Tích Phân Của Hàm Số Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt đối | Nguyễn Minh Hiếu

Trang chủ » Nguyên Hàm Ln Trị Tuyệt đối X » Tích Phân Của Hàm Số Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt đối | Nguyễn Minh Hiếu

Có thể bạn quan tâm

BÀI TOÁN.  Tính tích phân \displaystyle I = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .

PHƯƠNG PHÁP.

  • Cho f(x)=0 \Rightarrow x=x_i (chỉ lấy những x_i\in (a;b)).
  • Khi đó \displaystyle I = \int\limits_a^{{x_i}} {\left| {f(x)} \right|dx} + \int\limits_{{x_i}}^b {\left| {f(x)} \right|dx} .
  • Xét dấu f(x) trên các khoảng (a;x_i) và (x_i;b) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1. Tính tích phân: \displaystyle I = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {x - 1} \right|dx} .

Phân tích. Cho x-1=0 ta có x=1\in (-2;2), do đó \displaystyle I = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx} =I_1+I_2. Đối với I_1, chọn x=0\Rightarrow f(0)=-1 < 0 \Rightarrow f(x) < 0 trên (-2;1) nên \displaystyle I_1= \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - x} \right)dx}. Đối với I_2, chọn x=\dfrac{3}{2}\Rightarrow f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{2}>0 \Rightarrow f(x)>0 trên (-2;1) nên \displaystyle I_2= \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx}. Do đó \displaystyle I=I_1+I_2=\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx}.

Lời giải.

\displaystyle I = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx}

\displaystyle = \left. {\left( {x - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^1 + \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - x} \right)} \right|_1^2 = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5.

Nhận xét. Để xét dấu f(x) trên khoảng (\alpha;\beta) ta chọn c\in (\alpha;\beta) và tính f(c). Khi đó dấu f(c) là dấu f(x) trên (\alpha;\beta).

Ví dụ 2. (D-2003) Tính tích phân: \displaystyle I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right| dx} .

Lời giải.

\displaystyle I = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}

= \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx}

\displaystyle = \left. {\left( {\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}x} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1.

Ví dụ 3. Tính tích phân: \displaystyle I = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {2x - \left| {x + 1} \right|} \right|dx} .

Lời giải.

\displaystyle I = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {2x + x + 1} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2x - x - 1} \right|dx}

\displaystyle = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {3x + 1} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx}

\displaystyle = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( { - 3x - 1} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx}

\displaystyle = \left. {\left( { - \frac{{3{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} + \left. {\left( {x - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - x} \right)} \right|_1^2

= \dfrac{7}{2} + 2 + \dfrac{1}{2} = 6.

Ví dụ 4. Tính tích phân: \displaystyle I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} .

Lời giải.

\displaystyle I = \sqrt 2 \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} = \sqrt 2 \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x} \right|dx} + \sqrt 2 \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx}

\displaystyle = \sqrt 2 \int\limits_0^\pi {\sin xdx} - \sqrt 2 \int\limits_\pi ^{2\pi } {\sin xdx}

\displaystyle = \left. { - \sqrt 2 \cos x} \right|_0^\pi + \left. {\sqrt 2 \cos x} \right|_\pi ^{2\pi } = \sqrt 2 + \sqrt 2 + \sqrt 2 + \sqrt 2 = 4\sqrt 2 .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tính tích phân: \displaystyle I = \int\limits_0^4 {\left| {3 - x} \right|dx}

2. Tính tích phân: \displaystyle I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} .

3. Tính tích phân: \displaystyle I = \int\limits_{ - 2}^3 {\left( {\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 2} \right|} \right)dx}.

4. Tính tích phân: \displaystyle I = \int\limits_0^3 {\left| {\sqrt {{x^2} - 4x + 4} - 1} \right|dx} .

5. Tính tích phân: \displaystyle I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} dx} .

6. Tính tích phân: \displaystyle I=\int\limits_{0}^{3}{\left| \frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1} \right|dx}.

Share this:

  • Facebook
Like Loading...

Related

  • Toán Phổ Thông

Từ khóa » Nguyên Hàm Ln Trị Tuyệt đối X