Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số: \(y = 2{\cos ^2}x

Một sản phẩm của Tuyensinh247.comTìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: (y = 2(cos ^2)x - 2căn 3 sin ( rm(x))cos x + 1 )Câu 41630 Vận dụng

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\)

Đáp án đúng: a

Phương pháp giải

Đưa \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 1\) về hàm số thuần nhất đối với \(\sin 2x,\cos 2x\) và sử dụng kiến thức \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\,\sin u + b\,\cos u \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Xem lời giải

Lời giải của GV Vungoi.vn

Ta có \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\) \( = 2{\cos ^2}x - 1 - \sqrt 3 \sin 2x + 2\)\( = \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2\left( * \right)\)

Mà \( - \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x \le \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \)

Nên \( - 2 \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x \le 2\)

\( \Rightarrow 0 \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2 \le 4\) hay \(0 \le y \le 4,\forall x \in \,R\)

Vậy \(\min y = 0;\max y = 4\)

Đáp án cần chọn là: a

- Ta có thể mở rộng bài toán như sau:

\(y = a\,\sin \left[ {f\left( x \right)} \right] + b\cos \left[ {f\left( x \right)} \right] + c\) .

Ta có \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\)

- Ngoài cách nhớ công thức ở bài toán tổng quát phía bên phải ta có thể nhớ theo điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất theo $\sin $ và $\cos $ như sau:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = a\,\sin \left[ {f\left( x \right)} \right] + b\cos \left[ {f\left( x \right)} \right] + c\)

$a\sin \left[ {f\left( x \right)} \right] + b\cos \left[ {f\left( x \right)} \right] + c - y = 0$ điều kiện có nghiệm \({a^2} + {b^2} \ge {\left( {c - y} \right)^2}\) . Từ đây ta tìm được \(\min ,\max\) của \(y\)

...

Bài tập có liên quan

Bài tập ôn tập chương 1 Luyện Ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi liên quan

Tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{1}{{2\cos x - 1}}\) là:

Tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{{\cot x}}{{\sin x - 1}}\) là:

Tập hợp \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\) không phải là tập xác định của hàm số nào?

Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {1 - \cos 2017x} \) là

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 3}} + 3{\sin ^2}x$ và $g\left( x \right) = \sin \sqrt {1 - x} $. Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?

Xác định tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số \(y = f\left( x \right) = 3m\sin 4x +\cos 2x\) là hàm chẵn.

Xét hàm số \(y = \sin \,x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\,0} \right].\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

Chọn câu đúng?

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y = 2017\cos \left( {8x + \dfrac{{10\pi }}{{2017}}} \right) + 2016.\)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2\cos x + 3}}{{2 + \cos x}}\)

Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số \(y = f(x) = 2\sin 2x?\)

Cho đồ thị hàm số \(y = \sin x\) như hình vẽ:

Hình nào sau đây là đồ thị hàm số \(y = \sin \left| x \right|?\)

Hình nào sau đây là đồ thị hàm số \(y = \left| {\sin x} \right|?\)

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\) trên đường tròn lượng giác là?

Với những giá trị nào của \(x\) thì giá trị của các hàm số \(y = \sin 3x\) và \(y = \sin x\) bằng nhau?

Gọi \({x_0}\) là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\dfrac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Hỏi trên đoạn \(\left[ { - 2017;2017} \right]\), phương trình \(\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\sin x - \sqrt 2 } \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Tính tổng \(T\) các nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \cos x = 0\) trên \(\left[ {0;2\pi } \right].\)

Giải phương trình \(\cot \left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 .\)

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - m = 2\) có nghiệm. Tính tổng \(T\) của các phần tử trong \(S.\)

Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 2} \right)\sin 2x = m + 1\) nhận \(x = \dfrac{\pi }{{12}}\) làm nghiệm.

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 2} \right)\sin 2x = m + 1\) vô nghiệm.

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất \({x_0}\) của \(3\sin 3x - \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x.\)

Số nghiệm của phương trình \(\sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 2\sin 7x\) trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) là?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\cos x + \sin x = \sqrt 2 \left( {{m^2} + 1} \right)\) vô nghiệm.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để phương trình \(\left( {m + 1} \right){\sin ^2}x - \sin 2x + \cos 2x = 0\) có nghiệm.

Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \(2{\sin ^2}\dfrac{x}{4} - 3\cos \dfrac{x}{4} = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;8\pi } \right].\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình $\tan x + m\cot x = 8$ có nghiệm.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(2{\cos ^2}3x + \left( {3 - 2m} \right)\cos 3x + m - 2 = 0\) có đúng \(3\) nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{3}} \right).\)

Giải phương trình \({\sin ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\sin x\cos x + \sqrt 3 {\cos ^2}x = 0.\)

Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình \({\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 4{\cos ^2}x = 5\) trên đường tròn lượng giác là?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để phương trình \(11{\sin ^2}x + \left( {m - 2} \right)\sin 2x + 3{\cos ^2}x = 2\) có nghiệm?

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(2{\sin ^2}x + m\sin 2x = 2m\) vô nghiệm.

Giải phương trình $\sin x\cos x + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 2$.

Từ phương trình \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\cos x + \sin x} \right) - 2\sin x\cos x - \sqrt 3 - 1 = 0\), nếu ta đặt \(t = \cos x + \sin x\) thì giá trị của \(t\) nhận được là:

Cho \(x\) thỏa mãn \(2\sin 2x - 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right| + 8 = 0\). Tính \(\sin 2x.\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình $\sin x\cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ có nghiệm?

Gọi \(M,m\) lần lượt GTLN, GTNN của hàm số \(y = 2{\sin ^3}x + {\cos ^3}x\). Giá trị biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\) là:

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm ?