Số ảo – Wikipedia Tiếng Việt

Giải tích toán học → Giải tích phức
Giải tích phức
Số phức
Số thực Số ảo Mặt phẳng phức Số phức liên hợp Số phức đơn vị
Hàm số phức
Hàm giải tích Hàm chỉnh hình Phương trình Cauchy–Riemann Chuỗi lũy thừa hình thức
Lý thuyết cơ bản
Không điểm và cực điểm Định lý tích phân Cauchy Nguyên hàm địa phương Công thức tích phân Cauchy Số quấn Chuỗi Laurent Điểm kỳ dị cô lập Định lý thặng dư Ánh xạ bảo giác Bổ đề Schwarz Hàm điều hòa Phương trình Laplace
Nhân vật
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Cổng thông tin Toán học
x t s

Số ảo hay số thuần ảo là một số phức mà khi bình phương lên được kết quả là một số nguyên không dương. Số ảo là tích của một số thực x {\displaystyle x} với i {\displaystyle i} , trong đó i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} .[1]

Được đặt ra vào thế kỷ 17 như là một thuật ngữ mang tính chế giễu và được coi là hư cấu hoặc vô dụng, khái niệm số ảo đã được chấp nhận rộng rãi sau khi các công trình của Leonhard Euler và Carl Friedrich Gauss được công bố.

Một số ảo b i {\displaystyle bi} có thể được thêm vào một số thực a {\displaystyle a} để tạo thành một số phức a + b i {\displaystyle a+bi} , trong đó a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} được gọi là phần thực và phần ảo của số phức trên.

Biểu diễn

[sửa | sửa mã nguồn]

Số ảo được biểu diễn như là một đơn thức b i {\displaystyle bi} trong đó b {\displaystyle b} là số thực khác 0, i {\displaystyle i} là đơn vị ảo có giá trị thỏa mãn phương trình đại số i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} .Kết hợp với một số thực a {\displaystyle a} , nó tạo thành "phần ảo" b {\displaystyle b} và "phần thực" a {\displaystyle a} của số phức a + b i {\displaystyle a+bi} .

i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} j = − 1 {\displaystyle j={\sqrt {-1}}}

[2]

Lịch sử

[sửa | sửa mã nguồn]

Hero xứ Alexandria là người đầu tiên đề cập đến số ảo này vào khoảng thế kỷ I trước công nguyên trong khi tính toán khối hình lượng kim tự tháp[3], tuy nhiên, việc nghiên cứu số ảo chỉ thực sự bắt đầu bởi nhà toán học người Ý Rafael Bombelli (1526-1572) trong cuốn sách đại số L'Algebra viết năm 1569. Rafael Bombelli là người đưa ra ký hiệu đơn vị ảo i {\displaystyle i} và mô tả các tính chất của nó.

Hình học giải tích

[sửa | sửa mã nguồn]

Ứng dụng của số ảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Lũy thừa

[sửa | sửa mã nguồn]

Lấy bình phương, lập phương... của hai vế của đẳng thức i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} , ta có:

i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}

i 3 = − i {\displaystyle i^{3}=-i}

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1}

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i}

i 6 = − 1 {\displaystyle i^{6}=-1} ...

Vì vậy với n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , ta có thể viết như sau:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1}

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i}

i 4 n + 2 = − 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i 4 n + 3 = − i {\displaystyle i^{4n+3}=-i}

Phương trình bậc hai

[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình bậc hai với b2 - 4ac < 0 như x 2 + x + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x+1=0} .

Do công thức nghiệm tại đẳng thức này,

x 1 ; 2 = − 1 ± − 3 2 {\displaystyle x_{1;2}={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}

Tuy nhiên, ta được đơn giản hơn do số ảo.

x 1 ; 2 = − 1 ± 3. − 1 2 = − 1 ± 3 − 1 2 = − 1 ± 3 i 2 {\displaystyle x_{1;2}={\frac {-1\pm {\sqrt {3.-1}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}{\sqrt {-1}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}

Phân tích nhân tử

[sửa | sửa mã nguồn]

Nói chung, đa thức như x 2 + a 2 {\displaystyle x^{2}+a^{2}} không có thừa số.

Tuy nhiên ta được viết như sau (Tại -(-a)=+a)

x 2 − ( − a 2 ) {\displaystyle x^{2}-(-a^{2})}

Vì vậy ta có thể viết với số ảo như sau:

x 2 − ( − a 2 ) = x 2 − ( ( a i ) 2 ) = ( x + a i ) ( x − a i ) . {\displaystyle x^{2}-(-a^{2})=x^{2}-((ai)^{2})=(x+ai)(x-ai).}

Căn của số ảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Sử dụng Công thức Euler ở x=π,

e i π = cos ⁡ ( π ) + i sin ⁡ ( π ) = − 1 + 0 i = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+0i=-1}

Tiếp theo lấy căn bậc bốn của hai vế.

e i π 4 = − 1 4 = i {\displaystyle e^{\frac {i\pi }{4}}={\sqrt[{4}]{-1}}={\sqrt {i}}}

Do Công thức Euler ta có:

e i π 4 = cos ⁡ ( π 4 ) + i sin ⁡ ( π 4 ) = 1 2 + 1 2 i {\displaystyle e^{\frac {i\pi }{4}}=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i}

Vì vậy:

i = 1 + i 2 {\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}

Căn bậc ba của số ảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Lấy căn bậc sáu của hai vế của Công thức Euler ở x=π.

e i π 6 = i 3 = cos ⁡ ( π 6 ) + i sin ⁡ ( π 6 ) = 3 2 + 1 2 i {\displaystyle e^{\frac {i\pi }{6}}={\sqrt[{3}]{i}}=\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}

Do đó i 3 = 3 + i 2 . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\frac {{\sqrt {3}}+i}{2}}.}

Xem thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

Người ta ứng dụng số ảo vào để tính toán liên quan đến mạch điện xoay chiều để công việc tính toán dễ dàng hơn.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ Uno Ingard, K. (1988). “Chapter 2”. Fundamentals of waves & oscillations. Cambridge University Press. tr. 38. ISBN 0-521-33957-X.
2. ^ Uno Ingard, K. (1988), Fundamentals of waves & oscillations, Cambridge University Press, tr. 38, ISBN 0-521-33957-X, Chapter 2, p 38
3. ^ Nahin, Paul."An Imaginary Tale: The story of [the square root of minus one]. Princeton University Press. 1998"

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]

• How can one show that imaginary numbers really do exist? - an article which discusses the existence of imaginary numbers.
• In our time: Imaginary numbers Discussion of imaginary numbers on BBC Radio 4.
• 5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s

x t s Hệ thống số
Đếm được	Tự nhiên (ℕ) Nguyên (ℤ) Hữu tỉ (ℚ) Constructible number Đại số (𝔸) Periods Computable number Definable real number Arithmetical numbers Số nguyên Gauss
Đại số chia	Thực (ℝ) Phức (ℂ) Quaternion (ℍ) Octonion (𝕆)
SplitComposition algebra	over ℝ: Split-complex number Split-quaternion Split-octonion over ℂ: Bicomplex number Biquaternion Bioctonion
Số siêu phức khác	Dual number Dual quaternion Hyperbolic quaternion Sedenion  (𝕊) Split-biquaternion Số Multicomplex
Các loại khác	Số đếm Vô tỉ Hyperreal number Levi-Civita field Surreal number Siêu việt Ordinal number p-adic Supernatural number Superreal number Số âm Số ảo
Các loại số List