Home Forums New posts Search forums Lớp 12 Vật Lí 12 What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity Members Current visitors New profile posts Search profile posts Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm Tìm kiếm Everywhere Threads This forum This thread
Chỉ tìm trong tiêu đề Note Search Tìm nâng cao… Menu Đăng nhập Install the app
Install How to install the app on iOS
Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.
Note: This feature may not be available in some browsers.
Home Forums Toán Học Đại Số Nguyên Hàm & Tích Phân JavaScript is disabled. For a better experience, please enable JavaScript in your browser before proceeding. You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối
Thread starter Thread starter Tăng Giáp Ngày gửi Ngày gửi 6/12/18 Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT 1. Phương pháp tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối Muốn tính tích phân $I = \int_a^b | f(x)|dx$, ta thức hiện theo các bước sau: + Xét dấu hàm $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ để mở dấu giá trị tuyệt đối. + Áp dụng công thức: $\int_a^b | f(x)|dx$ $ = \int_a^c | f(x)|dx + \int_c^b | f(x)|dx.$ 2. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tích phân: $I = \int_{ – 3}^3 {\left| {{x^2} – 1} \right|} dx.$ Ta có: $I = \int_{ – 3}^3 {\left| {{x^2} – 1} \right|} dx$ $ = \int_{ – 3}^{ – 1} {\left( {{x^2} – 1} \right)} dx$ $ + \int_{ – 1}^1 {\left( { – {x^2} + 1} \right)} dx$ $ + \int_1^3 {\left( {{x^2} – 1} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – x} \right)} \right|_{ – 3}^{ – 1}$ $ + \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ – 1}^1$ $ + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – x} \right)} \right|_1^3$ $ = – \frac{1}{3} + 1 + 9 – 3 – \frac{1}{3} + 1$ $ – \frac{1}{3} + 1 + 9 – 3 – \frac{1}{3} + 1$ $ = \frac{{44}}{3}.$ Vậy $I = \int_{ – 3}^3 {\left| {{x^2} – 1} \right|} dx = \frac{{44}}{3}.$ Ví dụ 2: Tính tích phân: $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} – 4x + 3} \right|} dx.$ Ta có bảng xét dấu:
Nên $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} – 4x + 3} \right|} dx$ $ = \int_0^1 {\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)} dx$ $ + \int_1^2 {\left( { – {x^2} + 4x – 3} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1$ $ + \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} – 3x} \right)} \right|_1^2 = 2.$ Vậy $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} – 4x + 3} \right|} dx = 2.$ Ví dụ 3: Tính tích phân: ${I_{(m)}} = \int_0^1 {\left| {{x^2} – 2x + m} \right|} dx.$ Đặt $f(x) = {x^2} – 2x + m$ có $\Delta’ = 1 – m.$ + Khi $m \ge 1$ $ \Leftrightarrow \Delta’ = 1 – m \le 0$ $ \Rightarrow f(x) \ge 0$ $\forall x \in R.$ Do đó ${I_{(m)}} = \int_0^1 {\left| {{x^2} – 2x + m} \right|} dx$ $ = \int_0^1 {\left( {{x^2} – 2x + m} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + mx} \right)} \right|_0^1$ $ = m – \frac{2}{3}.$ + Khi $0 < m < 1$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta’ = 1 – m > 0}\\ {f(0) = m > 0}\\ {f(1) = m – 1 < 0} \end{array}} \right.$ Phương trình $f(x) = m$ có hai nghiệm ${x_1} < {x_2}.$ Do đó ta có $0 < {x_1} < 1 < {x_2}$ với ${x_1},{x_2} = 1 \pm \sqrt {1 – m} .$ Hay ta có:
Nên: ${I_{(m)}} = \int_0^1 {\left| {{x^2} – 2x + m} \right|} dx$ $ = \int_0^{{x_1}} {\left( {{x^2} – 2x + m} \right)} dx$ $ + \int_{{x_1}}^1 {\left( { – {x^2} + 2x – m} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + mx} \right)} \right|_0^{{x_1}}$ $ + \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} – mx} \right)} \right|_{{x_1}}^1$ $ = 2\left[ {\frac{{x_1^3}}{3} – x_1^2 + m{x_1}} \right] + \frac{2}{3} – m.$ Thế ${x_1} = 1 – \sqrt {1 – m} $ vào ta có: ${I_m} = \frac{2}{3}(1 – \sqrt {1 – m} )$$\left[ {{{(1 – \sqrt {1 – m} )}^2} – 3(1 – \sqrt {1 – m} ) + 3m} \right]$ $ + \frac{2}{3} – m$ $ = \frac{2}{3}(1 – \sqrt {1 – m} )(2m – 1 + \sqrt {1 – m} )$ $ + \frac{2}{3} – m.$ + Khi $m \le 0$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(0) = m \le 0}\\ {f(1) = m – 1 \le 0} \end{array}} \right.$ Do đó ta có ${x_1} \le 0 < 1 < {x_2}$ $ \Rightarrow f(x) < 0$ $\forall x \in [0;1].$ Nên ${I_m} = \int_0^1 {\left( { – {x^2} + 2x – m} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{ – {x^3}}}{3} + {x^2} – mx} \right)} \right|_0^1$ $ = \frac{2}{3} – m.$ Ví dụ 4: Tính tích phân: $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} – x} \right|} dx.$ Ta có:
Do đó: $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} – x} \right|} dx$ $ = \int_0^1 {\left( { – {x^2} + x} \right)} dx$ $ + \int_1^2 {\left( {{x^2} – x} \right)} dx$ $ = \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1$ $ + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2 = 1.$ Ví dụ 5: Tính tích phân: $I(\alpha ) = \int_0^1 x |x – \alpha |dx.$ + Khi $\alpha \le 0$ thì $x – \alpha \ge 0$ $\forall x \in [0;1].$ Vậy $I(\alpha ) = \int_0^1 x |x – \alpha |dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{\alpha {x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1$ $ = \frac{1}{3} – \frac{\alpha }{2}.$ + Khi $0 < \alpha < 1$, ta có:
Vậy $I(\alpha ) = \int_0^\alpha x |x – \alpha |dx$ $ + \int_\alpha ^1 x |x – \alpha |dx$ $ = \int_0^\alpha {\left( { – {x^2} + \alpha x} \right)} dx$ $ + \int_\alpha ^1 {\left( {{x^2} – \alpha x} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{\alpha {x^2}}}{2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^\alpha $ $ + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{\alpha {x^2}}}{2}} \right)} \right|_\alpha ^1$ $ = \frac{{{\alpha ^3}}}{3} – \frac{\alpha }{2} + \frac{1}{3}.$ + Khi $\alpha \ge 1$ thì $x – \alpha \le 0$ $\forall x \in [0;1].$ Vậy $I(\alpha ) = \int_0^1 {\left( { – {x^2} + \alpha x} \right)} dx$ $ = \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{\alpha {x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1$ $ = \frac{\alpha }{2} – \frac{1}{3}.$ Ví dụ 6: Cho $f(x) = 3{x^3} – {x^2} – 4x + 1$ và $g(x) = 2{x^3} + {x^2} – 3x – 1.$ a) Giải bất phương trình $f(x) \ge g(x).$ b) Tính $I = \int_{ – 1}^2 | f(x) – g(x)|dx.$ a) Ta có: $f(x) \ge g(x)$ $ \Leftrightarrow f(x) – g(x) \ge 0$ $ \Leftrightarrow {x^3} – 2x – x + 2 \ge 0$ $ \Leftrightarrow (x – 1)\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 1} \right)(x – 2) \ge 0$ $ \Leftrightarrow – 1 \le x \le 1$ hoặc $x \ge 2.$ b) Ta có: (dựa vào câu a, ta xác định được $f(x) – g(x)$ âm, dương khi nào).
Vậy $I = \int_{ – 1}^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = \int_{ – 1}^1 | f(x) – g(x)|dx$ $ + \int_1^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = \int\limits_{ – 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} $ $ – \int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} $ $ = \int_{ – 1}^1 {\left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right)} dx$ $ – \int_1^2 {\left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{2{x^2}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ – 1}^1$ $ – \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{2{x^2}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{{37}}{{12}}.$ Ví dụ 7: Tính tích phân: $I = \int_{ – \pi }^\pi {\sqrt {1 – \sin x} } dx.$ Ta có: $I = \int_{ – \pi }^\pi {\sqrt {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} } dx$ $ = \int_{ – \pi }^\pi {\left| {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right|} dx$ $ = \sqrt 2 \int_{ – \pi }^\pi {\left| {\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|} dx.$ Đổi biến: đặt $t = \frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{2}.$ Đổi cận: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \pi }\\ {x = – \pi } \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = \frac{{3\pi }}{4}}\\ {t = – \frac{\pi }{4}} \end{array}} \right.$ Ta thấy: với $ – \frac{\pi }{4} \le t \le \frac{\pi }{2}$ thì $\cos t \ge 0$, với $\frac{\pi }{2} \le t \le \frac{{3\pi }}{4}$ thì $\cos t < 0.$ Suy ra: $I = 2\sqrt 2 \int_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} | \cos t|dt$ $ = 2\sqrt 2 \int_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos } tdt – 2\sqrt 2 \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} { \cos tdt } $ $ = 2\sqrt 2 \sin \left. t \right|_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} – 2\sqrt 2 \sin \left. t \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 4\sqrt 2 .$ Ví dụ 8: Tính tích phân: $I = \int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx.$ Ta có: $I = \int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx$ $ = \int_{ – \frac{\pi }{2}}^0 {( – \sin x)} dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } xdx$ $ = \cos \left. x \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^0 + \left. {( – \cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ = 1 + 1 = 2.$ Ví dụ 9: Tính $I = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} | \sin 2x|dx.$ Đặt $t = 2x \Rightarrow dt = 2dx.$ Đổi cận $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{3\pi }}{4}}\\ {x = \frac{\pi }{4}} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = \frac{{3\pi }}{2}}\\ {t = \frac{\pi }{2}} \end{array}} \right.$
Do đó: $I = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} | \sin t|dt$ $ = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{2}}^\pi | \sin t|dt + \frac{1}{2}\int_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} | \sin t|dt$ $ = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin t} dt – \frac{1}{2}\int_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} {\sin } tdt$ (vì $\frac{\pi }{2} \le t \le \pi $ thì $\sin t \ge 0$, $\frac{\pi }{2} \le t \le \frac{{3\pi }}{2}$ thì $\sin t \le 0$). $I = – \frac{1}{2}\cos \left. t \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi + \frac{1}{2}\cos \left. t \right|_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} = 1.$ Ví dụ 10: Tính tích phân: $I = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x – 2} } dx.$ Ta có: $\sqrt {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x – 2} $ $ = \sqrt {{{(\tan x + \cot x)}^2}} $ $ = |\tan x – \cot x|$ $ = \left| {\frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right|$ $ = \left| {\frac{{{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}}} \right|$ $ = \left| {\frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\sin x\cos x}}} \right|$ $ = 2\left| {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}} \right|.$ Ta có: $\frac{\pi }{6} \le x \le \frac{\pi }{3}$ $ \Rightarrow \frac{\pi }{3} \le 2x \le \frac{{2\pi }}{3}.$ Do đó: $\sin 2x \ge 0$, $\left\{ \begin{array}{l} \cos 2x \le 0\:{\rm{khi}}\:x \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}} \right]\\ \cos 2x \ge 0\:{\rm{khi}}\:x \in \left[ {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4}} \right] \end{array} \right.$ Vậy $I = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} 2 \left| {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}} \right|dx$ $ + \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} 2 \left| {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}} \right|dx$ $ = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} 2 \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}dx – \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} 2 \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}dx$ $ = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} 2 \frac{{d(\sin 2x)}}{{\sin 2x}} – \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} 2 \frac{{d(\sin 2x)}}{{\sin 2x}}$ $ = \ln \left. {|\sin 2x|} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} – \left. {\ln |\sin 2x|} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}$ $ = \left( {\ln 1 – \ln \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) – \left( {\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \ln 1} \right)$ $ = – 2\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ Ví dụ 11: Tính tích phân: $I = \int_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx.$ Ta có: $I = \int_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx$ $ = \int_0^\pi {\sqrt {2{{\cos }^2}x} } dx$ $ = \int_0^\pi {\sqrt 2 } |\cos x|dx$ $ = \sqrt 2 \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx – \sqrt 2 \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos } xdx$ $ = \sqrt 2 \sin \left. x \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \sqrt 2 \sin \left. x \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi $ $ = 2\sqrt 2 .$ Ví dụ 12: Tính tích phân: $I = \int_0^\pi | \cos x|\sqrt {\sin x} dx.$ Ta có: $I = \int_0^\pi | \cos x|\sqrt {\sin x} dx$ $ + \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi | \cos x|\sqrt {\sin x} dx$ $ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } x.{(\sin x)^{\frac{1}{2}}}dx$ $ – \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos } x.{(\sin x)^{\frac{1}{2}}}dx$ $ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(\sin x)}^{\frac{1}{2}}}} d(\sin x)$ $ – \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{(\sin x)}^{\frac{1}{2}}}} d(\sin x)$ $ = \frac{2}{3}\left. {{{(\sin x)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \frac{2}{3}\left. {{{(\sin x)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi $ $ = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.$ Ví dụ 13: Tính tích phân: $I = \int_{ – 1}^1 {\frac{{|x|dx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} .$ Vì hàm số $f(x) = \frac{{|x|}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}$ là hàm số chẵn, liên tục trong $[ – 1;1].$ Suy ra: $I = \int_{ – 1}^1 {\frac{{|x|dx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} $ $ = 2\int_0^1 {\frac{{|x|dx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} $ $ = 2\int_0^1 {\frac{{xdx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} .$ Đặt $t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx.$ Đổi cận $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = 0} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 1}\\ {t = 0} \end{array}} \right.$ Vậy $I = \int_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} – t – 12}}} $ $ = \int_0^1 {\frac{{dt}}{{(t – 4)(t + 3)}}} $ $ = \frac{1}{7}\int_0^1 {\left( {\frac{1}{{t – 4}} – \frac{1}{{t + 3}}} \right)} dt$ $ = \frac{1}{7}\ln \left. {\left| {\frac{{t – 4}}{{t + 3}}} \right|} \right|_0^1$ $ = \frac{2}{7}\ln \frac{3}{4}.$
You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link Trending content H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số' Trả lời: 179 V Thread 'Bài 3. Chuyển động thẳng biến đổi đều' Trả lời: 172 H Thread 'Chuyên đề mặt nón tròn xoay' Trả lời: 102 Latest posts Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Sóng cơ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Sóng cơ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Bài 22: Sóng điện từ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Sóng cơ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Sóng cơ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Dao động cơ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Dao động cơ Latest: Tăng Giáp 25/11/25 Chương 1. Điện tích - Điện trường Latest: Tăng Giáp 25/11/25 Chương 1. Điện tích - Điện trường Latest: Tăng Giáp 22/11/25 Bài 01. Phương trình Members online No members online now.
Total: 16 (members: 0, guests: 16) Share this page Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link Home Forums Toán Học Đại Số Nguyên Hàm & Tích Phân Back Top
Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.' 
Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp' 
Thread 'SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ'