triển của nhị thức P = x + 41 , ba hệ số ñầu theo thứ tự lập thành 2 x cấp số cộng. Tìm các số hạng có lũy thừa của x là số nguyên. Bài 11: Chứng minh rằng: a) C0n + 9C1n + 92 C 2n + ... + 9n C nn = 10n n 0 b) 5 C n + 1 1 1 2 1 Cn + 2 Cn + ... + n Cnn = 6n 5 5 5 1 3 5 2n-1 2n-1 c) C02n + C 22n + C 42n + ... + C 2n 2n = C 2n + C 2n + C 2n + ... + C 2n = 2 0 2 4 2008 2007 d) C2008 + C2008 + C2008 + ... + C2008 = 2 ( ) 0 2 2 4 4 2006 2006 2006 22007 -1 e) C2007 + 3 C 2007 + 3 C2007 + ... + 3 C 2007 = 2 1 3 3 5 5 2009 2009 2009 2010 -1) f) 3.C2010 + 3 .C2010 + 3 .C2010 + ... + 3 .C2010 = 2 .(2 Bài 12: Chứng minh rằng: a) C1n + 2C2n + 3C3n + ... + nCnn = n.2n-1 b) C1n - 2C n2 + 3C3n - ... + (-1) n nCnn = 0 c) n.C0n - (n -1)C1n + (n - 2)C2n - (n - 3)C3n + ... + (-1) n Cn-1 n = 0 2n-1 2 4 2n d) C12n + 3C32n + ... + (2n -1)C2n = 2C 2n + 4C 2n + ... + 2nC2n 1 1 1 2 1 3 (-1)n n 1 Cn = Bài 13: Chứng minh rằng: C - Cn + Cn - Cn + ... + 2 3 4 n +1 n +1 0 n Bài 14: (ðề ðH - Khối A - 2002) Trang 11 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Bài 15: (ðề ðH - Khối D - 2002) Bài 16: (ðề ðH - Khối A - 2003) Bài 17: (ðề ðH - Khối B - 2003) Bài 18: (ðề ðH - Khối D - 2003) Bài 19: (ðề ðH - Khối A - 2004) Bài 20: (ðề ðH - Khối D - 2004) Bài 21: (ðề ðH - Khối A - 2006) Trang 12 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Bài 22: (ðề Cð ðiện lực TPHCM - 2006) n 2 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x + 3 , biết rằng C1n + C3n =13n (n là số tự x nhiên lớn hơn 2 và x là số thực khác 0). Bài 23: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006) Bài 24: (ðề Cð kinh tế ñối ngoại - 2006) Bài 25: (ðề Cð kinh tế - 2006) Bài 26: (ðề CðSP TPHCM – Khối A - 2006) Bài 27: (ðề CðSP TPHCM – Khối B - 2006) Bài 28: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006) Bài 29: (ðề Cð Cao Thắng - 2005) Bài 30: (ðề Cð Giao thông vận tải 3 - 2005) Trang 13 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Bài 31: (ðề Cð Kinh tế Kỹ thuật công nghiệp II - 2005) Bài 32: (ðề CðSP TPHCM - Khối A - 2005) Bài 33: (ðề CðSP TPHCM - Khối B-D - 2005) Bài 34: (ðề ðH - Khối A - 2007) Bài 35: (ðề ðH - Khối B - 2007) Bài 36: (ðề ðH - Khối D - 2007) Hướng dẫn: Bài 1: 1 a) Trong khai triển (2x 2 - )10 , ta có số hạng thứ (k +1) là : x 1 k k Tk+1 = C10(x 2 )10-k (- ) k = (-1) k C10x 20-3k . Nên : 20 – 3k = 8 ⇔ x = 4 x Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là: (−1) 4 C = 10 4 10! = 210 4!6! 3 15 b) Trong khai triển ( x − xy) 2 số hạng ñứng giữa là : Trang 14 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC 7 7 T8 = (-1) 7 C15(x 3 )8 (xy) 7 = -C15x 31 y 7 = -6435x 31 y 7 8 8 T9 = (-1)8 C15(x 3 )7 (xy)8 = C15x 29 y8 = 6435x 29 y8 (x c) Tìm x ñể số hạng thứ 4 trong khai triển T 4 = C3 6 ( x ) ( x) 3 3 3 12 T5 = C 19 ( x ) ( x ) = 150 3 6 2 2 4 12 0 6 19 = 200 x 4 =10 x = (x 3 d) Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển 4 ) + 12 x bằng 200 3 1 2 2 2 10 4 ) 6 + 12 x bằng 150 5 3 x =10 x = 5 10 3 3 3 4 4 5 5 e) Khai triển: (1+x)5 = C5 + C5x + C5x + C5x + C5x + C5x = 1+5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5 f) Trong khai triển (x2 – 2 x 1 1 1 1 1 243 Thay = ½ ta ñược: (3/2)5 = 1+ C15 + 2 C52 + 3 C53 + 4 C54 + 5 C55 = 2 2 2 2 2 32 2 x )12. Số hạng thứ tám: T8 = C127 (x 2 )5 (- )7 ( −) −) k k 2 x . ( k 2 1 2 2 x . 2 k C1 k k 2 1 2 x k C1 + = ( ) (− − ) = 1 Tk Gọi số hạng không chứa x: 2 x 7 Suy ra hệ số là: -128.C12 Tk+1 không chứa x khi 2(12 – k) = k hay k = 8. 8 Vậy số hạng không chứa x là: 256. C12 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 g) (1 + x)5 = C5 +C5x+C5x +C5x +C5x +C5x = 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5 Thay = - 3 ta ñược: (- 2)5 = 1- 3C15 + 32 C52 - 33 C53 + 34 C54 - 35 C55 = -32 h) Trong khai triển (x3 + xy)15 có số hạng tổng quát: Tk +1 = C15k x 3(15− k ) ( xy ) k = C15k x 45− 2 k y k 45 - 2k = 25 ⇔ k = 10 Ta có k = 10 k 15 − k 3 k k 15+ 2 k k y i) Trong khai triển (x + x3y)15 có số hạng tổng quát Tk +1 = C15 x ( x y ) = C15 x 15 + 2k = 35 ⇔ k = 10 k = 10 Ta có j) Số hạng chính giữa trong khai triển ( 2x - 3y )6 là số hạng thứ 4. Trang 15 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC T4 = C 3 6 3 3 3 3 .a 3 .b 3 = 20.8x .(-27y ) = - 4320x y k) Nhị thức (2x - 3x 2 )7 = x 7 (2 - 3x)7 . Suy ra số hạng chứa x10 là số hạng thứ 4 Nên hệ số chứa x10 −C37 .24.33 = −15120 Bài 2: Ta có: (1+ x ) n = C0n + C1n x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n Thế x = -2 và n = 7 vào khai trển trên ta ñược: S = 1- 2C17 + 22 C72 - 23 C37 + 24 C74 - 25 C57 + 26 C67 - 27 C77 = (-1)7 = -1 Bài 3: Ta có: (a + b ) n = C 0n a n + C 1n a n b + C 2n a n -2 b 2 + ... + C nn b n Thế a = 5 và b = 3 vào khai triển trên: ⇒8n =5n C0n +5n-13C1n +5n-232 C2n + ... +3n Cnn Û8n = 26021 ⇒8n =82007 ⇒ n = 2007 Bài 4: Ta có: (1+ x ) = Cn + Cn x + Cn x + C n x + ... + Cn x n 0 Lấy ñạo hàm hai vế: 1 2 ⇒ n (1+ x ) 2 n-1 3 n-1 1 ⇒ ∫ n n = C1n + 2C2n + 3C2n + ... + nCnn ⇔ n.2n-1 ≤ n.(7 - n) ⇔ 2n-1 + n ≤ 7 ⇔ n ≤ 3 . (1 + x ) n = C1n + 2xC2n + 3x 2Cn2 + ... + nx n-1Cnn Thế x = 1 vào khai triển trên: ⇒ n.2 Bài 5: Ta có: 3 Vậy n ∈ {1; 2;3} = C0n + C1n x + C2n x 2 + C3n x 3 + ... + Cnn x n 1 dx = ∫ ( C 0n + C1n x + C n2 x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n )dx 0 0 ⇔ 0 x2 1 x3 2 1 x n +1 n 1 n +1 1 1 + x = xC + C + C + ... + Cn ( ) n n n 0 n +1 2 3 n +1 0 ⇔ 1 1 1 1 2 n +1 -1) = C 0n + C1n + C n2 + ... + C nn (dpcm) ( n +1 2 3 n +1 k Bài 6: Tk+1 = C16 ( 2 ) ( 3) = 4 16-k 3 k k 16 C 2 16-k 4 .3 k 3 Tk + 1 là số nguyên 0 ≤ k ≤ 16 0 ≤ k ≤ 16 ⇔ (16 - k)⋮ 4 ⇔ k ∈ {0; 4;8;12;16} ⇔ k ∈ {0;12} k ⋮ 3 k ∈ {0;3;6;9;12;15} Vậy có 2 số hạng là số nguyên: Trang 16 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC 0 T1 = C 16 ( 2) ( 3) 16 4 3 0 = 32 ; T13 = C12 16 Bài 7: Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển T5 = C 4 6 ( x ) ( x) 3 2 2 12 4 ( 2 ) ( 3) 4 4 (x 3 + 12 x 2 12 3 ) 6 = 294840 bằng 150 5 3 = 150 ⇔ x =10 ⇔ x = 5 103 52 - 32 1 53 - 33 2 5n +1 - 3n +1 n Cn + C n + ... + Cn Bài 8: Tính tổng S = 2C + 2 3 n +1 0 n Ta có: (1+ x ) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + ... + Cn x n 0 5 ⇒ 1 5 ∫ (1 + x ) dx = ∫ ( C n 3 0 n 2 2 3 3 n n + C 1n x + C n2 x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n )dx 3 1 n +1 ⇔ (1 + x ) n +1 5 3 x2 1 x3 2 x n +1 n 5 0 = xC n + Cn + C n + ... + Cn 2 3 n +1 3 1 5 2 - 3 2 1 5 3 - 33 2 5 n +1 - 3 n +1 n n +1 n +1 0 ⇔ ( 6 - 4 ) = 2C n + 2 C n + 3 C n + ... + n + 1 C n n +1 6 n +1 − 4 n +1 Vậy S = n +1 Bài 9: Tổng hệ số của 3 số hạng trong khai triển trên là C0n + C1n + C n2 = 79 ⇔ n = 12 n 12 12-k 4 12 3 3 1 1 k 3 x x + = x x + = C x Khi ñó: ∑ 12 15 15 x 28 x 28 k =0 Theo ñề: 16 - 48 k = 0 ⇔ k = 5 15 5 = 495 . Vậy số hạng không chứa x là C12 Bài 10: n = 8 ⇒ các số hạng có lũy thừa nguyên là To, T4, T8 Bài 14: (ðề ðH - Khối A - 2002) Trang 17 x -28k 15 12 k = ∑ C12 x k=0 16- 28k 15 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Bài 15: (ðề ðH - Khối D - 2002) Bài 16: (ðề ðH - Khối A - 2003) Bài 17: (ðề ðH - Khối B - 2003) Bài 18: (ðề ðH - Khối D - 2003) Trang 18 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Bài 19: (ðề ðH - Khối A - 2004) Trang 19 ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Bài 20: (ðề ðH - Khối D - 2004) Bài 21: (ðề ðH - Khối A - 2006) Bài 22: (ðề Cð ðiện lực TPHCM - 2006) Trang 20 Tải về bản full