Thể Tích Khối Chóp đều | Học Toán Online Chất Lượng Cao 2022 | Vted

Xem tài liệu

• Trang chủ
• Tài liệu

[Vted.vn] - Thể tích khối chóp đều

• Đã đăng 2018-08-01 10:54:34
• 96.605 lượt xem
• 0 bình luận
• Kiến thức toán học

Công thức tổng quát và công thức tính nhanh thể tích khối chóp đều:

Khối chóp đều

• Là khối chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau (hoặc góc giữa đáy và các cạnh bên bằng nhau)

• Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy;

• Các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau;

• Các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau;

• Chiều cao $h$ khối chóp xác định bởi $h=\sqrt{{{b}^{2}}-R_{d}^{2}},$ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và $b$ là độ dài cạnh bên.

• Khối chóp n giác đều, độ dài cạnh đáy là a, độ dài cạnh bên là b có $V=\dfrac{1}{24}{{a}^{2}}\cot \dfrac{\pi }{n}\sqrt{4{{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{n}}}.$

Một số trường hợp đặc biệt của khối chóp đều

• Khối tứ diện đều cạnh $a$ có $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$ và $V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8},$ trong đó $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ là chiều cao khối tứ diện đều.
• Khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}.$
• Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2(2{{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{6}.$
• Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a,$ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
• Khối bát diện đều cạnh $a$ là hợp của hai khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
• Khối chóp lục giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{2}.$

>>Xem thêm: Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt

>>Xem thêm: Thể tích của khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy và thể tích của khối chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy

>>Xem thêm: Giải đáp học sinh - Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, SA=x, SB=SC=SD=AB=1, x=? để hình chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất.

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Khối chóp có độ dài ba cạnh bên bằng nhau

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=S{{A}_{3}}=k$ thì chân đường cao của khối chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}.$ Vì vậy chiều cao khối chóp $h=\sqrt{{{k}^{2}}-R_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}^{2}}.$

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=...=S{{A}_{m}}(3\le m\le n)$ khi đó đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}$ nội tiếp và hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy trùng với tâm ngoại tiếp của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}.$

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=a,\text{ }BC=3a,\text{ }CA=\dfrac{5a}{2}.$ Biết ${A}'A={A}'B={A}'C$ và cạnh bên $A{A}'$ tạo với mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$

B. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$

C. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$

D. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$

Giải. Vì ${A}'A={A}'B={A}'C$ nên hình chiếu vuông góc của \[{A}'\] xuống mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC.$

Ta có ${A}'O\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( A{A}',\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'AO}={{60}^{0}}\Rightarrow {A}'O=OA\tan {{60}^{0}}={{R}_{ABC}}\sqrt{3}=\dfrac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}\sqrt{3}$

$\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'O=\dfrac{AB.BC.CA}{4}\sqrt{3}=\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=1,$ tất cả các cạnh còn lại bằng $\sqrt{3}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

B. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$

Giải. Tứ giác $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $\sqrt{3}$ nên là một hình thoi có độ dài cạnh bằng $\sqrt{3}.$

Vì $SB=SC=SD=\sqrt{3}$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Vì tam giác $BCD$ cân tại $C$ nên $H\in AC$ là trung trực của cạnh $BD.$

Gọi $O=AC\cap BD$ chú ý $\Delta SBD=\Delta ABD(c-c-c)\Rightarrow SO=AO\Rightarrow SO=\dfrac{AC}{2}\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S.$

Do đó $AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=2\Rightarrow SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}.1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ta có $B{{D}^{2}}=4O{{B}^{2}}=4\left( B{{C}^{2}}-O{{C}^{2}} \right)=4B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=12-4=8\Rightarrow BD=2\sqrt{2}.$

Do đó ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}.2.2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$ Chọn đáp án D.

Tự luyện: Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $2$ và $SB=SC=SD=2,$ cạnh $SA$ thay đổi. Gọi $M$ là trung điểm của $SA.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $MBCD$ bằng

Ghi chú

Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về:

• Fanpage: Vted.vn - Học toán online chất lượng cao
• Email: vted.vn@gmail.com

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập Đã ghim trần trồng trộc [53314] ● Đã mua 2 khóa học

cho em xin bản pdf với ạ bichthuydcmd@gmail.com

0 14:55 18-02-2019 Đã ghim mtrang [18235] ● Đã mua 1 khóa học

Thầy cho chúng em tải về chứ mua khóa học rồi mà cũng như các bạn khác thì khó nghĩ quá

0 10:41 02-10-2018

Báo cáo bình luận vi phạm

× Gửi báo cáo

Tìm kiếm

Thẻ

Xem nhiều

Liên quan

Công ty CP giáo dục trực tuyến Vted

• 0976.266.202/0386.104.708
• 0466 864 535
• vted.vn@gmail.com
• Toà nhà The Pride - Tố Hữu - Q. Hà Đông - Tp. Hà Nội

KẾT NỐI MẠNG XÃ HỘI

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao

Thầy Đặng Thành Nam

Về Vted

• Liên hệ
• Khoá học
• Giới thiệu
• Chính sách miễn giảm học phí

Đối tác

• Tổ chức giáo dục
• Giảng viên
• Team hỗ trợ
• Tuyển dụng

Quy định

• Thỏa thuận sử dụng
• Quy chế hoạt động
• Chính sách bảo mật và Điều khoản

Hỗ trợ

• Câu hỏi thường gặp
• Thi Online
• Nạp tiền chuyển khoản
• Học thử và thi thử
• Cách đăng kí khoá học
• Kích hoạt COD

SÁCH VTED

LỚP HỌC VTED

• Lớp Toán 2020 - 2021

ĐĂNG KÝ NHẬN TIN

Đăng kí nhận tin từ Vted và nhận Voucher 50.000 VND ĐĂNG KÝ Nam Nữ Khác

Tải App Vted

2015 - 2024 © Vted.vn Online, ALL rights reserved - Vted.vn - Học toán online chất lượng cao

• Hotline 0976.266.202
• Facebook Vted
• Nhắn tin cho Vted
• Lên đầu trang

Xem tất cả