Tại Sao Sinx=0 Thì X=kpi

1. Thi online – Phương trình lượng giác cơ bản – Phương trình chứa sin (Có lời giải chi tiết)

Nội dung chính Show

• II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
• 1. PHƯƠNG TRÌNH sinx = m
• 2. PHƯƠNG TRÌNH cosx = m
• 3. PHƯƠNG TRÌNH tanx = m
• 4. PHƯƠNG TRÌNH cotx = m
• III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
• 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
• 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
• 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
• 4. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
• 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
• Video liên quan

Câu trả lời (2)

lê nhị

27/05/2018 12:39:41

vì Trục Sinx là trục hoành. Sẽ có 2 điểm cho kết quả Sinx = 0 .Mà 1 vòng tròn là k2π nên sẽ có sinx=0 thì x = kπ=> sin x # 0 thì x # kπcosx có âm khi

90 < cos < 180 + k 360

Conan kun

27/05/2018 12:44:57

Hệ thống các dạng lượng giác từ căn bản tới nâng cao giúp học sinh đạt kết quả cao.

Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dương T sao cho với mọi x ∈ D ta có:

• x - T ∈ D và x + T ∈ D (1)
• f(x + T) = f(x) (2)

Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên gọi là chu kì cơ sở của hàm tuần hoàn f(x). Chú ý: (Các đấu hiệu để biết hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn): Hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm:

1. Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn.
2. Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x > a hoặc x < a.
3. Phương trình f(x) = k có nghiệm nhưng số nghiệm hữu hạn.
4. Phương trình f(x) = k có vô số nghiệm sắp thứ tự: ...< ${x_n} < {x_{n + 1}}$ 1 phương trình vô nghiệm.
5. Bước 2: Nếu |m| ≤ 1, khi đó đặt m = sinα, ta được: sinx = sinα ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + 2k\pi \\x = \pi - \alpha + 2k\pi \end{array} \right.$, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Đặc biệt: Ta có các kết quả:
• sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
• sinx = 1 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\). sinx = -1 ⇔ x = -$\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).

2. PHƯƠNG TRÌNH cosx = m

Ta biện luận theo các bước sau:
• Bước 1: Nếu |m| > 1 phương trình vô nghiệm.
• Bước 2: Nếu |m| ≤ 1, khi đó đặt m = cosα, ta được: cosx = cosα ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + 2k\pi \\x = - \alpha + 2k\pi \end{array} \right.$, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Đặc biệt: Ta có các kết quả:
• cosx = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
• cosx = 1 ⇔ x = 2kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\). cosx = -1 ⇔ x = π + 2kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).

3. PHƯƠNG TRÌNH tanx = m

Ta biện luận theo các bước sau: Đặt điều kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\). Xét hai khả năng:
• Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt, giả sử α, khi đó phương trình có dạng: tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
• Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt, khi đó đặt m = tanα, ta được: tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\) hoặc sử dụng kí hiệu x = arctanm + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. Nhận xét: Như vậy, với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.

4. PHƯƠNG TRÌNH cotx = m

Ta biện luận theo các bước sau: Đặt điều kiện: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\). Xét hai khả năng:
• Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt, giả sử α, khi đó phương trình có dạng : cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
• Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt, khi đó đặt m = cotα, ta được cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\) hoặc sử dụng kí hiệu x = arccotm + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. Nhận xét: Như vậy, với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.

III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chuyển phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Đặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ t = sinx hoặc t = cosx, điều kiện |t| ≤ 1), rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng: asinx + bcosx = c. (1) Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Kiểm tra:
1. Nếu a$^2$ + b$^2$ < c$^2$ phương trình vô nghiệm.
2. Nếu a$^2$ + b$^2$ ≥ c$^2$, khi đó để tìm nghiệm của phương trình (1) ta thực hiện tiếp bước 2.
Bước 2: Chia hai vế phương trình (1) cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $, ta được: $\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$sinx + $\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$cosx = $\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ Vì ($\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$)2 + ($\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$)2 = 1 nên tồn tại góc α sao cho $\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha ,\,\,\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha $. Khi đó, phương trình (1) có dạng: sinx.cosα + sinα.cosx =$\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$⇔ sin(x + α) =$\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$. Đây là phương trình cơ bản của hàm số sin.

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

• Bước 1: Với cos$\frac{x}{2}$ = 0 ⇔ x = π + 2kπ, kiểm tra vào phương trình.
• Bước 2: Với cos$\frac{x}{2}$ ≠ 0 ⇔ x ≠ π + 2kπ, đặt t = tan$\frac{x}{2}$, suy ra: sinx = $\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$ và cosx = $\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$.
Khi đó, phương trình (1) có dạng: a.$\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$ + b.$\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$ = c ⇔ (c + b)t2 - 2at + c - b = 0. (2)
• Bước 3: Giải phương trình (2) theo t.
Cách 3: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong (α; ), ta có thể lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ. Nhận xét quan trọng:
1. Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số.
2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D với D ⊂ [0; 2π].
3. Cách 3 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham số để phương trình k có nghiệm thuộc tập D với D ∩ [0; 2π] ≠ ∅.
4. Từ cách giải 1 ta có được kết quả sau: -$\sqrt {{a^2} + {b^2}} $≤ asinx + bcosx ≤ $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $
kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số dạng y = a.sinx + b.cosx, y = $\frac{{a.\sin x + b.\cos x}}{{c.\sin x + d.\cos x}}$ và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác.

Dạng đặc biệt: Ta có các kết quả:

• sinx + cosx = 0 ⇔ x = -$\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).
• sinx - cosx = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).

4. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng: asin$^2$ x + bsinx.cosx + ccos$^2$ x = d. (1) Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Với cosx = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\). Khi đó, phương trình (1) có dạng a = d. - Nếu a = d, thì (1) nhận x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ làm nghiệm. - Nếu a ≠ d, thì (1) không nhận x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ làm nghiệm.

Bước 2: Với cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ \(\mathbb{Z}\).

Chia hai vế của phương trình (1) cho cos$^2$x ≠ 0, ta được: a.tan$^2$ x + b.tanx + c = d(1 + tan$^2$x). Đặt t = tanx, phương trình có dạng: (a - d)t$^2$ + bt + c - d = 0. (2)

Bước 3: Giải phương trình (2) theo t

Cách 2: Sử dụng các công thức:

sin2x = $\frac{{1 - \cos 2x}}{2}$, cos$^2$x = $\frac{{1 + \cos 2x}}{2}$ và sinx.cosx = $\frac{1}{2}$sin2x ta được: b.sin2x + (c - a)cos2x = d - c - a. (3) Đây là phương trình bậc nhất của sin và cos.

Nhận xét quan trọng:

• Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D.
• Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số.

5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1) hoặc a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0. (1') Để giải phương trình (1) ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt sinx + cosx = t, điều kiện |t| ≤ $\sqrt 2 $ ⇒sinx.cosx = $\frac{{{t^2} - 1}}{2}$.

Khi đó, phương trình có dạng: at + b$\frac{{{t^2} - 1}}{2}$ + c = 0 ⇔ bt$^2$ + 2at + 2c - b = 0. (2)

Bước 2: Giải (2) theo t và chọn nghiệm t0 thoả mãn điều kiện |t| ≤ $\sqrt 2 $

Với t = t$_0$, ta được: sinx + cosx = t$_0$ ⇔ $\sqrt 2 $sin(x + $\frac{\pi }{4}$) = t0 ⇔ sin(x + $\frac{\pi }{4}$) = $\frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}$. Đây là phương trình cơ bản của hàm số sin.

Chú ý: 1. Ta có thể giải (1) bằng cách đặt ẩn phụ z = $\frac{\pi }{4}$ - x, khi đó ta có: sinx + cosx = $\sqrt 2 $cos($\frac{\pi }{4}$ - x) = $\sqrt 2 $cosz

sinx.cosx = $\frac{1}{2}$sin2x = $\frac{1}{2}$sin2($\frac{\pi }{4}$ - z) = $\frac{1}{2}$sin($\frac{\pi }{2}$ - 2z)= $\frac{1}{2}$cos2z = $\frac{1}{2}$(2cos2z - 1) Khi đó, phương trình ban đầu được đưa về dạng phương trình bậc 2 đối với cosz.

2. Phương trình (1') được giải tương tự như (1) với ẩn phụ:

t = sinx - cosx, điều kiện |t| ≤ $\sqrt 2 $ ⇒sinx.cosx = $\frac{{1 - {t^2}}}{2}$.