Sự độc Lập Tuyến Tính Và Phụ Thuộc Tuyến Tính - Tài Liệu Text - 123doc

1. Trang chủ >
2. Giáo án - Bài giảng >
3. Toán học >

Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (895.52 KB, 166 trang )

Xét phương trình véc tơ: λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + ... + λ k u k = θ (1)⇔ λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + ... + λ k u k + 0.u k +1 + ... + 0.u m = θ (2) mà U là hệ độc lập tuyến tính nên(2) có nghiệm duy nhất λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0 = ... = 0 . Hay (1) có nghiệm duy nhấtλ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0 nên U’ là hệ độc lập tuyến tính.Hệ quả 1. Nếu θ ∈ U thì hệ U phụ thuộc tuyến tính.Hệ quả 2. Nếu hệ U phụ thuộc tuyến tính và U ⊂ V thì hệ V phụ thuộc tuyến tính.Định lý 3. Hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} (m ≥ 2) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉkhi có một vectơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.Chứng minh( ⇒ ) Giả sử U là hệ phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, tồn tại các số không đồng thờibằng 0: λ 1 ; λ 2 ; ...; λ m sao cho λ1u1 + λ2u2 + …+ λ i u i + … + λmum = θ . Không mất tínhtổng quát, ta giả sử λ i ≠ 0 nên λ i u i = - λ1u1 - λ2u2 - …- λ i −1 u i −1 − λ i +1 u i +1 - … - λmum .Hay u i =− λ1− λ2− λ i −1− λ i +1− λmu1 +u 2 + ... +u i −1 +u i +1 + ... +u m . Hay ui là tổ hợpλiλiλiλiλituyến tính các véc tơ còn lại của hệ.( ⇐ ) Suy ra hiển nhiên từ định nghĩa sự phụ thuộc tuyến tính.Hệ quả 3. Hệ U là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không có vectơ nào biểu diễntuyến tính qua các vectơ còn lại.Hệ quả 4. Nếu hệ {u1, u2, …, um} là độc lập tuyến tính thìhệ {u1, u2, …, um, v} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi v là tổ hợp tuyến tính duynhất của các vectơ u1, u2, …, um.Hệ quả 5. Hệ U có hai véc tơ tỷ lệ nhau là hệ phụ thuộc tuyến tínhĐịnh lý 4. Trong không gian véc tơ E, cho hai hệ vectơU = {u1, u2, …, um }V = {v1, v2, …, vp}Nếu m > p và mọi vectơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ V thìhệ U phụ thuộc tuyến tính.Chứng minhTheo giả thiết, mỗi vec tơ ui (i = 1, 2, ..., m) có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợptuyến tính của hệ V nên:u1 = a11v1 + a21v2 + ... + ap1vp38u2 = a12v1 + a22v2 + ... + ap2vp...um = a1mv1 + a2mv2 + ... + apmvpXét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn số k1, k2, ... , km:a 11 k 1 + a 12 k 2 + ... + a 1m k m = 0a k + a k + ... + a k = 0 21 122 22m m(*)....a p1 k 1 + a p 2 k 2 + ... + a pm k m = 0Hệ (*) này có số phương trình nhỏ hơn số ẩn (p < m) nên hệ này có vô số nghiệm.Gọi (k1; k2; ... ; km) là một nghiệm không tầm thường của hệ đó. Từ (*) ta cók1u1 + k2u2 + ... + kmum = k1(a11v1 + a21v2 + … + ap1vp) + k2(a12v1 + a22v2 + ... + ap2vp) +…+ km(a1mv1 + a2mv2 + … + apmvp)= (a11k1 + a12k2 + … + a1mkm)v1 + (a21k1 + a22k2 + … + a2mkm)v2 + … + (ap1k1 + ap2k2 +… + apmkm)vp= 0.v1 + 0.v2 + … + 0.vp = 0Nên hệ véc tơ U là phụ thuộc tuyến tính.Hệ quả 1. Nếu hệ U là độc lập tuyến tính và mọi véc tơ của hệ V biểu thị tuyến tính quaU thì m ≤ p .Hệ quả 2. Nếu hệ véc U, V là độc lập tuyến tính; đồng thời mọi véctơ của U là tổ hợptuyến tính của hệ V và ngược lại, mọi véc tơ của hệ V là tổ hợp tuyến tính của hệ U thìhai hệ véc tơ đó có số véc tơ bằng nhau.Chứng minh hai hệ quả này đều suy ra từ định lý trên.Ví dụ 3. Trong không gian R3, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệa) U = {u = (1; 1; -2)}b) U = {u1 = (1; 2; -3); u2 = (2; 4; -6)}c) U = {u1= (1; 2; 3); u2 =(0; 0; 0); u3 = (1;3; -1)}d) U = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (1, 2, 5), u3 = (5, 3, 4)}e) U = {u1 =(1; -1; 2); u2 = (2; 0; 1); u3 = (1; 2; - 4); u4 = (3; 1; 4)}Giải :Cách xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ U = {u 1, u2, …,um}:Ta xét phương trình: k1u1 + k2u2 + … + kmum = θ (*)39+) Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhất k 1 = k2 = … = km = 0 thì U là độc lậptuyến tính.+) Nếu phương trình (*) có nghiệm k1; k2; … ; km không đồng thời bằng 0 thì U là phụthuộc tuyến tính.Ngoài ra cần kết hợp với các tính chất trên để kết luận.a) Hệ U chỉ có một véc tơ khác không nên U là độc lập tuyến tínhb) Hệ U chứa 2 véc tơ tỷ lệ nhau nên U là độc lập tuyến tínhc) Hệ U có chứa véc tơ không nên nó là hệ phụ thuộc tuyến tínhd) Ta cók1u1 + k2u2 + k3u3 = θ ⇔ k1(1, 1, 2) + k2(1, 2, 5) + k3(5, 3, 4) = (0, 0, 0)k 1 + k 2 + 5k 3 = 0⇔ Hệ phương trình bậc nhất k 1 + 2k 2 + 3k 3 = 0 (*)2k + 5k + 4k = 023 1Lấy phương trình 2 trừ phương trình 1, phương trình 2 nhân với (-2) rồi cộng vớik 1 + k 2 + 5k 3 = 0k 2 − 2k 3 = 0phương trình 3 thì hệ (*) ⇔ hệ k 2 − 2k 3 = 0k 1 + k 2 + 5k 3 = 0 k 1 = −7 k 3⇔k 2 − 2k 3 = 0 k 2 = 2k 3⇔Chọn k3 = 1 thì hệ (*) có nghiệm là k1 = -7, k2 = 2, k3 = 1. Vậy chứng tỏ hệ đã cho làphụ thuộc tuyến tính.e) Giải tương tự d) suy ra hệ U là phụ thuộc tuyến tính.40§3. Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ1. Hạng của một hệ vectơa) Hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ vectơCho E là không gian véc tơĐịnh nghĩa 1. Cho hệ vectơ U ⊂ E. Hệ con U’ ⊂ U được gọi là hệ con độc lập tuyếntính cực đại của hệ U nếu+) U’ là hệ độc lập tuyến tính+) ∀x ∈ U , x là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của U’Chú ý 1. i) Điều kiện thứ hai trong định nghĩa trên tương đương với điều kiện:∀x ∈ U\ U’, hệ U’ ∪ {x} là phụ thuộc tuyến tính.ii) Một hệ vectơ có thể: không có hệ con độc lập tuyến tính cực đại nào, hoặc có duynhất một hệ con độc lập tuyến tính cực đại, hoặc có nhiều hệ con độc lập tuyến tính cựcđại.Ví dụ 1. Trong không gian R3, tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơU = {u1 = (1; 2; -1); u2 = (2; 1; -3); u3 = (3;3; - 4)}Giải:Đầu tiên ta chỉ ra một hệ con độc lập tuyến tính của U.Đương nhiên hệ chỉ có một véc tơ luôn là hệ độc lập tuyến tính.Xét hệ U’ = {u1; u2} có hai véc tơ không tỷ lệ nhau nên U’ là độc lập tuyến tính. Mặtkhác u3 = u1 + u2 nên U’ ∪ {u3} = U là hệ phụ thuộc tuyến tính. Do đó, hệ véc tơ U’ là hệcon độc lập tuyến tính cực đại của U.Tương tự, ta cũng có các hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U là {u 1; u3}; {u2; u3}.Từ ví dụ này ta suy ra cách tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ* Cách tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ vectơ U ⊂ E:Bước 1: Chỉ ra một hệ con độc lập tuyến tính của hệ U, giả sử hệ con đó là U’.Bước 2: Kiểm tra xem hệ U’ có phải là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U haykhông?- Nếu với ∀x ∈ U\ U’, x biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của U ’ thì U’ là hệ con độclập tuyến tính cực đại của hệ U.41- Ngược lại, nếu ∃x ∈ U\U’ mà x không biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của U ’ thìhệ U’ không là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U. Khi đó, hệ U ’ ∪ {x} độc lậptuyến tính. Ta chuyển sang bước 2Bước 2: Kiểm tra hệ U’ ∪ {x} có là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệU hay không tương tự như kiểm tra đối với hệ U’ ở bước 2.Cứ tiếp tục quá trình này sau một số hữu hạn bước ta sẽ tìm được hệ con độc lậptuyến tính cực đại của hệ U.Định lý 1. Nếu hệ U’ là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ E thì mọivectơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các vectơ của hệ U’.Chứng minhTheo định nghĩa hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U nên mọi x ∈ U đều là tổ hợptuyến tính của U’.Giả sử véc tơ x ∈ U có hai biểu diễn tuyến tính qua hệ U’ = {v1; v2; … ; vp}; trong đópppi =1i =1i =1vi ∈ U (i = 1, 2, …, p); tức là x = ∑ k i v i = ∑ h i v i ⇔ ∑ (k i − h i ) v i = 0 . Do U’ là độc lậptuyến tính nên ki = hi với mọi i. Vậy x là tổ hợp tuyến tính duy nhất của U’.Định lý 2. Số vectơ của mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ E là bằngnhau.Chứng minhGiả sử U1; U2 là hai hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ U có số véc tơtương ứng là m, p. Giả sử m > p. Do U 2 là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U nênmọi véc tơ của U1 đều biểu thị tuyến tính qua hệ U 2 nên theo định lý 3.7 thì U 1 là hệ phụthuộc tuyến tính. Điều này trái với giả thiết. Suy ra m ≤ p . Thay đổi vai trò của m cho pvà U1 cho U2 ta suy ra m = p.b) Hạng của một hệ vectơĐịnh nghĩa 2. Số vectơ trong một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ Eđược gọi là hạng của hệ vectơ U. Ký hiệu là r(U).Quy ước r{θ} = 0.Ví dụ 2. Trong không gian R3, tìm hạng của hệ véc tơU = {u1 = (1; 2; -1); u2 = (2; 1; -3); u3 = (3;3; - 4)}Giải:42

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Nhà xuất bản Sư phạm
  • 166
  • 24,202
  • 29
• An toàn khu định hoá trong căn cứ địa kháng chiến việt bắc
  • 110
  • 0
  • 0
• Ảnh hưởng của giáo dục nhà trường tới nhận thức của học sinh thpt về sức khoẻ sinh sản (khảo sát tại trường thpt than uyên ii - lai châu)
  • 127
  • 2
  • 10
• Áp dụng dạy học tích cực để hình thành khái niệm địa lí kinh tế – xã hội cho học sinh lớp 10 thpt ở tỉnh bắc Cạn
  • 130
  • 4
  • 10
• Biện pháp giảm tải bài học về tác gia ở trung học phổ thông (bài Nguyễn Trãi)
  • 98
  • 159
  • 0
• Biện pháp giáo dục kỹ năng sống cho học sinh tiểu học trên địa bàn thành phố thái nguyên tỉnh thái nguyên
  • 110
  • 346
  • 2
• Biện pháp nâng cao hiệu quả sử dụng phương tiện dạy học ở trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên
  • 97
  • 226
  • 0
• Biện pháp phát triển đội ngũ giảng viên trường cao đẳng kinh tế - kỹ thuật thuộc đại học thái nguyên
  • 126
  • 1
  • 10
• Biện pháp phối hợp quản lý hoạt động bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên trung học phổ thông của BCH Công đoàn giáo dục tỉnh Quảng Ninh
  • 119
  • 231
  • 1
• Biện pháp quản lý hoạt động dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học viên tại trung tâm hướng nghiệp và giáo dục thường xuyên tỉnh quảng ninh
  • 113
  • 160
  • 0
• Biện pháp quản lý thực hiện chương trình giáo dục lý luận chính trị tại các trung tâm bồi dưỡng chính trị cấp huyện tỉnh thái nguyên
  • 113
  • 0
  • 0

Tải bản đầy đủ (.doc) (166 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(4.82 MB) - TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Nhà xuất bản Sư phạm-166 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×