Sự Hội Tụ Của Các Dãy Cos(nx), Cos(nx^2)

Trang chủ » Nguyên Hàm Cos Nx » Sự Hội Tụ Của Các Dãy Cos(nx), Cos(nx^2)

Có thể bạn quan tâm

Như đã biết dãy \{\cos{(nx)}\} và \{\cos{(nx^2)}\} không hội tụ điểm vì dãy số \{\cos{n}\} có tập các giới hạn riêng là đoạn [-1, 1]. Tuy nhiên, nếu coi chúng như các dãy hàm suy rộng thì chúng đều hội tụ về 0 trong không gian \mathcal D'(\mathbb R).

Thật vậy, trước hết ta sẽ chứng minh \mathcal {D'}_{-}\lim\limits_{n\to\infty}\cos{(nx)}=0, nghĩa là với mỗi \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R) với supp \varphi\subset [-A, A]\; (A>0) ta cần chỉ ra

\lim\limits_{n\to \infty}\int\limits_{-A}^{A}\varphi(x)\cos{(nx)}dx=0.

Ta dùng tích phân từng phần \varphi(x)\cos{(nx)}dx=\varphi(x)\dfrac{d(\sin{(nx)})}{n} có

\int\limits_{-A}^{A}\varphi(x)\cos{(nx)}dx=\varphi(x)\dfrac{\sin{(nx)}}{n}\Big|_{-A}^{A}-\dfrac{1}{n}\int\limits_{-A}^{A}\varphi'(x)\sin{(nx)}dx

với lưu ý \varphi(-A)=\varphi(A)=0 và |\varphi'(x)\sin{(nx)}|\le \sup_{x\in[-A, A]}|\varphi'(x)| là bị chặn

ta có ngay điều phải chứng minh!

Trường hợp dãy \cos{(nx^2)} phức tạp hơn đôi chút với lưu ý \cos{(nx^2)} là hàm chẵn và \int\limits_0^\infty \cos{y^2}dy hội tụ ta có

\int\limits_{-A}^A \varphi(x)\cos{(nx^2)}dx=

=2\varphi(0)\int\limits_{0}^A\cos{(nx^2)}dx+\int\limits_{0}^A \psi(x)\cos{(nx^2)}dx^2

với \psi(x)=\dfrac{\varphi(x)+\varphi(-x)-2\varphi(0)}{2x} khi x\not=0 và \psi(0)=0 là hàm khả vi liên tục đến cấp 1.

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Nguyên Hàm Cos Nx