Sức Bền Vật Liệu - Chương 1,2 - 123doc

Sức bền vật liệu (SBVL) là môn học kĩ thuật cơ sở của các ngành kĩ thuật (Xây dựng, Cơ khí, Cầu đường, Kiến trúc,...). Mục đích của SBVL là nghiên cứu các qui luật ứng xử, ứng suất và biến d

Chương mở đầu

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

0.1.KHÁI QUÁT

0.1.1 Nhiệm vụ của môn học

Môn học sức bền vật liệu có nhiệm vụ cung cấp những kiến thức cơ bản về phương pháp tính toán độ bền (nghĩa là các kết cấu, chi tiết máy không bị phá hủy dưới tác dụng của tải trọng) Xác định độ cứng vững (nghĩa là sự thay đổi kích thước hình học của các kết cấu, chi tiết không được vượt quá một giới hạn cho phép) Tính toán về độ ổn định (nghĩa là tính toán sao cho các kết cấu, chi tiết có khả năng bảo toàn trạng thái cân bằng ban đầu), điều này chúng ta sẽ rõ khi gặp bài tóan ổn định

Môn học này cũng đề cập đến một số kiến thức để tính toán cho hệ thanh, cho các tấm, các vỏ, thanh thành mỏng Môn học này còn đề cập đến các bài toán về ứng suất tiếp xúc, về các ống v.v Điều đó cũng có nghĩa là giáo trình này bao gồm những kiến thức cơ bản của các môn học có liên quan "sức bền vật liệu", "cơ học kết cấu" và "lý thuyết đàn hồi"

Ngày nay, khi mà khoa học đã phát triển thì các môn học được đan xen nhau, không còn ranh giới rõ rệt nữa Các môn học cơ học cũng vậy, nên những vấn đề được trình bày dưới đây chúng tôi cũng theo xu hướng đó, nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản về cơ học có liên quan đến tính độ bền, độ cứng vững và độ ổn định đã nói ở trên, nhưng lại phải tiết kiệm nhất, có lợi nhất Nói một cách khác là phải giải quyết vấn đề tối

ưu nhất trong sản xuất là phải chọn kết cấu, chọn phương pháp tính, phải chọn vật liệu sao cho có lợi nhất Trong bản chất bài toán này, rõ ràng có mâu thuẫn ví như một chi tiết càng có kích thước lớn thì có thể rất bền, rất cứng vững và rất ổn định nhưng lại không kinh tế và cũng sẽ không thỏa mãn những yêu cầu khác Chính vì những mâu thuẫn đó chắc chắn nó sẽ là yếu tố thúc đẩy sự phát triển kỹ thuật tính toán, chế tạo của các vật liệu mới Môn sức bền vật liệu cũng phải phát triển để đưa ra các mô hình tính toán, các

phương pháp tính toán hợp lý, để thỏa mãn các điều kiện trên

0.1.2 Đối tượng nghiên cứu của môn học

Môn sức bền vật liệu là một môn học nằm trong ngành Cơ học vật rắn biến dạng Khác với Cơ lý thuyết, nhằm khảo sát sự cân bằng và chuyển động của vật rắn tuyệt đối, môn Sức bền vật liệu khảo sát vật thể thực, tức là vật rắn có biến dạng

+ Hình dạng vật thể nghiên cứu trong Sức bên vật liệu:

Vật thể thực có kích thước theo ba phương và được phân làm ba loại:

- Khối: Kích thước theo ba phương không hơn kém nhau nhiều (hình 0.1a)

- Tấm, vỏ: Kích thước theo hai phương lớn hơn kich thước theo phương còn lại rất nhiều (hình 0.1b, 0.1c)

- Thanh: Kích thước theo một phương lớn hơn kích thước theo hai phương kia rất nhiều Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh

+ Định nghĩa thanh: Một diện tích F hữu hạn di động sao cho trọng tâm O

trượt trên một đường cong (C) và thẳng góc (C), thì F sẽ quét trong không gian một hình khối gọi là thanh có diện tích mặt cắt ngang là F

Trong đó: (C)- Trục thanh; F- Diện tích mặt cắt ngang

+ Các loại thanh: Thanh nếu có trục thanh (C) là thẳng thì ta gọi là thanh thẳng, khi trục thanh (C) là cong thì ta gọi là thanh cong Mặt cắt thanh có thể là không đổi suốt chiều dài thanh, nhưng mặt cắt thanh cũng có thể thay đổi

+ Khung: Hệ gồm nhiều thanh ghép lại, có hai loại: khung phẳng và khung

không gian

Trong tính toán thường biểu diễn thanh bằng trục của nó (hình 0.1d', hình 0.1e')

Từ nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu nói trên ta thấy trong sức bền vật liệu có các bài toán sau:

a) Kiểm tra các điều kiện về độ bền, độ cứng vững, độ ổn định

b) Xác định kích thước mặt cắt ngang, hình dáng hợp lý của công trình hay chi tiết

c) Xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên vật thể

a-Kh i; b, c-T m và v ;d-d′,e-e′-Thanh và cách bi u di n thanh trong

+ Đề ra các giả thuyết và tính toán

+ Thí nghiệm kiểm tra

0.2 Các nguyên nhân bên ngoài tác dụng lên vật thể

0.2.1 Ngoại lực

Định nghĩa: Ngoại lực là lực tác dụng của môi trường bên ngoài hay của các vật thể khác lên vật thể đang xét

* Phân loại ngoại lực Ngoại lực gồm:

- Tải trọng: Trị số, vị trí và tính chất của lực đã biết trước

- Phản lực: Lực phát sinh nơi tiếp xúc giữa vật thể đang xét với vật thể khác tùy thuộc vào tải trọng Tải trọng bao gồm lực phân bố tác dụng liên tục trên thể tích hay bề mặt (có cường độ bằng giá trị lực/đơn vị thể tích hay diện tích, thứ nguyên là [lực/(chiều dài)3], [lực/(chiều dài)2] hoặc là lực phân bố theo chiều dài [lực/chiều dài] Ngoài ra còn

có lực tập trung, mô men tập trung, mô men phân bố

* Tính chất tải trọng

- Tải trọng tĩnh: Giá trị của lực tăng từ từ xem như không gây ra lực quán tính

- Tải trọng động: Giá trị của lực tăng đột ngột (va chạm) hay kể đến lực quán tính (dao động, chuyển động có gia tốc)

0.2.2 Các nguyên nhân khác

Bao gồm sự gia tăng của nhiệt độ, sự chế tạo không chính xác các chi tiết máy hay

sự lún của các gối tựa trong công trình

0.2.3 Các loại liên kết phẳng và phản lực liên kết

a) Gối di động (khớp di động, con lăn): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm và chuyển động tịnh tiến theo một phương nào đó Liên kết hạn chế sự di chuyển của thanh theo phương vuông góc với phương chuyển động tịnh tiến, nên theo phương này liên kết sẽ phát sinh một phản lực VA: (hình 0.1j) hay (hình 0.1k)

b) Gối cố định (khớp, bản lề): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm

và hạn chế mọi chuyển động tịnh tiến trong mặt phẳng Liên kết này phát sinh phản lực theo một phương bất kỳ trong mặt phẳng Trong tính toán ta thường phân lực này ra hai thành phần vuông góc nhau HA và VA (xem hình 0.1m và 01 n)

c) Ngàm: Liên kết hạn chế mọi chuyển động trong mặt phẳng Tại ngàm phát sinh một mô men phản lực và một phản lực theo phương bất kỳ, phản lực này thường được phân ra hai thành phần vuông góc nhau (xem hình 0.1o) Để xác định các phản lực, ta xem thanh như vật rắn tuyệt đối và xét sự cân bằng của vật rắn đó dưới tác động của phản lực và tải trọng

0.3 Các giả thuyết cơ bản

Vì đối tượng khảo sát là vật thực, cho nên nếu xét đến mọi tính chất thực thì bài toán sẽ rất phức tạp Do vậy để quá trình suy luận hay tính toán được đơn giản mà vẫn đảm bảo được độ chính xác cần thiết, ta cần phải lược bỏ những tính chất không cơ bản

và chỉ giữ lại tính chất cơ bản quyết định đến phẩm chất công trình hay chi tiết Tức là ta đưa ra các giả thuyết Môn Sức bền vật liệu sử dụng ba giả thuyết cơ bản sau:

* Giả thuyết 1: Vật liệu có tính liên tục, đồng chất và đẳng hướng

- Vật liệu liên tục nghĩa là vật liệu chiếm đầy không gian vật thể

- Vật liệu đồng nhất khi tính chất cơ học và vật lý tại mọi điểm của nó giống nhau

- Vật liệu đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ lý xung quanh một điểm bất kỳ và theo hướng bất kỳ như nhau

* Giả thuyết II: Vật liệu đàn hồi tuyệt đối và tuân theo định luật Hooke Dưới tác dụng của nguyên nhân bên ngoài, vật thể bị thay đổi hình dạng, kích thước ban đầu Tuy nhiên khi bỏ các nguyên nhân này đi thì vật thể có khuynh hướng trở về hình dạng và kích thước ban đầu Đó là tính đàn hồi của vật liệu và vật thể tương ứng và được gọi là vật thể đàn hồi Nếu vật thể có khả năng trở về nguyên hình dạng và kích thước ban đầu

ta gọi là vật thể đàn hồi tuyệt đối Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke khi tương quan giữa lực và biến dạng là tương quan bậc I

Vật liệu thỏa mãn giả thuyết II gọi là vật liệu đàn hồi tuyến tính

Đối với các loại vật liệu như thép, gang nếu lực tác dụng nhỏ hơn một trị số giới hạn xác định nào đó, có thể xem như thỏa mãn giả thuyết này

* Giả thuyết III: Biến dạng của vật thể là bé

Hệ quả của các giả thuyết: Trong quá trình tính toán ta có thể:

- Sử dụng phép tính vi phân, tích phân, tức là có thể nghiên cứu một phân tố bé

0.4 Lịch sử và sự phát triển của môn học

Sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm, được xây dựng trên một số kết quả

và giả thuyết rút ra từ những thí nghiệm tương ứng với các bài toán cụ thể, sự lập luận trên cơ sở thực nghiệm vừa mang tính khoa học vừa giúp cho việc thiết lập các công thức tính toán ít phức tạp hơn về mặt toán học

Vào thế kỷ 17 Nhà bác học Galiles đã làm thí nghiệm về sự chịu lực của một dầm Côngxon để làm cơ sở cho các thiết kế và đóng các tàu biển phục vụ cho sự phát triển hàng hải Nhưng trên thực tế trong thế kỷ 17 chưa có các công trình tầm cỡ Sự phát triển môn học Sức bền và các môn học của cơ học thực sự phát triển từ thế kỷ 18 đến nay Năm 1729 Buynphighe đã đưa ra lý thuyết về quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biến dạng Sau đó năm 1768 Hooke cho rằng ở một giai đoạn nào đó thì quan hệ ứng suất và biến dạng là quan hệ tỷ lệ thuận Và trong các bài toán của Sức bền vật liệu chủ yếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke này

Các nhà bác học như Poisson, Euler, Lomorovsov, Ortrografski đã có nhiều đóng góp cho sự phát triển của cơ học nói chung và cho môn học Sức bền vật liệu nói riêng Nhà bác học Người Pháp Navie đã cho ra đời giáo trình Sức bền vật liệu đầu tiên vào cuối thế kỷ 18

Sự phát triển môn học Sức bền vật liệu gắn liền với sự phát triển của lý thuyết đàn hồi tuyến tính và đàn hồi phi tuyến Một số bài toán không thể chứng minh qua con đường lập luận từ khoa học thực nghiệm mà cần phải giải bằng Lý thuyết đàn hồi Vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20, Ngành cơ học biến dạng đã phát triển hết sức rộng lớn,

Cơ học là một lĩnh vực rộng lớn, có thể là môi trường liên tục, môi trường rời rạc, môi trường thủy, khí, môi trường nhiệt Vì vậy những phương trình cân bằng về cơ bản giống nhau, tùy theo môi trường cụ thể mà thay đổi một số thông số và hệ số, nhưng những phương trình này vẫn là những phương trình vi phân đạo hàm riêng

Có thể nói điều quan tâm trước tiên của cơ học vật rắn biến dạng là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng xuất hiện trong vật liệu trong quá trình tác động của tải trọng Về mặt toán học ứng suất là một hàm số của biến dạng:

σ = f(ε) (0-1) Trong đó:σ-Ứng suất; ε-Biến dạng

- Nếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke thì phương trình trên tuyến tính hay còn gọi là đàn hồi tuyến tính

- Nếu quan hệ đó không phải là tuyến tính

bậc nhất nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện quá trình

đặt tải và cất tải là thuận nghịch Nghĩa là khi đặt

tải, quan hệ giữa ứng suất σ và biến dạng ε là

đường cong OAB, thì khi cất tải tương quan đó

cũng giảm theo đường BAO (đường không liên

tục BAO thực tế trùng với đường liên tục

BAO-trên hình BAO được vẽ tách ra để dễ nhìn) và biến

dạng mất đi hoàn toàn khi không còn tải (xem

hình 0.2)

Ta xem bài toán này là đàn hồi nhưng

không phải tuyến tính mà là đàn hồi phi tuyến và

biểu thức (0.1) vẫn phù hợp

Chúng ta hãy xét thí nghiệm kéo một mẫu thép (đại diện cho vật liệu dẻo), thì quan

hệ giưã ứng suất và biến dạng được trình bày trên hình 0.3

Rõ ràng giai đoạn đầu OA là đàn hồi tuyến tính vận liệu làm việc tuân theo định luật Hooke, tức là ứng suất và biến dạng là quan hệ bậc nhất Đến điểm B nào đó, nếu ta cất tải thì nó không theo đường cũ mà nó đi theo đường song song với OA Khi tải trọng

Hình 0.2: Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng

tượng sau tác

không còn nữa, vật thể còn có một lượng biến dạng thể hiện bằng đoạn OC Biến dạng này được gọi là biến dạng dẻo (hay biến dạng dư) Lý thuyết nghiên cứu quy luật hình thành biến dạng dẻo và trạng thái ứng suất tương ứng được gọi là lý thuyết dẻo

Chúng ta hãy lưu ý các tính chất sau đây của vật liệu:

Một thanh thép treo chịu tác dụng lực kéo (hình 0.4), khi đặt tải P gây nên một độ giãn dài ∆l nào đó Nếu để lực P không đổi này tồn tại lâu dài thì độ giãn tiếp tục tăng lên mặc dù sự tăng này rất chậm, hiện tượng này càng rõ rệt khi vật liệu làm việc ở môi

trường nhiệt độ cao Hiện tượng đó được gọi là hiện tượng sau tác dụng hay hiện tượng dão

Một ví dụ khác: ta siết chặt êcu để ghép 2 tấm thép với nhau (hình 0.5) bằng một lực nào đó, nghĩa là đã tạo cho bulông một giá trị ứng suất nhất định Nhưng đến một thời gian đủ dài nào đó ta nhận thấy êcu lỏng ra, nghĩa là ứng suất trong bulông giảm đi Hiện

tượng đó gọi là hiện tượng nới

Hiện tượng sau tác dụng và hiện tượng nới đều thể hiện một bản chất của vật liệu

đó là biến dạng tiếp tục thay đổi khi ứng suất do P sinh ra không đổi hay ứng suất giảm (mối nối lỏng ra), khi biến dạng không thay đổi (khoảng cách ban đầu của 2 tấm thép đã

xác định) được gọi chung là hiện tượng từ biến

Hiện tượng từ biến xuất hiện cả trong giai đoạn đàn hồi và giai đoạn chảy dẻo Vì vậy lý thuyết từ biến được ứng dụng trong lý thuyết đàn hồi và cả lý thuyết dẻo

Gần đây đã phát sinh một ngành mới là lý thuyết cảm biến Nó nghiên cứu những quy luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật liệu do những nguyên nhân khác nhau trong những điều kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau Lý thuyết cảm biến giúp cho ta xác định được biến dạng và ứng suất tại một điểm bất kỳ trong vật thể ở một thời điểm nào đó khi biết các thông số của các yếu tố tác động bên ngoài và quá trình biến đổi các thông số đó

CÂU HỎI TỰ HỌC :

0.1 Những nhiệm vụ chính của môn sức bền vật liệu ?

0.2 Những nhân tố nào thúc đẩy sự phát triển của môn học ?

0.3 Đối tượng nghiên cứu của môn học?

0.4 Các giả thuyết cơ bản, giải thích các giả thuyết đó

0.5 Những nét chính của các môn học khác liên quan đến môn Sức bền vật liệu

♣♣♣♣♣

dụ phần (A), (hình 1.3) Phần (A) được cân

bằng nhờ nội lực của phần (B) tác dụng lên

phần (A) Nội lực này phân bố trên diện tích

mặt cắt của phần (A) và hợp lực của chúng cân

bằng với các ngoại lực thuộc phần đang xét (A)

Ngược lại nếu ta xét sự cân bằng của phần B, thì

phần A cũng tác dụng lên B các nội lực tương tự

nhưng có chiều ngược lại

1.1.3 Khái niệm về ứng suất

Chung quanh điểm K (trên mặt cắt

thuộc phần A), ta lấy một phân tố điện tích vô

cùng bé ∆F, hợp lực của nội lực tác dụng lên

F

Plimp

limp

0 F tb 0

læûc

, đơn vị thường dùng KN/cm2, MN/m2 Thường người ta phân ứng suất ra hai thành phầ:

- Thành phần vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, ký hiệu σ

- Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, kí hiệu τ

Như vậy P= σ2 +τ2 , P: Độ lớn của ứng suất tại K

Hình 1.3: Sự cân bằng lực phần A

Hình1.2: Phương pháp mặt cắt

K

Trong nhiều trường hợp thành phần ứng suất tiếp trên mặt cắt còn được phân thành hai thành phần theo hai phương vuông góc nào đó

- Ứng suất pháp được coi là dương khi nó cùng chiều với pháp tuyến ngoài n

của mặt cắt (ứng suất kéo), ngược lại là âm (ứng suất nén), (xem hình 1.6a)

- Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài n của mặt cắt quay một góc

900 cùng với chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng (n,τ ) thì chiều của pháp tuyến đó trùng với

chiều của ứng suất tiếp, ngược lại ứng suất tiếp được coi là âm, (xem hình 1.6 b)

1.2 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC

Người ta thường thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt ngang Sự thu gọn đó cho ta một lực R và một mô men M Nói chung R và M có phương, chiều bất kỳ trong không gian Để tính

toán, ta phân R ra thành ba thành phần (ta

thường chọn Oxyz sao cho Ox, Oz nằm

trong mặt cắt ngang và Oy hướng xuống,

trục x và y gọi là các mô men uốn và kí hiệu Mx, My

- Thành phần quay quanh trục z gọi là mô men xoắn và kí hiệu Mz

Nz, Qx, Qy, Mx, My, Mz là 6 thành phần nội lực trên mặt cắt ngang và chúng được xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét:

Q n P 0

1 i ix

i z

= Trong đó:∑mx(Pi),∑my(Pi),∑mz(Pi) là tổng mô men của tất cả các ngoại lực thuộc phần đang xét quay quanh các trục x, y, z

* Liên hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần nội lực

Các thành phần nội lực tác dụng trên diện tích vô cùng bé (VCB) dF lần lượt là

σzdF, τzxdF, τzydF Lấy tổng nội lực vi phân này trên toàn diện tích mặt cắt ngang phải chính là các thành phần nội lực

Do đó : =∫

F z

N σ ; =∫

F zx

Q τ ; =∫

F zy

=∫

F z

F z

F

zy zx

z ( y x)dF

1.3 BÀI TOÁN PHẲNG - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC

Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh (xem hình 1.8), ở hình này các lực tác dụng trong mặt

phẳng (yoz), thì hợp lực của nội lực

Qui ước dấu: Qui ước dương

của nội lực trong bài toán phẳng như

z

y

Mx > 0 khi nó làm căng các thớ về phía y > 0 (phía dưới).Ngược lại các nội lực âm

* Ví dụ 1: Cho một thanh chịu lực như hình 1.11a Hãy xác định nội lực và vẽ biểu

đồ nội lực

Ta sử dụng phương pháp mặt cắt: Tưởng tượng có một mặt cắt [11] vuông góc với trục thanh và cách đầu tự do một đoạn là z Ta xét sự cân bằng phần trái (hình 1.11b), để đoạn thanh đang xét được cân bằng thì tại mặt cắt [11] xuất hiện nội lực là Qy và mô men xoay quanh trục x là Mx Ban đầu chúng ta giả định Qy và Mx tác dụng ở mặt cắt [11] là dương theo quy định Nếu kết quả tính tóan mà Qy, Mx có dấu + thì coi như giả định ban đầu của ta là đúng và Qy, Mx đúng là dương theo quy định Nếu kết qủa tính toán mà Qy,

Mx mang dấu -, thì ta phải đổi chiều Qy và Mx trở lại, cũng có nghĩa là nội lực âm theo quy định ở trên

Bây giờ ta sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường trong cơ lý thuyết hay các phương trình đã trình bày ở trên để xác định Qy và Mx

Chú ý: - Khi chiếu lên một trục nào đó thì các mô men là ngẫu lực không có trong phương trình

c)(Q y )

l

1 1

Hình 1.11 Vẽ biểu đồ nội lực: a- Một dầm chịu lực; b-Xét sự cân bằng lực của phần dầm, c- Biểu

đồ lực cắt Q y ; d- Biểu đồ mô men M y

d) (M x )

P 2

P1

P3

Hình1.9:Các thành phần nội lực và chiều dương ở phần

bên trái của mặt

yn

M X >0

Q y >0

N z > 0

nm

Hình 1.10: Các thành phần nội lực và chiều dương ở phần bên phải của mặt cắt m-n

- Khi lấy mô men đối với một điểm nào đó thì lực qua điểm đó có mô men bằng 0

(1) Phương trình 1: Q n P 0

1 i iy

y +∑ =

= Suy ra Qy - P = 0, vậy Qy = +P

Như vậy lực cắt Qy = +P, dấu ta giả định ban đầu là đúng và không phụ thuộc z

Suy ra Mx = +P⋅z

Như vậy Mx = +Px⋅z , dấu mô men giả định ban đầu là căng phía dưới (phía dương

của trục y) là đúng và Mx là hàm bậc nhất phụ thuộc vào tọa độ z

Cuối cùng ta vẽ biểu đồ Qy và Mx như ở hình 1.11c, 1.11d

* Ví dụ 2: Cho một dầm chịu lực như hình vẽ 1.12a Hãy xác định lực cắt Qy, mô

men uốn Mx và vẽ biểu đồ của chúng

Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh, ví dụ mặt phẳng

(yoz) thì hợp lực của nội lực cũng nằm trong mặt phẳng đó, ta có bài toán phẳng

Cũng tương tự như trên, chúng ta cắt thanh bởi mặt cắt [11] vuông góc với trục

thanh cách đầu tự do 1 đoạn z và xét sự cân bằng của phần bên trái, ta vẽ lớn ra ở hình

1.12b Đoạn thanh này cũng phải cân bằng do các lực q, Qy và Mx tác dụng Chúng ta

cũng vẽ Qy, Mx theo chiều dương như đã quy định Để xác định chúng ta lại sử dụng các

phương trình cân bằng tĩnh học, có thể viết ở dạng sau:

(1) Phương trình hình chiếu các lực lên trục y:

ΣP(y) = Qy + q⋅z = 0

Suy ra Qy = -q⋅z

Vậy Qy là hàm bậc nhất theo z (khác với trường hợp ở ví dụ 1 - Dầm chịu lực tập

trung P thì Qy là hằng số)

Kết quả dấu - chứng tỏ ta giả sử Qy là dương như hình vẽ 1.12b là không đúng ta

phải đổi dấu Qy, tức là vẽ lại Qy hướng từ dưới lên trên, vì vậy là Qy âm theo quy định ở

trên

(2) Phương trình lấy mô men đối với điểm O1 trọng tâm của mặt cắt [11]:

1

Hình 1.12: Xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực

c)

d)

O1 Mx

Chú ý bề lõm của đường bậc 2 hứng lấy các mũi tên do q tác dụng

* Ví dụ 3: Cho một dầm chịu lực như hình 1.13a Hãy xác định nội lực và vẽ biểu

đồ của chúng

Bài toán này có khác trước là việc đầu tiên ta phải xác định cho được phản lực ở các gối tựa A và B Tại A là gối kép, đáng lẽ phản lực tại đó có hai thành phần phản lực theo phương y và phương z, nhưng do lực chỉ có theo phương y thẳng đứng, nên tại A chỉ

có thành phần phản lực theo phương y, ta kí hiệu là YA và ở gối tựa B dĩ nhiên chỉ có một thành phần phản lực theo phương y, ta kí hiệu là YB Để xác định YA và YB, ta phải xét sự cân bằng của toàn dầm do các lực P và hai phản lực YA và YB tác dụng

Chúng ta cũng dùng các phương trình cân bằng thông thường là chiếu tất cả các lực lên trục y và lấy mô men đối với một điểm nào đó (điểm A chẳng hạn)

Giải:

a) Xác định các phản lực YA và YB

Chiếu các tất cả các lực lên trục y:

∑P( )y =P−YA −YB =0 (1) ( ) 0

2

lPlY

M A = B⋅ − ⋅ =

∑ (2) Giải 2 phương trình (1) và (2), ta được YA = YB = +

2

P và kết quả có dấu + chứng

tỏ chiều phản lực YA và YB đã chọn hướng lên là đúng và giá trị bằng một nửa lực P Các phản lực YA, YB còn có thể được suy luận ra như sau: Do tính chất đối xứng YA phải bằng YB và đây là hệ lực song song, nên YA + YB = P, vậy:

YA = YB =

2

P

b) Tính toán nội lực trong dầm

Sau khi đã xác định được YA và YB, ta xem như dầm chịu các lực YA, YB và P tác dụng Đến đây chúng ta thấy bài toán này khác trước ở chỗ tải trọng tác dụng lên dầm không phải không đổi suốt dầm (như ví dụ 1) hay tải trọng phân bổ liên tục suốt dầm (như ví dụ 2), mà để có thể xét nội lực ta phải chia dầm ra một số đoạn sao cho trong mỗi đoạn tải trọng là hằng số hoặc một hàm số liên tục và xét nội lực cho từng đoạn đó rồi nối lại

Với nguyên tắc này ta phải chia dầm ra làm hai đoạn:

(1) Đoạn 1 là từ A - C tức là: 0 ≤ z ≤

2l

Ta tiến hành xét nội lực trong đoạn này như ví dụ 1 và ví dụ 2 Trước hết ta lại tưởng tượng có một mặt cắt [11] vuông góc với trục thanh và cách đầu A là z (tất nhiên mặt cắt này trong giới hạn A-C) Giữ lại phần trái chẳng hạn (xem hình 1.13b) Ta xét sự cân bằng của nó khi đã giả định chiều của Qy và Mx ở mặt cắt [11]

- Tính mô men Mx

Lấy mô men đối với trọng tâm O1 của mặt cắt [11] ,ta có:

∑M( )o 1 = Mx - YA⋅z= 0

Hình 1.13: Xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực cho một dầm chịu lực như hình a

Suy ra Mx = +YA⋅z, kết quả dấu +, chứng tỏ ta chọn chiều của mô men Mx như hình 1.13b là đúng và mô men này dương vì nó làm căng phía dưới hay phần dương của trục

- Tính lực Qy

Chiếu các lực lên trục y (xem hình 1.13c)

ΣP(y) = - Qy -YB =0

Suy ra Qy = -YB , kết quả mang dấu (-) ; chứng tỏ chiều Qy ta chọn dương như hình vẽ

là không đúng và Qy phải được đổi chiều lại là âm theo quy định Qy không phụ thuộc tọa độ

Tóm lại, chúng ta đã xác định được lực cắt Qy ở đoạn AC là dương có trị số P 2

và đoạn CB có lực cắt Qy là âm và giá trị làP 2 Mô men nội lực ở 2 đoạn đều dương Ta

có thể vẽ lần lượt biểu đồ nội lực của hai đoạn AC và CB như ở các hình 1.13d và 1.13e

* Ví dụ 4: Cho một dầm chịu lực như hình 1.14 Xác định trị số các nội lực tại mặt

cắt 1-1 cách gối tựa trái 14m

z

H A

Hình 1.14: Xác định nội lực tại mặt cắt 1 1 của dầm

M=44kN.m

P=20kN q=1kN/m

Giải: Tính phản lực liên kết: Giải phóng các liên kết tại A và B và thay bằng các

phản lực liên kết HA, VA, VB Xét sự cân bằng của hệ cô lập ABC chịu tác dụng của ngoại lực bao gồm tải trọng và các phản lực liên kết

Ta có: Σz= 0 => HA = 0 (1)

Σy = 0 => VA +VB - p - q⋅10 = 0 (2)

ΣmA = 0 => 1⋅10⋅5-M-VB ⋅18 + P⋅24 = 0 (3) => VB = 27 kN

Thế VB vào (1) => VA = 3kN

Tính nội lực tại mặt cắt 1-1 (xem hình 1.15)

Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần trái:

tâm mặt cắt ngang lấy trên trục song song với trục thanh, tung độ

là các giá trị của nội lực tại các mặt cắt ngang tương ứng

Như vậy dựa vào biểu đồ nội lực ta có thể xác định được mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang có giá trị nội lực lớn nhất

* Chú ý khi vẽ biểu đồ nội lực:

- Với biểu đồ lực cắt (Qy), (Nz), tung độ dương của biểu đồ được biểu diễn về phía trên của trục hoành và có ghi dấu trên biểu đồ

- Với biểu đồ (Mx): Tung độ dương (Mx > 0) được đặt về phía y > 0

Ngược lại, tung độ âm (Mx < 0) đặt phía y < 0

Như vậy nhìn vào biểu đồ mô men uốn (Mx), ta biết ngay các thớ dọc thanh chịu căng ở phía có đặt tung độ Mx

* Ví dụ 5: Một dầm chịu lực như hình vẽ 1.16 Hãy vẽ biểu đồ nội lực (Qy), (Mx)

Hình 1.15: Tính nội lực của

mặt cắt 1 1

V A

14m 10m

Giải: a) Tính phản lực Hệ phương trình xác định phản lực : Σz = 0 => HA = 0 (1)

ΣmA = 0 => VB = 2ql (2)

Σy = 0 => VA = ql (3)

Kiểm tra có: ΣMC = 0

b) Tính nội lực Dùng phương pháp mặt cắt: Trên AC, tưởng tượng mặt cắt

ngang 1-1 (có trọng tâm O với hoành độ z: 0≤z≤1, gốc A), chia dầm ra hai phần, xét cân

tại C(z=1): Qy = 0 và Mx =

2

lqql2

1ql

2 2

2 − = Trên đoạn CB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 2-2

(có trọng tâm O với hoành độ z: l≤ z ≤2l, gốc A) chia

dầm ra hai phần, xét cân bằng phần ACO (xem hình

2 A

trọng tâm O với hoành độ z: 0 ≤ z ≤ l, gốc D), chia đầm ra

hai phần, xét cân bằng phần DO, (xem hình 1.19)

a) Trên những đoạn thanh: q = 0 ⇒ biểu đồ

QY là đường thẳng song song với trục hoành, biểu đồ Mx

là đường bậc 1; q = const ⇒ Qy bậc 1, và Mx bậc 2

b) Mx đạt cực trị tại những điểm mà QY = 0

c) Bề lõm của MX hứng mũi tên lực phân bố q

Hình 1.19: Dùng phương pháp mặt

p=qlD O 3

3

Nz

Hình 1.17: Dùng phương pháp mặt

d) Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc mô men tập trung), thì tại những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc MX) có bước nhảy và độ lớn bước nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mô men tập trung) tại các điểm ấy

Ví dụ tại các điểm A, B, C, D (trên hình 1.20)

Q (ql)

0 0,5

-1,0 0,5

1,0 1,5

-1,5

0,5 1,0 1,5

1,5

1,0

0,5

⇒ q(z)

dz

dQy

= (1) ∑Mo 2 = 0 ⇒ (Mx + dMx) -Mx - Qy dz + q(z)

1 Về mặt hình học, lực cắt tại một tiết diện chính bằng độ dốc của tiếp tuyến với biểu đồ mô men uốn tại đó và cường độ tải trọng phân bố theo chiều dài là độ dốc của tiếp tuyến biểu đồ lực cắt

2 Nếu hàm số q(z) là một hàm số đại số thì bậc của hàm số lực cắt sẽ cao hơn bậc của q(z) một bậc và bậc của hàm số mô men uốn sẽ cao hơn bậc của hàm lực cắt một bậc

1.5 Liên hệ giữa tải trọng tập trung với độ lớn bước nhảy trên biểu đồ lực cắt Biểu

đồ mô men uốn trong thanh thẳng

* Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu P0 và M0, các thành phần nội lực trên