Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Môđun Số Phức

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức

• Ra mắt Sách 20 đề THPT quốc gia form 2025 toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Trang trước Trang sau

Bài viết Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức.

• Cách giải bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức
• Ví dụ minh họa Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức
• Bài tập tự luyện Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức

Bài giảng: Các dạng toán liên quan đến lũy thừa và module số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Quảng cáo

1. Phương pháp

|z - (a + bi)| = c, (c > 0) => Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R = c

Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.

Ví dụ P = |z| tức là đường tròn tâm O:

Ví dụ P = |z + i| tức là đường tròn tâm H (0;-1)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: |z - a - bi| = c ⇔ |z - (a + bi)| = c => -c + |a + bi| ≤ |z| ≤ c + |a + bi|

Ta có: |z - 4 + 3i| = 3 ⇔ |z - (4 - 3i)| = 3 ⇔ - 3 + |4 - 3i| ≤ |z| ≤ 3 + |4 - 3i| ⇔ 2 ≤ |z| ≤ 8

Cách tìm số phức:

+ Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:

+ Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:

Quảng cáo

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?

A. 0. B. 3. C. 2. D. 4.

Lời giải:

Gọi M(x ;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.

Gọi E(0 ;5) là điểm biểu diễn số phức 5i

Ta có: |z - 5i| ≤ 3 => MA ≤ 3. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm A(0 ;5) ; R = 3 như hình vẽ

Số phức z có môđun nhỏ nhất nhỏ nhất.Dựa vào hình vẽ, ta thấy z = 2i. Suy ra phần ảo bằng 2

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết:

A. √2 B. 2 C. 1 D. 3

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn |z2 - i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.

A. 2 B. √2 C. 2√2 D. √2

Lời giải:

Ta có:

1 ≥ |z2| - |i| = |z|2 - 1 => |z|2 ≤ 2 => |z| ≤ 2

Chọn đáp án là D

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Lời giải:

Ta có:

|x + yi + i + 1| = |x - yi - 2i|

⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2

⇔ 2x - 2y - 2 = 0 => x = 1 + y

Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = |z - 2i|. Số phức z có môđun nhỏ nhất là?

A. z = -2 + 2i B. z = 2 - 2i

C. z = 2 + 2i D. z = -2 - 2i

Lời giải:

Gọi z = x + yi (x, y ∈ R).

Ta có: |x - 2 - 4(y - 4)i| = |x + (y - 2)x| ⇔ y = -x + 4

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x + y - 4 = 0

Mặt khác:

Chọn đáp án C.

Quảng cáo

Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 − 2i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

A. √2 B. 1 C. 2 D. √5 - 1

Lời giải:

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 1.

Do đó min |z| = OI − r = √5 − 1.

Chọn đáp án là D.

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2√5 B. 3√2 C. √6 D. 5√2

Lời giải:

Gọi z = x + yi khi đó z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i

Ta có:

Suy ra tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ:

Dễ thấy O ∈ (C), N(-1; -1) ∈ (C)

Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (c) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

W = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i

Suy ra |z + 1 + i| đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất

Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (c)

⇔ I là trung điểm MN => M(3; -3) => z = 3 - 3i

Cách 2: (giải thuần đại số)

Đặt z = x + yi(x, y ∈ R) thì |z - 1 + 2i| = √5 ⇔ (x - 1)2 + (y + 2)2 = 5 (1)

|w|2 = |z + 1 + i|2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 = (x - 1)2 + (y + 2)2 + 4x - 2y - 3 = 4x - 2y + 2 (do (1))

Dấu “=” của (2) xảy ra

Như vậy do |w| đạt giá trị lớn nhất nên x = -3, y = -3. Từ đó |z| = 3√2.

Chọn B.

Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10. Gọi M, m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m

Quảng cáo

Lời giải:

Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì:

Theo giả thiết: 4MA + 3MB = 2√2. Đặt a = MA

Chọn đáp án là C.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Biết rằng số phức z thỏa mãn: w = (z + 3 - i).(z¯ + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?

Bài 2.  Cho |z - 4 + 3i| = 3. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất, lớn nhất?

Bài 3. Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z - 5i| ≤ 3. Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?

Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn: z+i+1=z¯−2i. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?

Bài 5. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 1- 5i| = |z¯ + 3 - i|, tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1)
• Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2)
• Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)
• Các dạng bài tập hay về số phức
• 18 Bài tập số phức hay và khó

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

• Sổ tay toán lý hóa 12 (29k/ 1 cuốn)
• Tổng ôn tốt nghiệp 12 toán, sử, địa, kinh tế pháp luật.... (80k/1 cuốn)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7)

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

1000 Đề thi bản word THPT quốc gia cá trường 2023 Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Đề thi thử DGNL (bản word) các trường 2023

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

xem tất cả Trang trước Trang sau so-phuc.jsp Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 12 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Friends Global
• Lớp 12 Kết nối tri thức
• Soạn văn 12 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 12 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 12 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 12 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 12 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - KNTT
• Giải sgk Tin học 12 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 12 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 12 - KNTT
• Giải sgk Mĩ thuật 12 - KNTT
• Lớp 12 Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 12 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 12 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 12 - CTST
• Giải sgk Hóa học 12 - CTST
• Giải sgk Sinh học 12 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 12 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 12 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - CTST
• Giải sgk Tin học 12 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 12 - CTST
• Lớp 12 Cánh diều
• Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 12 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 12 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 12 - Cánh diều