Thể Tích Khối Chóp đều | Học Toán Online Chất Lượng Cao 2022 | Vted

Có thể bạn quan tâm

Xem tài liệu

Trang chủ
Tài liệu

[Vted.vn] - Thể tích khối chóp đều

Đã đăng 2018-08-01 10:54:34
96.667 lượt xem
0 bình luận
Kiến thức toán học

Công thức tổng quát và công thức tính nhanh thể tích khối chóp đều:

Khối chóp đều

Là khối chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau (hoặc góc giữa đáy và các cạnh bên bằng nhau)
Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy;
Các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau;
Các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau;
Chiều cao $h$ khối chóp xác định bởi $h=\sqrt{{{b}^{2}}-R_{d}^{2}},$ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và $b$ là độ dài cạnh bên.

Khối chóp n giác đều, độ dài cạnh đáy là a, độ dài cạnh bên là b có $V=\dfrac{1}{24}{{a}^{2}}\cot \dfrac{\pi }{n}\sqrt{4{{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{n}}}.$

Một số trường hợp đặc biệt của khối chóp đều

Khối tứ diện đều cạnh $a$ có $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$ và $V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8},$ trong đó $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ là chiều cao khối tứ diện đều.
Khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}.$
Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2(2{{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{6}.$
Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a,$ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
Khối bát diện đều cạnh $a$ là hợp của hai khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Khối chóp lục giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{2}.$

>>Xem thêm: Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt

>>Xem thêm: Thể tích của khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy và thể tích của khối chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy

>>Xem thêm: Giải đáp học sinh - Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, SA=x, SB=SC=SD=AB=1, x=? để hình chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất.

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Khối chóp có độ dài ba cạnh bên bằng nhau

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=S{{A}_{3}}=k$ thì chân đường cao của khối chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}.$ Vì vậy chiều cao khối chóp $h=\sqrt{{{k}^{2}}-R_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}^{2}}.$

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=...=S{{A}_{m}}(3\le m\le n)$ khi đó đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}$ nội tiếp và hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy trùng với tâm ngoại tiếp của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}.$

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=a,\text{ }BC=3a,\text{ }CA=\dfrac{5a}{2}.$ Biết ${A}'A={A}'B={A}'C$ và cạnh bên $A{A}'$ tạo với mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$

B. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$

C. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$

D. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$

Giải. Vì ${A}'A={A}'B={A}'C$ nên hình chiếu vuông góc của \[{A}'\] xuống mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC.$

Ta có ${A}'O\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( A{A}',\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'AO}={{60}^{0}}\Rightarrow {A}'O=OA\tan {{60}^{0}}={{R}_{ABC}}\sqrt{3}=\dfrac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}\sqrt{3}$

$\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'O=\dfrac{AB.BC.CA}{4}\sqrt{3}=\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=1,$ tất cả các cạnh còn lại bằng $\sqrt{3}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

B. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$

Giải. Tứ giác $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $\sqrt{3}$ nên là một hình thoi có độ dài cạnh bằng $\sqrt{3}.$

Vì $SB=SC=SD=\sqrt{3}$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Vì tam giác $BCD$ cân tại $C$ nên $H\in AC$ là trung trực của cạnh $BD.$

Gọi $O=AC\cap BD$ chú ý $\Delta SBD=\Delta ABD(c-c-c)\Rightarrow SO=AO\Rightarrow SO=\dfrac{AC}{2}\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S.$

Do đó $AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=2\Rightarrow SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}.1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ta có $B{{D}^{2}}=4O{{B}^{2}}=4\left( B{{C}^{2}}-O{{C}^{2}} \right)=4B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=12-4=8\Rightarrow BD=2\sqrt{2}.$

Do đó ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}.2.2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$ Chọn đáp án D.

Tự luyện: Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $2$ và $SB=SC=SD=2,$ cạnh $SA$ thay đổi. Gọi $M$ là trung điểm của $SA.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $MBCD$ bằng

Ghi chú

Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về:

Fanpage: Vted.vn - Học toán online chất lượng cao
Email: vted.vn@gmail.com

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập

Đã ghim trần trồng trộc [53314] ● Đã mua 2 khóa học

cho em xin bản pdf với ạ bichthuydcmd@gmail.com

0 14:55 18-02-2019

Đã ghim mtrang [18235] ● Đã mua 1 khóa học

Thầy cho chúng em tải về chứ mua khóa học rồi mà cũng như các bạn khác thì khó nghĩ quá

0 10:41 02-10-2018

Báo cáo bình luận vi phạm

Gửi báo cáo

Tìm kiếm

Thẻ

Xem nhiều

Liên quan

Công ty CP giáo dục trực tuyến Vted

0976.266.202/0386.104.708
0466 864 535
vted.vn@gmail.com
Toà nhà The Pride - Tố Hữu - Q. Hà Đông - Tp. Hà Nội

KẾT NỐI MẠNG XÃ HỘI

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao

Thầy Đặng Thành Nam

Về Vted

Liên hệ
Khoá học
Giới thiệu
Chính sách miễn giảm học phí

Đối tác

Tổ chức giáo dục
Giảng viên
Team hỗ trợ
Tuyển dụng

Quy định

Thỏa thuận sử dụng
Quy chế hoạt động
Chính sách bảo mật và Điều khoản

Hỗ trợ

Câu hỏi thường gặp
Thi Online
Nạp tiền chuyển khoản
Học thử và thi thử
Cách đăng kí khoá học
Kích hoạt COD

SÁCH VTED

LỚP HỌC VTED

Lớp Toán 2020 - 2021

ĐĂNG KÝ NHẬN TIN

Đăng kí nhận tin từ Vted và nhận Voucher 50.000 VND ĐĂNG KÝ Nam Nữ Khác

Tải App Vted

Hotline 0976.266.202
Facebook Vted
Nhắn tin cho Vted
Lên đầu trang

Xem tất cả

Từ khóa » Diện Tích Khối Chóp Tứ Giác đều Cạnh A