Tích Phân Từng Phần - SlideShare

Tích phân từng phần•Download as DOCX, PDF•21 likes•203,081 viewsRroggerbobFollow1 of 8Download nowDownloaded 446 times

More Related Content

Tích phân từng phần

• 1. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Giả sử cho u =u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó :  Công thức tính nguyên hàm:  udv  uv   vdu  Công thức tính tích phân: b  udv  uv a b b  vdu a  a  Nhận dạng : hàm dưới dấu tích phân thường là tích của hai loại hàm số khác nhau.  Chú ý:  Ta chọn u sao cho dễ tính du nhất và chọn v sao cho dễ tìm nguyên hàm dv nhất  Làm thế nào để biết mình chọn hàm u, v chính xác rồi?    Thật dễ: nếu trọn đúng u,v thì  vdu và b  vdu a phả dễ tính hơn  udv và b  udv , nếu thằng ku nào chọn u, v xong mà tích phân sau khó hơn tích phân a ban đầu là đã chọn sai rồi. 1 Người soạn : Trương Văn Trọng https://www.facebook.com/rogger.bob.9
• 2. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN II. CÁC DẠNG CƠ BẢN 1. Dạng 1: du  P '(x)dx  1 u  P(x)   cos(ax  b) sin(ax  b)   a sin(ax  b)   P (x) cos(ax+b) dx    1  dv  cos(ax+b) dx v  a sin(ax+b) ax  b e   e ax b  1 ax b  e  a  Minh họa: Tính tích phân : I   x sin x cos 2 xdx Giai Cach 1: 1  3 3 sin 3 x  3sin x  4sin x  sin x  (3sinx  sin 3 x) 4  sin x cos 2 x  sin x(1  sin 2 x)  sinx  sin 3 x  Ta co :  3 1 sin x  4 (3sinx  sin 3 x)   sin x cos 2 x  sinx  sin 3 x  sin x  1 (3sinx  sin 3 x)  1 (sin x  sin 3 x)   4 4 Suy ra, I  1 1 1 1 1  x  sin x  sin 3x dx  4  x sin xdx  4  x sin 3xdx  4 I1  4 I 2 4  Tính I1 : I1   x sin xdx du  dx u  x du  dx     dv  sin xdx v   sin xdx v  cosx  I1   x cos x   coxdx   x cos x  sin x  C1  Tính I2 : 2 Người soạn : Trương Văn Trọng https://www.facebook.com/rogger.bob.9
• 3. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I 2   x sin 3xdx du  dx du  dx u  x     1  dv  sin 3xdx v   sin 3xdx v   cos3x  3  1 1 1 1 I1   x cos 3x   co3xdx   x cos x  sin x  C2 3 3 3 9 Cach 2: du  dx du  dx u  x      2 2 2 dv  sin x cos xdx v   sin x cos xdx v    cos xd cos x   du  dx   1 3 v  3 cos x  1 1 1 1 I  x cos3 x   cos3 xdx  x cos3 x   cos 2 x cos xdx 3 3 3 3 1 1  x cos3 x   (1  sin 2 x) cos xdx 3 3 1 1  x cos3 x   (1  sin 2 x)d sin x 3 3 1 1 1  x cos3 x  (sin x  sin 3 x)  c 3 3 3 Bài tập áp dụng: 1.1.  x sin xdx 1.2. 1.3. 1.4.  (2 x  3) sin 2 xdx  xcosxdx  (2 x  1)cos xdx 2  1.5. 2  x sin 3 xdx 0 1.6. 1.7. 1.8.  sin xdx  x sin xdx  x sin(2 x  1)dx 3 Người soạn : Trương Văn Trọng https://www.facebook.com/rogger.bob.9
• 4. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1.9. 1.10. 1.11.  x sin(2 x  1)dx  x cos( x  1)dx  x sin xcos xdx 3 5 2 2  1.12. 2   x  sin x  cosxdx 2 2 0  1.13. 2 e sin 2 x s inxcos3 xdx 0  1.14. 2 e a sin 2 x  bcos 2 x s in2xdx 0 1.15.  x(sin x  cos x)dx 1.16.  ( x  4 )(sin x  cos x)dx 1.17. 1.22.  x( 3 sin x  cos x)dx  xe dx  (2 x  1) e dx  (2 x  1) e dx  (x  2 x) e dx 3 x  x e dx 1.23.  1.18. 1.19. 1.20. 1.21.  x x 3 x2 2 x 2 x 1 dx ex x 2e x 1.24.  dx (x  2)2 1.25.  e x  x 2 1 x 1 x  x 1 2 2  2 dx 2. Dạng 2: f '(x)  u  ln  f (x)  du  f (x)   P(x) ln  f (x) dx  dv  P(x) dx     v  P(x) dx   Thường gặp nhất là dạng đặc biệt sau: 4 Người soạn : Trương Văn Trọng https://www.facebook.com/rogger.bob.9
• 5. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN a  u  ln(ax  b) du  ax  b  P(x) ln(ax  b)dx  dv  P(x) dx    v  P(x) dx   Bài tập mẫu : I   ( x 3  x 2  x) ln( x 2  x) d x Giải: Chọn 2x 1  ( x 2  x) ' 2x 1   du  x 2  x dx du  x 2  x dx  du  x 2  x dx u  ln( x 2  x)        4 3 2 3 2 4 3 2 x x x dv  ( x  x  x)dx   v  x  x  x v  1 (3x 4  4 x3  6 x 2 ) v    12    4 3 2  4 3 2  suy ra, 1 1 2x 1 (3x 4  4 x 3  6 x 2 ) ln( x 2  x)   (3 x 4  4 x 3  6 x 2 ) 2 dx 12 12 x x 1 1 2x 1 I  (3 x 4  4 x3  6 x 2 ) ln( x 2  x)   (3 x 3  4 x 2  6 x) dx 12 12 x 1 1 1 1    (3 x 4  4 x 3  6 x 2 ) ln( x 2  x)   (3 x 3  4 x 2  6 x)  2   dx 12 12 x 1   1 1  (3 x 4  4 x 3  6 x 2 ) ln( x 2  x)  K 12 12 I 1   K   (3 x3  4 x 2  6 x)  2   dx x 1    3x3  4 x 2  6 x     2(3 x3  4 x 2  6 x)   dx x 1    3 x 2 ( x  1)  x( x  1)  5( x  1)  5     2(3 x3  4 x 2  6 x)   dx x 1   5      6 x3  5 x 2  11x  5   dx x 1   3 5 11  x 4  x 3  x 2  5 x  5ln(x  1)  C 2 3 2 Từ đó có kết quả như sau: I 1 1 3 5 11  (3x 4  4 x 3  6 x 2 ) ln( x 2  x)   x 4  x 3  x 2  5 x  5ln(x  1)   C 12 12  2 3 2  Bài tập minh họa: 5 Người soạn : Trương Văn Trọng https://www.facebook.com/rogger.bob.9
• 6. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.  ln(x  x) dx  (2 x  1) ln(x  x) dx  ln( x  1  x) dx  ln( x 1  x) dx  x ln( x  a  x) dx  x ln( x  a  x) dx 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 e 2.7. x 2 (lnx) 2 dx 1 1 2.8.  1 x  2  x ln  1  x  dx   0 x ln(x  x 2  1) 1 2.9.  x2  1 0 x ln(x  x 2  1) 1 2.10.  x  x2  1 0 dx dx 0 2.11.  x ln 1  xdx 8 ln 1  x dx 1 x 0 2.12.  (1  x) 3 3 2.13. x lnx  x 1 2  1 2 dx 1 2.14.  x ln(1  x 2 )dx (CDKTKT  2006) 0  3 ln(tan x) dx (CDTCHhai quan  2006) sin 2 x 2.15.   2.16. ln(1  x) dx (CD co khi  2006) x2 1 4 2  2 2.17. x 1 2  1 ln 1   dx  x 6 Người soạn : Trương Văn Trọng https://www.facebook.com/rogger.bob.9
• 7. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1 2.18.  x ln 1  x  dx 2 2 0  2.19. 2  sin x ln(1  cosx)dx 0  2.20. 4  ln(tan x)dx 0 4 2.21.  (x  1) 2 lnx dx 1  2.22. 4  ln(1  tan x)dx 0 ln(1  x  1) dx x 1 2 5 2.23.  x 1  4 tan x ln(cos x) dx cos x 2.24.  2.25. ( x3  1) ln x  2 x 2  1 dx  2  x ln x 1 0 e e 2.26. ln x   x  1 2 dx 1 3. Dạng 3 :  sin(ln x)   x  cos(ln x) du  u cos(ln x) cos(ln x)   sin(ln x)   I   xk dx   sin(ln x) x   k dv  x dx  x k 1 v   x k dx   k 1  3.1.  x cos(ln x)dx  e 3.2. 2 x 3 sin(ln x)dx 1 e 3.3.  cos(ln x) d x 1 7 Người soạn : Trương Văn Trọng https://www.facebook.com/rogger.bob.9
• 8. CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN e 3.4.  cos (ln x) d x 2 1 4. Dạng 4 : e ax  b  u  eax b  sin( x   )   dv  cos( x   ) dx sin( x   )  dx    cos( x   ) sin( x   )  u  cos( x   )   ax  b  dv  e dx  4.1. e x cos  2 x  d x 0  4.2. e x sin 2 x d x 0  4.3. sin 2 x  ex d x 0 4.4. 5. 8 Người soạn : Trương Văn Trọng https://www.facebook.com/rogger.bob.9

Download